Author: Marcos Bujosa
En esta lección veremos conceptos algebraicos usados en la modelización de series temporales.
$ \newcommand{\lag}{\mathsf{B}} \newcommand{\Sec}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\Pol}[1]{\boldsymbol{#1}} $
Consideremos el conjunto ${\mathbb{R}}^\mathbb{Z}$ de secuencias infinitas de números reales
$$ \boldsymbol{x} \quad = \quad (\ldots,\ x_{-2},\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\ldots) \quad = \quad (x_t \mid t\in\mathbb{Z}) $$Las secuencias se pueden sumar y también se pueden multiplicar por escalares.
Si $\;\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in{\mathbb{R}}^\mathbb{Z}\;$ y $\;a\in\mathbb{R}$, entonces $$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=(x_t+y_t \mid t\in\mathbb{Z})$$ y $$a\cdot\boldsymbol{x}=\big(a\cdot x_t \mid t\in\mathbb{Z}\big).$$ El conjunto ${\mathbb{R}}^\mathbb{Z}$ junto con la suma elemento a elemento y el producto por escalares constituyen un espacio vectorial.
En la expresión $\;\boldsymbol{x} \quad = \quad (\ldots,\ x_{-2},\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\ldots)\;$ separamos los elementos por comas, e indicamos la posición con un subíndice. Pero en $$\boldsymbol{a} \quad = \quad (\ldots,\ 0,\ 1,\ 4,\ 9,\ 2, 0,\ldots) $$ ¿qué posición ocupan estos números en la secuencia?
Las funciones generatrices resuelven este problema. En ellas los elementos se separan con el símbolo "$+$" y la posición es indicada con la potencia del símbolo "$z$"
$$ \boldsymbol{a} \quad = \quad \cdots + 0z^{-2} + 1z^{-1} + 4z^{0}+ 9z + 0z^{2}+\cdots $$Así podemos denotar la secuencia $\boldsymbol{x}$ de manera muy compacta del siguiente modo $$\boldsymbol{x} \quad = \quad \sum_{t=-\infty}^\infty x_t z^t \quad\equiv\quad \boldsymbol{x}(z)$$ ¡Pero esta expresión no es una suma! es solo un modo de expresar una secuencia. Dicha expresión se denomina función generatriz.
La sucesión $\;\boldsymbol{0}=\sum_{t=-\infty}^\infty 0 z^t\;$ se denomina sucesión nula.
En una sucesión $\boldsymbol{a}$ no nula llamamos
Una sucesión $\boldsymbol{a}$ es
Una sucesión absolutamente sumable siempre es de cuadrado sumable, $\ell^1\subset \ell^2$.
Sean $\boldsymbol{a}$ y $\boldsymbol{b}$ sucesiones con principio (con cogrado). Su producto convolución es la sucesión: $$(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})_t=\sum_{r+s=t} a_rb_s; \qquad r,s,t\in\mathbb{Z}$$
El cogrado de $\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b}$ es la suma de los respectivos cogrados.
La convolución también está definida entre sucesiones:
con final (con grado). El grado del producto es la suma de los respectivos grados.
absolutamente sumables ($\ell^1$).
Un anillo conmutativo es un conjunto $\mathsf{S}$ equipado con dos operaciones binarias, la suma $+$ y el producto $*$ que satisfacen tres conjuntos de axiomas.
En cuanto a la suma
En cuanto al producto
El producto es distributivo respecto de la suma: Para todo $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ en $\mathsf{S}$
Un cuerpo es un anillo conmutativo que adicionalmente satisface:
Para cada $\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}$ no nulo ($\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}$), existe $\boldsymbol{b}\in \mathsf{S}$ tal que $\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b}={{1}}$.
(Todo elemento no nulo del conjunto tiene una inversa en dicho conjunto)
Son anillos el conjunto de: series formales (cogrado $\geq0$), polinomios y $\ell^1$.
Para algunas sucesiones (no nulas) de estos subconjuntos o no existe inversa o, cuando existe, es una sucesión de otro tipo (p.e. las inversas de un polinomio no son polinomios en general).
