Ejercicio de identificación de un modelo ARIMA

1. Realice un primer análisis gráfico: haga un gráfico de la serie y un gráfico rango-media
2. Determine si es necesario transformar logarítmicamente los datos
3. Determine si es necesario tomar una o más diferencias regulares de la serie
4. Determine si es necesario tomar una diferencia estacional de la serie
5. Encuentre un modelo ARIMA para la serie que sea lo más parsimonioso posible, pero cuyos residuos se puedan considerar ruido blanco.
6. Ficheros https://github.com/mbujosab/EconometriaAplicada-SRC/tree/main/Ejercicios
   • Versión en pdf
   • Datos: f7dcbd-12.gdt
   • Guión de gretl: EjercicioIdentificacionARIMA.inp

logs x
gnuplot l_x --time-series --with-lines --output="SerieEnLogs.png"
rmplot  l_x --output="rango-media-enLogs.png"

La serie en logs ya parece estacionaria en varianza.

adf -1 l_x --c --gls --test-down --perron-qu 

Contraste aumentado de Dickey-Fuller (GLS) para l_x
contrastar hacia abajo desde 17 retardos, con el criterio AIC modificado, Perron-Qu
tamaño muestral 477
la hipótesis nula de raíz unitaria es: [a = 1]

  contraste con constante 
  incluyendo 2 retardos de (1-L)l_x
  modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
  valor estimado de (a - 1): -0,00213547
  estadístico de contraste: tau = -1,19526
  valor p aproximado 0,226
  Coef. de autocorrelación de primer orden de e: -0,013
  diferencias retardadas: F(2, 474) = 156,788 [0,0000]

El p-valor es elevado, por lo que NO se rechaza la \(H_0\) de que la serie es \(I(1)\)

kpss -1 l_x 

Contraste KPSS para l_x

T = 480
Parámetro de truncamiento de los retardos = 5
Estadístico de contraste = 1,77747

                      10%      5%      1%
Valores críticos: 0,348   0,462   0,742
Valor p < .01

El p-valor es menor al 1%, por lo que se rechaza la \(H_0\) de que la serie es \(I(0)\).

Todas las evidencias apuntan a que es necesaria tomar una diferencia ordinaria

diff l_x
gnuplot d_l_x --time-series --with-lines --output="SerieLogEnDiferencias.png"

El gráfico de la serie transformada no muestra tener una clara tendencia o evolución a largo plazo de su nivel.

Probemos a ajustar un modelo AR a los datos diferenciados

ARIMA110 <- arima 1 1 0 ; d_l_x

Evaluaciones de la función: 24
Evaluaciones del gradiente: 5

ARIMA110: ARIMA, usando las observaciones 1985:03-2024:12 (T = 478)
Estimado usando AS 197 (MV exacta)
Variable dependiente: (1-L) d_l_x
Desviaciones típicas basadas en el Hessiano

             coeficiente    Desv. típica      z        valor p 
  -------------------------------------------------------------
  const      -0,000361014    0,00262948     -0,1373   0,8908   
  phi_1      -0,755554       0,0299328     -25,24     1,40e-140 ***

Media de la vble. dep. -0,000553   D.T. de la vble. dep.   0,154022
Media de innovaciones   0,000017   D.T. innovaciones       0,100834
R-cuadrado              0,388386   R-cuadrado corregido    0,388386
Log-verosimilitud       417,9912   Criterio de Akaike     -829,9825
Criterio de Schwarz    -817,4736   Crit. de Hannan-Quinn  -825,0647

                       Real Imaginaria     Módulo Frecuencia
  -----------------------------------------------------------
  AR
   Raíz  1          -1,3235     0,0000     1,3235     0,5000
  -----------------------------------------------------------

ARIMA110 guardado

El parámetro \(\phi_1\) está lejos de la unidad (consecuentemente, también lo está la raíz autorregresiva).

Repitamos también los tests formales

Todo parece OK, pero debemos ver el gráfico de los residuos y su correlograma, así como los estadísticos Q de Ljung-Box para constatar que podemos asumir que son la realización de un proceso de ruido blanco. También conviene mirar si tienen distribución gaussiana:

series residuos = $uhat

gnuplot residuos --time-series --with-lines --output="Residuos.png"
corrgm residuos 15 --plot="residuosACF-PACF.png"

corrgm residuos 15

Función de autocorrelación para residuos
***, ** y * indica significatividad a los niveles del 1%, 5% y 10%
utilizando la desviación típica 1/T^0,5

 RETARDO    FAC          FACP         Estad-Q. [valor p]

