Econometría Aplicada. Lección 4

En la expresión \(\;\boldsymbol{x} \quad = \quad (\ldots,\ x_{-2},\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\ldots)\;\) separamos los elementos por comas, e indicamos la posición con un subíndice. Pero en \[\boldsymbol{a} \quad = \quad (\ldots,\ 0,\ 1,\ 4,\ 9,\ 2, 0,\ldots) \] ¿qué posición ocupan estos números en la secuencia?

Las funciones generatrices resuelven este problema. En ellas los elementos se separan con el símbolo "\(+\)" y la posición es indicada con la potencia del símbolo "\(z\)"

\[ \boldsymbol{a} \quad = \quad \cdots + 0z^{-2} + 1z^{-1} + 4z^{0}+ 9z + 0z^{2}+\cdots \]

Así podemos denotar la secuencia \(\boldsymbol{x}\) de manera muy compacta del siguiente modo \[\boldsymbol{x} \quad = \quad \sum_{t=-\infty}^\infty x_t z^t \quad\equiv\quad \boldsymbol{x}(z)\] ¡Pero esta expresión no es una suma! es solo un modo de expresar una secuencia. Dicha expresión se denomina función generatriz.

La sucesión \(\;\boldsymbol{0}=\sum_{t=-\infty}^\infty 0 z^t\;\) se denomina sucesión nula.

En una sucesión \(\boldsymbol{a}\) no nula llamamos

Grado

al menor índice entero que verifica la propiedad: \[j > grado(\boldsymbol{a}) \Rightarrow a_j=0\] Para la sucesión, \(\boldsymbol{0}\), diremos que su grado es menos infinito \(\;(grado(\boldsymbol{0}) = -\infty)\).

Cogrado

al mayor índice entero que verifica la propiedad: \[j < cogrado(\boldsymbol{a}) \Rightarrow a_j=0\] Para la sucesión, \(\boldsymbol{0}\), diremos que su cogrado es infinito \(\;(cogrado(\boldsymbol{0}) = \infty)\).

Una sucesión \(\boldsymbol{a}\) es

Absolutamente sumable (\(\ell^1\))

si \(\quad\sum_{t=-\infty}^\infty |a_t| < \infty\)

De cuadrado sumable (\(\ell^2\))

si \(\quad\sum_{t=-\infty}^\infty a_t^2 < \infty\)

Una sucesión absolutamente sumable siempre es de cuadrado sumable, \(\ell^1\subset \ell^2\).

Secuencias con final

si tienen grado (a partir de cierto índice son cero). \[\boldsymbol{a}(z) = (\ldots,\ a_{p-3},\ a_{p-2},\ a_{p-1},\ a_{p},\ 0,\ 0,\ 0,\ldots) = \sum_{t=-\infty}^p a_t z^t\]

Secuencias con principio

si tienen cogrado (antes de cierto índice son cero). \[\boldsymbol{a}(z) = (\ldots,\ 0,\ 0,\ 0,\ a_{k},\ a_{k+1},\ a_{k+2},\ a_{k+3},\ldots) = \sum_{t=k}^\infty a_t z^t\qquad k\in\mathbb{Z}\]

Series formales

si su cogrado \(\geq 0\). \[\boldsymbol{a}(z) = (\ldots,\ 0,\ 0,\ 0,\ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ldots) = \sum_{t=k}^\infty a_t z^t\qquad k\geq0\]

Polinomios

son series formales con grado \[\boldsymbol{a}(z) = (\ldots,\ 0,\ 0,\ 0,\ a_{0},\ a_{1},\ldots,\ a_{p},\ 0,\ 0,\ 0,\ldots) = \sum_{t=k}^p a_t z^t\qquad k\geq0\] (p.e. \(\;a_0+a_1z+a_2z^2\;\) es un polinomio de grado 2).

Un anillo conmutativo es un conjunto \(\mathsf{S}\) equipado con dos operaciones binarias, la suma \(+\) y el producto \(*\) que satisfacen tres conjuntos de axiomas.

En cuanto a la suma

• \((\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})\;\) para todo \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\) en \(\mathsf{S}\qquad\) (i.e. \(+\) es asociativa).
• \(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\;\) para todo \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\) en \(\mathsf{S}\qquad\) (i.e. \(+\) es conmutativa).
• Existe un elemento \(\boldsymbol{0}\) tal que \(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{a}\) para todo \(\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}\).
• Para cada \(\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}\) existe \(-\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}\) tal que \(\boldsymbol{a} + (−\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{0}\).

