Lección 3.A - Simulación de procesos MA de manera rudimentaria

Objetivo

1. Simular un proceso de ruido blanco con distribución normal.
2. Simular algunos procesos estocásticos de media móvil con procedimientos rudimentarios

Para simular series temporales es necesario establecer el tamaño de la muestra y a qué fechas corresponderán los datos simulados. Para lograrlo siga los siguientes pasos:

• Archivo --> Nuevo conjunto de datos
• En la ventana emergente marcamos Serie temporal y daremos un valor a T (por ejemplo 300) y pulsaremos en Adelante.
• En una segunda ventana emergente indicaremos la frecuencia (por ejemplo trimestral) y pulsaremos en Adelante.
• En una tercera ventana emergente indicaremos la fecha de inicio de la muestra (por ejemplo el primer trimestre de 1960) y pulsaremos en Adelante.
• En una cuarta ventana emergente confirmaremos nuestra selección pulsando en Aplicar.

o bien teclee en linea de comandos (las líneas de documentación que comienzan con # no son necesarias):

### Establecemos la muestra para las simulaciones
nulldata 300
setobs 4 1960:01 --time-series

Gretl permite generar datos (pseudo)aleatorios con distintas distribuciones (teclee help randgen en la consola de Gretl para consultar la documentación sobre la función randgen). Con los siguientes pasos generaremos un proceso de ruido blanco con distribución Normal\((0,1)\):

• Añadir --> Variable aleatoria...
• En la ventana emergente pulsamos en la pestaña Normal e indicamos los valores para la media (0) y la desviación típica (1). También asignamos un nombre a la serie temporal generada (por ejemplo WN).

O bien teclee en linea de comandos:

# set seed 2025   # (si quiere generar siempre los mismos números fije la semilla a un valor concreto)
series WN = normal(0,1)

(la función randgen permite simular un montón de distribuciones, pero en el script hemos empleado una función dedicada específicamente a la simulación de datos con distribución normal \(N(\mu,\sigma)\). Teclee help normal para consultar su documentación. Si quiere usar otras distribuciones, use la función randgen siguiendo las instrucciones indicadas en la documentación).

Ya vimos en las prácticas anteriores cómo hacerlo (pinchando sobre la serie en cuestión con el botón derecho del ratón y seleccionando la opción apropiada del menú desplegable que aparece).

O bien teclee en linea de comandos:

summary WN --simple
RuidoBlanco <- gnuplot WN --time-series --with-lines

(En el guion P-L03-A-simulaciones.inp, se muestra un procedimiento diferente que guarda los estadísticos en un archivo y el gráfico en otro, sin generar iconos. He utilizado los ficheros generados para poder mostrar los resultados a continuación).

Summary statistics, using the observations 1960:1 - 2034:4
for the variable 'WN' (300 valid observations)

  Mean                      0.047224
  Minimum                    -2.8242
  Maximum                     2.8205
  Standard deviation          1.0097
  Missing obs.                     0

Observe que la media y la desviación típica muestrales no coinciden con los parámetros establecidos al generar los números aleatorios. Sin embargo, dado que estos estadísticos son buenos estimadores de los momentos teóricos de la distribución utilizada para crear los datos, sus valores se encuentran muy próximos a los parámetros establecidos en la simulación.

Dado que la semilla que he utilizado es diferente de la suya, los números (pseudo)aleatorios que usted ha obtenido resultarán distintos. Como consecuencia, también variarán los estadísticos y su gráfico, aunque lo que usted obtenga se asemejará bastante a lo que se presenta aquí.).

Simulemos un proceso MA(1) a partir de la simulación de ruido blanco anterior; por ejemplo, el proceso: \[ X_t = U_t - \theta_1 U_{t-1},\quad \text{con } U_t\sim N(0,1) \text{ y } \theta_1 = 0.8. \] Lo primero de todo, recuperemos la muestra completa:

• Muestra --> Recuperar el rango completo

  O bien teclee en linea de comandos:

  ### Recuperamos la muestra completa antes de generar una nueva serie temporal
  smpl 1960:4 2034:4
  

Y ahora simulemos el proceso de media móvil:

• Añadir --> Definir nueva variable

• En la ventana emergente escribimos X = WN + 0.8*WN(-1)

  (donde WN(-1) denota la serie WN retrasada un periodo).

  O bien teclee en linea de comandos:

  ### La serie X es la realización de un proceso MA(1)
  series X = WN + 0.8*WN(-1)
  

• Genere una serie temporal Y que sea la realización de un MA(1) con parámetro distinto; por ejemplo con \(\theta_1 = -0.8\).
• Genere una serie temporal Z que sea la realización de un MA(2).
• Genere una serie temporal W que sea la realización de un MA(3).
• Genere más ejemplos con distintos órdenes y/o parámetros.

En cada caso genere los gráficos y los estadísticos. Compare los estadísticos de las distintas sub-muestras.

Comprobará que en todos los casos los estadísticos de la primera parte de la muestra serán similares a los de la segunda, pues los procesos MA siempre son estacionarios.