Son cuerpos el conjunto de: secuencias con principio, secuencias con final (y el Cuerpo de fracciones de polinomios)
Supongamos que $\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}$ y que $k = cogrado(\boldsymbol{a})$. Definimos $\boldsymbol{b}$ del siguiente modo:
$$b_j= \begin{cases} 0 & \text{ si } j<-k\\ \frac{1}{a_k} & \text{ si } j=-k\\ \frac{-1}{a_k}\sum_{r=-k}^{j-1}b_r a_{j+k-r} & \text{ si } j>-k \end{cases}$$Por construcción, $cogrado(\boldsymbol{b})=-k$ y en consecuencia $(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})_j=0$ si $j<0$. Obviamente, $(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})_0=1$; y además $(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})_j=0$ si $j>0$.
Ejemplo: Para el polinomio $1-az$
$$(1-az)^{-\triangleright}=\text{inversa con principio de }(1-az)= \begin{cases} 0 & \text{ si } j<0\\ 1 & \text{ si } j=0\\ a^{j} & \text{ si } j>0 \end{cases}$$es decir $(\ldots,0,\ \fbox{${\color{blue}{1}}$},\ a,\ a^2,\ a^3,\ldots)=\sum_{j=0}^\infty a^j z^j;\quad$ (donde la posición $j=0$ está marcada con un recuadro).
Supongamos que $\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}$ y que $p = grado(\boldsymbol{a})$. Definimos $\boldsymbol{b}$ del siguiente modo: $$b_j= \begin{cases} 0 & \text{ si } j>-p\\ \frac{1}{a_p} & \text{ si } j=-p\\ \frac{-1}{a_p}\sum_{r=j-1}^{-p}b_r a_{j+p-r} & \text{ si } j<-p \end{cases}$$ Por construcción, $grado(\boldsymbol{b}) = -p$.
Ejemplo: Para el polinomio $1-az$
$$(1-az)^{\blacktriangleleft-}=\text{inversa con final de }(1-az)= \begin{cases} 0 & \text{ si } j>-1\\ \frac{-1}{a} & \text{ si } j=-1\\ \frac{-1}{a^j} & \text{ si } j<-1 \end{cases}$$es decir $(\ldots,\ \frac{-1}{a^3},\ \frac{-1}{a^2},\ \frac{-1}{a},\fbox{${\color{blue}{0}}$},\ldots)=\sum_{j=-\infty}^{-1} -a^j z^j$
Ahora sabemos que todo polinomio
y que dichas inversas no son de la forma $\;\sum_{t=k}^\infty a_t z^t\;$ ó $\;\sum_{t=-\infty}^k a_t z^t\;$ (i.e., no son polinomios).
Por el ejemplo anterior sabemos que para $\;1-az\;$ ambas inversas son
$(1-az)^{-\triangleright}=\sum_{j=0}^\infty a^j z^j \quad=\quad (\ldots,0,\ \fbox{${\color{blue}{1}}$},\ a,\ a^2,\ a^3,\ldots)$
$(1-az)^{\blacktriangleleft-}=\sum_{j=-\infty}^{-1} -a^j z^j \quad=\quad (\ldots,\ \frac{-1}{a^3},\ \frac{-1}{a^2},\ \frac{-1}{a},\fbox{${\color{blue}{0}}$},\ldots)$
Es evidente que si $|a|\ne1$ una de las inversas está en $\ell^1$ y la otra no.
Pero si $|a|=1$ ninguna de las inversas pertenece a $\ell^1$
Podemos factorizar un polinomio $\boldsymbol{a}$ sin raíces de módulo $1$ como $$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}*\boldsymbol{c}$$
Como tanto los polinomios $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ y $\boldsymbol{c}$ como las inversas $\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}$ y $\boldsymbol{c}^{-\triangleright}$ pertenecen al anillo $\ell^1$, $$\boldsymbol{a}*(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}) =(\boldsymbol{b}*\boldsymbol{c})*(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}) =\boldsymbol{b}*\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}={{1}}*{{1}}={{1}}.$$ La secuencia $\;(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright})\;$ es "la" inversa de $\boldsymbol{a}$ en $\ell^1$.
En general, dicha inversa no tiene grado ni cogrado finitos y se
denota con $\boldsymbol{a}^{-1}=\frac{1}{\boldsymbol{a}}$.
(es la inversa que aparece en los libros de
series temporales)
Evidentemente dicha inversa no existe si $\boldsymbol{a}$ tiene alguna raíz de módulo $1$.
En los manuales de series temporales se dice que un polinomio $\boldsymbol{a}$ es invertible si
$$\text{(la inversa con principio) }\;\boldsymbol{a}^{-\triangleright}=\boldsymbol{a}^{-1}\; \text{ (la inversa absolutamente sumable)}.$$(y solo es posible si sus raíces están fuera del círculo unidad).