    1  -0,0115       -0,0115          0,0643  [0,800]
    2   0,0078        0,0077          0,0940  [0,954]
    3  -0,0064       -0,0062          0,1135  [0,990]
    4   0,0112        0,0110          0,1747  [0,996]
    5   0,0218        0,0222          0,4057  [0,995]
    6  -0,0419       -0,0416          1,2590  [0,974]
    7   0,0250        0,0239          1,5640  [0,980]
    8  -0,0067       -0,0054          1,5857  [0,991]
    9  -0,0195       -0,0211          1,7719  [0,995]
   10  -0,0009       -0,0004          1,7723  [0,998]
   11   0,0433        0,0449          2,6954  [0,994]
   12  -0,0331       -0,0353          3,2347  [0,994]
   13   0,0462        0,0479          4,2881  [0,988]
   14   0,0159        0,0178          4,4136  [0,992]
   15   0,0652        0,0623          6,5238  [0,970]

El gráfico de los residuos no presenta ninguna estructura reconocible y ninguna autocorrelación es significativa.

Más importante aún, los correlogramas no muestran ninguna pauta reconocible, se parecen mucho entre sí y los estadísticos Q muestran p-valores muy elevados, por lo que podemos asumir que estos residuos son ``ruido blanco''.

También conviene mirar si los residuos tienen distribución gaussiana:

modtest --normality

Distribución de frecuencias para uhat10, observaciones 2-480
número de cajas = 21, Media = -0,00162572, Desv.típ.=0,0967229

      intervalo     punto medio   frecuencia  rel     acum.

           < -0,27429  -0,28731         2      0,42%    0,42% 
  -0,27429 - -0,24825  -0,26127         2      0,42%    0,84% 
  -0,24825 - -0,22222  -0,23524         7      1,46%    2,30% 
  -0,22222 - -0,19618  -0,20920         5      1,04%    3,34% 
  -0,19618 - -0,17014  -0,18316         3      0,63%    3,97% 
  -0,17014 - -0,14411  -0,15712        19      3,97%    7,93% *
  -0,14411 - -0,11807  -0,13109        21      4,38%   12,32% *
  -0,11807 - -0,092032 -0,10505        32      6,68%   19,00% **
 -0,092032 - -0,065995 -0,079013       31      6,47%   25,47% **
 -0,065995 - -0,039958 -0,052976       38      7,93%   33,40% **
 -0,039958 - -0,013921 -0,026939       36      7,52%   40,92% **
 -0,013921 -  0,012116 -0,00090204     56     11,69%   52,61% ****
  0,012116 -  0,038154  0,025135       60     12,53%   65,14% ****
  0,038154 -  0,064191  0,051172       45      9,39%   74,53% ***
  0,064191 -  0,090228  0,077209       46      9,60%   84,13% ***
  0,090228 -  0,11626   0,10325        25      5,22%   89,35% *
   0,11626 -  0,14230   0,12928        21      4,38%   93,74% *
   0,14230 -  0,16834   0,15532        13      2,71%   96,45% 
   0,16834 -  0,19438   0,18136         9      1,88%   98,33% 
   0,19438 -  0,22041   0,20739         6      1,25%   99,58% 
          >=  0,22041   0,23343         2      0,42%  100,00% 

Contraste de la hipótesis nula de distribución Normal:
Chi-cuadrado(2) = 6,694 con valor p 0,03519

Claramente tienen distribución normal.

Además, si en la ventana del modelo estimado pincha en el menú desplegable Gráficos --> Espectro con respecto al periodograma espectral verá que el espectro teórico del modelo se ajusta perfectamente al periodograma de la serie.

Por tanto, podemos concluir que la serie f7dcbd-12.gdt, una vez transformada logarítmicamente, sigue un proceso ARIMA\((2,1,0)\) con media cero.

Veamos si ese es el modelo usado en su simulación. Si miramos la línea 37 del fichero 000-Etiquetas-12.txt que se encuentra en el directorio de donde hemos obtenido los datos encontramos lo siguiente:

Efectivamente, requería la transformación logarítmica. La media era \(2.5\), (es decir la constante simulada no era cero). El polinomio AR era de grado 2: \(\;\boldsymbol{\phi}=(1 - 0.8\mathsf{B})(1 + 0.8\mathsf{B})=(1+0\mathsf{B}-0.64\mathsf{B}^2)\;\), no tenía estructura MA y la serie requería una diferencia regular \((1 - \mathsf{B})\).

Por supuesto que la estimación de los parámetros no coincide exactamente con los parámetros del modelo simulado, pero la identificación del modelo ha sido PERFECTA.

Ahora escoja al azar nuevas series del directorio (dispone de centenares de series simuladas con distintos modelos) y practique la identificación hasta que adquiera seguridad.