Lección 9.B — Tipos de interés a corto y largo plazo

Datos

Datos trimestrales (1952Q2–1970Q4). Tipos de interés a corto y a largo plazo en el Reino Unido.

(Estos datos me los pasó el Profesor Miguel Jerez hace tiempo. Desconozco la fuente original)

Descarga de datos

https://github.com/mbujosab/TimeSeriesData/blob/main/UK_Interest_rates.csv

Objetivo

1. Analizar si los tipos a corto y largo plazo están cointegrados; y que por tanto la correlación entre los tipos a corto y largo plazo no es espuria.

Comencemos cargando los datos:

Archivo --> Abrir datos --> Archivo de usuario y en la ventana emergente busque el fichero UK_Interest_rates.csv que previamente ha descargado desde aquí.

o bien teclee en linea de comandos:

open RutaAlDirectorioDelFichero/UK_Interest_rates.csv
setobs 4 1952:2
setinfo Short --description="US Short"
setinfo Long --description="Incidencia de melanoma en la población masculina de Connecticut"

donde RutaAlDirectorioDelFichero es la ruta al directorio donde guardó el fichero GNPvsMelanoma.csv

Marque las series Short y Long. Pulse sobre ellas con el botón derecho del ratón. En el menú desplegable seleccione Gráfico de Series Temporales (indique representar en un único gráfico).

o bien teclee en linea de comandos:

gnuplot Short Long --time-series --with-lines   --output="ShortyLong.png"

1. ¿Tienen tendencia estas series temporales?
2. ¿Hay una tendencia común a ambas series?
3. ¿lo podemos saber con seguridad solo mirando el gráfico?

Marque las series Short y Long. Pulse sobre ellas con el botón derecho del ratón. En el menú desplegable seleccione Gráfico de dispersión XY (elija como variable del eje X Long y marque suprimir la recta estimada).

o bien teclee en linea de comandos:

gnuplot Short Long --fit=none --output="ScatterPlotShortyLong.png"

1. Incluya las primeras diferencias de Short y Long
2. Dibuje ambas series diferenciadas. ¿Parecen ser estacionarias en media? ¿Son Short y Long aparentemente \(I(1)?\)
3. ¿Están correladas?
4. Regrese d_Short sobre d_Long
5. Observe los resultados de la regresión.
   • ¿Son significativos los parámetros? ¿cuales sí y cuales no? (compare esto con lo que pasaba en el ejemplo anterior)
   • ¿Reproduce el modelo parte de la varianza de d_Short?

Veamos si las series en niveles pueden estar cointegradas. Para ello debemos analizar los residuos de la regresión de Short sobre Long.

1. Regrese Short sobre Long
2. Observe los resultados de la regresión.
   • ¿Son significativos los parámetros?
   • ¿Reproduce el modelo parte de la varianza de Short?
3. Dibuje los residuos de la regresión. ¿Parecen ``estacionarios en media''? dicho de otra forma ¿muestran alguna tendencia?

o bien teclee en linea de comandos:

ols Short 0 Long

Model 4: OLS, using observations 1952:2-1970:4 (T = 75)
Dependent variable: Short

             coefficient   std. error   t-ratio   p-value 
  --------------------------------------------------------
  const       -1.16917     0.350071     -3.340    0.0013   ***
  Long         0.998553    0.0573798    17.40     1.09e-27 ***

Mean dependent var   4.738000   S.D. dependent var   1.670707
Sum squared resid    40.11837   S.E. of regression   0.741328
R-squared            0.805772   Adjusted R-squared   0.803112
F(1, 73)             302.8478   P-value(F)           1.09e-27
Log-likelihood      -82.95837   Akaike criterion     169.9167
Schwarz criterion    174.5517   Hannan-Quinn         171.7674
rho                  0.623582   Durbin-Watson        0.751581

o bien teclee en linea de comandos:

residuos = $uhat
gnuplot residuos --time-series --with-lines --output="GraficoResiduos.png"

A la vista de los gráficos iniciales, las variables Short y Long son no estacionarias (tienen tendencia), lo que conduce a un elevado coeficiente de correlación entre ellas; sus primeras diferencias parecen ``estacionarias'' lo que sugiere que ambas series son \(I(1)\).