En cuanto al producto

• \((\boldsymbol{a} * \boldsymbol{b}) * \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} * (\boldsymbol{b} * \boldsymbol{c})\;\) para todo \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\) en \(\mathsf{S}\qquad\) (i.e. \(*\) es asociativo).
• \(\boldsymbol{a} * \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} * \boldsymbol{a}\;\) para todo \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\) en \(\mathsf{S}\qquad\) (i.e. \(*\) es conmutativo).
• Existe un elemento \({{1}}\) tal que \(\boldsymbol{a} * {{1}} = \boldsymbol{a}\) para todo \(\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}\).

El producto es distributivo respecto de la suma: Para todo \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\) en \(\mathsf{S}\)

• \(\boldsymbol{a}*(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{c})\;\)
• \((\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})*\boldsymbol{a}=(\boldsymbol{b}*\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{c}*\boldsymbol{a})\;\)

Un cuerpo es un anillo conmutativo que adicionalmente satisface:

• Para cada \(\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}\) no nulo (\(\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}\)), existe \(\boldsymbol{b}\in \mathsf{S}\) tal que \(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b}={{1}}\).

  (Todo elemento no nulo del conjunto tiene una inversa en dicho conjunto)

Supongamos que \(\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}\) y que \(k = cogrado(\boldsymbol{a})\). Definimos \(\boldsymbol{b}\) del siguiente modo:

\[b_j= \begin{cases} 0 & \text{ si } j<-k\\ \frac{1}{a_k} & \text{ si } j=-k\\ \frac{-1}{a_k}\sum_{r=-k}^{j-1}b_r a_{j+k-r} & \text{ si } j>-k \end{cases}\]

Por construcción, \(cogrado(\boldsymbol{b})=-k\) y en consecuencia \((\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})_j=0\) si \(j<0\). Obviamente, \((\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})_0=1\); y además \((\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})_j=0\) si \(j>0\).

Ejemplo: Para el polinomio \(1-az\)

\[(1-az)^{-\triangleright}=\text{inversa con principio de }(1-az)= \begin{cases} 0 & \text{ si } j<0\\ 1 & \text{ si } j=0\\ a^{j} & \text{ si } j>0 \end{cases}\] es decir \((\ldots,0,\ \fbox{\({\color{blue}{1}}\)},\ a,\ a^2,\ a^3,\ldots)=\sum_{j=0}^\infty a^j z^j;\quad\) (donde la posición \(j=0\) está marcada con un recuadro).

Supongamos que \(\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}\) y que \(p = grado(\boldsymbol{a})\). Definimos \(\boldsymbol{b}\) del siguiente modo: \[b_j= \begin{cases} 0 & \text{ si } j>-p\\ \frac{1}{a_p} & \text{ si } j=-p\\ \frac{-1}{a_p}\sum_{r=j-1}^{-p}b_r a_{j+p-r} & \text{ si } j<-p \end{cases}\] Por construcción, \(grado(\boldsymbol{b}) = -p\).

Ejemplo: Para el polinomio \(1-az\)

\[(1-az)^{\blacktriangleleft-}=\text{inversa con final de }(1-az)= \begin{cases} 0 & \text{ si } j>-1\\ \frac{-1}{a} & \text{ si } j=-1\\ \frac{-1}{a^j} & \text{ si } j<-1 \end{cases}\] es decir \((\ldots,\ \frac{-1}{a^3},\ \frac{-1}{a^2},\ \frac{-1}{a},\fbox{\({\color{blue}{0}}\)},\ldots)=\sum_{j=-\infty}^{-1} -a^j z^j\)

Ahora sabemos que todo polinomio

por tener cogrado

tiene una inversa con cogrado (con principio)

por tener grado

tiene una inversa con grado (con final)

y que dichas inversas no son de la forma \(\;\sum_{t=k}^\infty a_t z^t\;\) ó \(\;\sum_{t=-\infty}^k a_t z^t\;\) (i.e., no son polinomios).

Por el ejemplo anterior sabemos que para \(\;1-az\;\) ambas inversas son

• \((1-az)^{-\triangleright}=\sum_{j=0}^\infty a^j z^j \quad=\quad (\ldots,0,\ \fbox{\({\color{blue}{1}}\)},\ a,\ a^2,\ a^3,\ldots)\)
• \((1-az)^{\blacktriangleleft-}=\sum_{j=-\infty}^{-1} -a^j z^j \quad=\quad (\ldots,\ \frac{-1}{a^3},\ \frac{-1}{a^2},\ \frac{-1}{a},\fbox{\({\color{blue}{0}}\)},\ldots)\)

Es evidente que si \(|a|\ne1\) una de las inversas está en \(\ell^1\) y la otra no.