El cuerpo de fracciones de polinomios $$\left\{\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright} \mid \boldsymbol{p} \text{ y } \boldsymbol{q} \text{ son polinomios y } \boldsymbol{q}\ne\boldsymbol{0} \right\};$$ es un subcuerpo del cuerpo de las sucesiones con principio (i.e., con cogrado finito)
Cuando las raíces del polinomio $\boldsymbol{q}$ están fuera del circulo unidad (i.e., $\;\boldsymbol{q}^{-\triangleright}=\boldsymbol{q}^{-1}$) es habitual denotar la secuencia $\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright}$ así $\frac{\boldsymbol{p}}{\boldsymbol{q}}$ $$(\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright})(z)=\frac{\boldsymbol{p}(z)}{\boldsymbol{q}(z)}$$
Este conjunto es fundamental en la modelización ARIMA.
Por conveniencia se usa el operador retardo $\mathsf{B}$ en la notación: $$\mathsf{B} x_t = x_{t−1},\quad \text{para } t\in\mathbb{Z}.$$
Aplicando el operador $\mathsf{B}{}$ repetidamente tenemos $$\mathsf{B}^k x_t = x_{t−k},\quad \text{para } t,z\in\mathbb{Z}$$
Así, si la secuencia $\boldsymbol{x}(z)=\sum_{t=-\infty}^\infty x_t z^t$ es sumable, entonces la expresión $$\boldsymbol{x}(\mathsf{B})=\sum_{t=-\infty}^\infty x_t \mathsf{B}^t\;=\;\cdots+x_{-2}+x_{-1}+x_{0}+x_{1}+\cdots$$ tiene sentido como suma.
Así, para el polinomio $\boldsymbol{a}(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3$, y la secuencia $\boldsymbol{y}$, tenemos
\begin{align*} \boldsymbol{a}(\mathsf{B})y_t & = (a_0+a_1\mathsf{B}+a_2\mathsf{B}^2+a_3\mathsf{B}^3) y_t \\ & = a_0 y_t + a_1 \mathsf{B}^1 y_t + a_2 \mathsf{B}^2 y_t + a_3 \mathsf{B}^3 y_t \\ & = a_0y_t+a_1y_{t-1}+a_2y_{t-2}+a_3y_{t-3} \\ & =\sum\nolimits_{r=0}^3 a_r y_{t-r} \\ & =(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{y})_t \end{align*}Y en general, si $\boldsymbol{a}$ e $\boldsymbol{y}$ son secuencias sumables, entonces
\begin{align*} \boldsymbol{a}(\mathsf{B})y_t & = (\cdots+a_{-2}\mathsf{B}^{-2}+a_{-1}\mathsf{B}^{-1}+a_0+a_1\mathsf{B}+a_2\mathsf{B}^2+\cdots) y_t \\ % & = a_0 y_t + a_1 \mathsf{B}^1 y_t + a_2 \mathsf{B}^2 y_t + a_3 \mathsf{B}^3 y_t \\ & = \cdots+a_{-2}y_{t+2}+a_{-1}y_{t+1}+a_0y_t+a_1y_{t-1}+a_2y_{t-2}+\cdots \\ % & =\sum\nolimits_{r=0}^3 a_r y_{t-r} \\ & =(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{y})_t \end{align*}Por último, si tenemos dos series formales $\boldsymbol{a}$ y $\boldsymbol{b}$, entonces
\begin{align*} \boldsymbol{a}(z)*\boldsymbol{b}(z^{-1}) =&(a_0z^0+a_1z^1+a_2z^2+\cdots)(\cdots+b_2z^{-2}+b_1z^{-1}+b_0z^0)\\ =&\Big(\ldots, \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+2}b_j,\; \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j-1}b_j,\; \fbox{\({\color{blue}{\sum_{j\in\mathbb{Z}}a_jb_j}}\)},\; \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+1}b_j,\; \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+2}b_j,\ldots\Big)\\ =&\Big(\sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+k}b_j\mid k\in\mathbb{Z}\Big) \end{align*}es decir,
\begin{equation} \label{eqConvolucionConSuReverso} \Big(\boldsymbol{a}(z)*\boldsymbol{b}(z^{-1})\Big)_k=\sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+k}b_{j}. \end{equation}