La regresión de las series en diferencias y los residuos de la regresión en niveles parecen compatibles con que Short y Long estén cointegradas, es decir, que tengan una tendencia común.

En este caso la correlación no es espuria, por el funcionamiento de los mercados financieros sabemos que el nivel de los tipos a largo plazo tiene un efecto sobre tipos a corto (y viceversa); y los datos así lo reflejan.

A este análisis le falta la realización de contrastes estadísticos que confirmen que las series en niveles son \(I(1)\) y pero los residuos de la última regresión son \(I(0)\). Es decir, que existe una combinación lineal de las series que tiene un orden de integración menor; en este caso, y dado que la pendiente estimada es prácticamente \(1\), dicha combinación sería: \[Long_t-Short_t=Cte + U_t.\]

Las variables Short y Long muestran una tendencia creciente, lo que conduce a un elevado coeficiente de correlación entre ellas; pero la tendencia ni es común, ni la correlación se puede atribuir a ninguna relación de causalidad entre ellas. La correlación es espuria (es decir, carece de sentido tratar de interpretarla); y los resultados de la regresión en diferencias lo ponen de relieve.

El contraste de cointegración de Engle y Granger

Modelo --> Series temporales multivariantes --> Contraste de cointegracion (Engle-Granger) y en la ventana emergente marque Long y Short. Pulse en la flecha verde para emplear ambas series. Luego pulse en Aceptar.

coint 8 Short Long --test-down

Step 1: testing for a unit root in Short

Augmented Dickey-Fuller test for Short
testing down from 8 lags, criterion AIC
sample size 74
unit-root null hypothesis: a = 1

  test with constant 
  including 0 lags of (1-L)Short
  model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e
  estimated value of (a - 1): -0.098126
  test statistic: tau_c(1) = -1.96889
  asymptotic p-value 0.3009
  1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.103

Step 2: testing for a unit root in Long

Augmented Dickey-Fuller test for Long
testing down from 8 lags, criterion AIC
sample size 70
unit-root null hypothesis: a = 1

  test with constant 
  including 4 lags of (1-L)Long
  model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
  estimated value of (a - 1): -0.00436472
  test statistic: tau_c(1) = -0.172702
  asymptotic p-value 0.9395
  1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.018
  lagged differences: F(4, 64) = 2.151 [0.0847]

Step 3: cointegrating regression

Cointegrating regression - 
OLS, using observations 1952:2-1970:4 (T = 75)
Dependent variable: Short

             coefficient   std. error   t-ratio   p-value 
  --------------------------------------------------------
  const       -1.16917     0.350071     -3.340    0.0013   ***
  Long         0.998553    0.0573798    17.40     1.09e-27 ***

Mean dependent var   4.738000   S.D. dependent var   1.670707
Sum squared resid    40.11837   S.E. of regression   0.741328
R-squared            0.805772   Adjusted R-squared   0.803112
Log-likelihood      -82.95837   Akaike criterion     169.9167
Schwarz criterion    174.5517   Hannan-Quinn         171.7674
rho                  0.623582   Durbin-Watson        0.751581

Step 4: testing for a unit root in uhat

Augmented Dickey-Fuller test for uhat
testing down from 8 lags, criterion AIC
sample size 73
unit-root null hypothesis: a = 1

  test without constant 
  including one lag of (1-L)uhat
  model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + ... + e
  estimated value of (a - 1): -0.451844
  test statistic: tau_c(2) = -4.23992
  asymptotic p-value 0.00312
  1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.006

There is evidence for a cointegrating relationship if:
(a) The unit-root hypothesis is not rejected for the individual variables, and
(b) the unit-root hypothesis is rejected for the residuals (uhat) from the 
    cointegrating regression.

Fíjese que

la primera etapa consiste en

el contraste de raíz unitaria Dickey-Fuller para Short.

la segunda etapa consiste en

el contraste de raíz unitaria Dickey-Fuller para Long.

la tercera etapa consiste en

la regresión de Short sobre Long.

la cuarta etapa consiste en

el contraste de raíz unitaria Dickey-Fuller para los residuos de la anterior regresión.