Pero si \(|a|=1\) ninguna de las inversas pertenece a \(\ell^1\)

Podemos factorizar un polinomio \(\boldsymbol{a}\) sin raíces de módulo \(1\) como \[\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}*\boldsymbol{c}\]

• donde \(\boldsymbol{b}\) es un polinomio con las raíces de módulo menor que \(1\) y
• donde \(\boldsymbol{c}\) es un polinomio con las raíces de módulo mayor que \(1\)

Como tanto los polinomios \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) y \(\boldsymbol{c}\) como las inversas \(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}\) y \(\boldsymbol{c}^{-\triangleright}\) pertenecen al anillo \(\ell^1\), \[\boldsymbol{a}*(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}) =(\boldsymbol{b}*\boldsymbol{c})*(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}) =\boldsymbol{b}*\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}={{1}}*{{1}}={{1}}.\] La secuencia \(\;(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright})\;\) es "la" inversa de \(\boldsymbol{a}\) en \(\ell^1\).

En general, dicha inversa no tiene grado ni cogrado finitos y se denota con \(\boldsymbol{a}^{-1}=\frac{1}{\boldsymbol{a}}\).
(es la inversa que aparece en los libros de series temporales)

Evidentemente dicha inversa no existe si \(\boldsymbol{a}\) tiene alguna raíz de módulo \(1\).

En los manuales de series temporales se dice que un polinomio \(\boldsymbol{a}\) es invertible si

\[\text{(la inversa con principio) }\;\boldsymbol{a}^{-\triangleright}=\boldsymbol{a}^{-1}\; \text{ (la inversa absolutamente sumable)}.\] (y solo es posible si sus raíces están fuera del círculo unidad).

El cuerpo de fracciones de polinomios \[\left\{\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright} \mid \boldsymbol{p} \text{ y } \boldsymbol{q} \text{ son polinomios y } \boldsymbol{q}\ne\boldsymbol{0} \right\};\] es un subcuerpo del cuerpo de las sucesiones con principio (i.e., con cogrado finito)

Cuando las raíces del polinomio \(\boldsymbol{q}\) están fuera del circulo unidad (i.e., \(\;\boldsymbol{q}^{-\triangleright}=\boldsymbol{q}^{-1}\)) es habitual denotar la secuencia \(\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright}\) así \(\frac{\boldsymbol{p}}{\boldsymbol{q}}\) \[(\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright})(z)=\frac{\boldsymbol{p}(z)}{\boldsymbol{q}(z)}\]

Este conjunto es fundamental en la modelización ARIMA.

Así, para el polinomio \(\boldsymbol{a}(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3\), y la secuencia \(\boldsymbol{y}\), tenemos

\begin{align*} \boldsymbol{a}(\mathsf{B})y_t & = (a_0+a_1\mathsf{B}+a_2\mathsf{B}^2+a_3\mathsf{B}^3) y_t \\ & = a_0 y_t + a_1 \mathsf{B}^1 y_t + a_2 \mathsf{B}^2 y_t + a_3 \mathsf{B}^3 y_t \\ & = a_0y_t+a_1y_{t-1}+a_2y_{t-2}+a_3y_{t-3} \\ & =\sum\nolimits_{r=0}^3 a_r y_{t-r} \\ & =(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{y})_t \end{align*}

Y en general, si \(\boldsymbol{a}\) e \(\boldsymbol{y}\) son secuencias sumables, entonces

\begin{align*} \boldsymbol{a}(\mathsf{B})y_t & = (\cdots+a_{-2}\mathsf{B}^{-2}+a_{-1}\mathsf{B}^{-1}+a_0+a_1\mathsf{B}+a_2\mathsf{B}^2+\cdots) y_t \\ % & = a_0 y_t + a_1 \mathsf{B}^1 y_t + a_2 \mathsf{B}^2 y_t + a_3 \mathsf{B}^3 y_t \\ & = \cdots+a_{-2}y_{t+2}+a_{-1}y_{t+1}+a_0y_t+a_1y_{t-1}+a_2y_{t-2}+\cdots \\ % & =\sum\nolimits_{r=0}^3 a_r y_{t-r} \\ & =(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{y})_t \end{align*}