Econometría Aplicada. Lección 5¶

Author: Marcos Bujosa

Esta lección veremos las dificultades que ocasiona la correlación serial y algunos tipos de procesos débilmente estacionarios que nos permitirán lidiar con ella. En particular veremos los procesos lineales, su valor esperado y su función de autocovarianzas, la función de covarianzas cruzadas entre dos procesos lineales, y las ecuaciones de Yule-Walker.

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Carga de algunas librerías de R¶

Primero cargamos la librería tfarima (Repositorio Cran: https://cran.r-project.org/web/packages/tfarima/index.html; repositorio GitHub: https://github.com/gallegoj/tfarima)

In [1]:
library(tfarima)      # librería de José Luis Gallego para Time Series
library(readr)        # para leer ficheros CSV
library(ggplot2)      # para el scatterplot (alternaticamente library(tidyverse))
library(ggfortify)    # para pintar series temporales
library(jtools)       # para representación resultados estimación
library(zoo)          # para generar objetos ts (time series)

y además fijamos los parámetros por defecto para las figuras en png del notebook

In [1]:
# fijamos el tamaño de las figuras que se generan en el notebook
options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 4, repr.plot.res = 200)

Series temporales vs datos de sección cruzada¶

Corresponden a observaciones de un mismo objeto a lo largo del tiempo. El índice indica el instante de cada medición. El orden cronológico puede ser crucial al modelar los datos.

  • El motivo es que frecuentemente el valor medido en un instante de tiempo está relacionado con otras mediciones próximas en el tiempo (correlación serial).

  • Si es así, ya no deberíamos asumir que las variables aleatorias del proceso estocástico subyacente, $\boldsymbol{X}=(X_t\mid t\in\mathbb{Z})$, son independientes entre sí.

Esto tiene importantes implicaciones en las técnicas de análisis y los modelos a utilizar.

Veamos algunos ejemplos de series temporales…

Población en Australia¶
In [1]:
PoblacionAustralia_ts = as.ts( read.zoo('datos/PoblacionAustralia.csv', 
                                        header=TRUE,
                                        index.column = 1, 
                                        sep=",", 
                                        FUN = as.yearmon))
p <- autoplot(PoblacionAustralia_ts)
p <- p + labs(y = "Habitantes", x = "Años") + ggtitle("Población australiana (datos anuales)")
p <- p + scale_x_continuous(breaks = scales::pretty_breaks(n = 20))
p

img

PIB UEM¶
In [1]:
PIB_UEM_df <- read_csv("datos/PIB_UEM.csv",
                     show_col_types = FALSE)
fmt <- "%YQ%q"
PIB_UEM_df$Time <- as.yearqtr(PIB_UEM_df$obs, format = fmt)
# head(PIB_UEM_df,3)
P <- ggplot(PIB_UEM_df, aes(Time, PIB))
P <- P + geom_point() + geom_line()
P <- P + scale_x_continuous(breaks = scales::pretty_breaks(n = 15))
P <- P + labs(y = "Miles de millones de euros", x = "Años")
P <- P + ggtitle("PIB UEM a precios corrientes (datos trimestrales). Fuente Banco de España")
P

img

Temperatura media en el Parque del Retiro. Madrid¶

img

Rendimiento porcentual diario del IBEX 35 (std)¶
In [1]:
IBEX35_ts = as.ts( read.csv.zoo("datos/IBEX35.csv", 
                                strip.white = TRUE))
P <- autoplot(IBEX35_ts) + scale_y_continuous(breaks = scales::pretty_breaks(n = 12))
p <- P + labs(y = "Desviaciones típicas", x = "Días")
p <- P + ggtitle("Rendimiento porcentual diario del IBEX 35 (std.). Fuente: Archivo Prof. Miguel Jerez")
p

img

  • Datos centrados y estandarizados, i.e. el eje vertical está en desviaciones típicas.
  • Los volatility clustering son característicos de series financieras de alta frecuencia.
Producción de cemento¶
In [1]:
ProduccionCemento_df <- read_csv("datos/ProduccionCemento.csv",
                     show_col_types = FALSE)
fmt <- "%YM%m"
ProduccionCemento_df$Time <- as.yearmon(ProduccionCemento_df$obs, format = fmt)
# head(ProduccionCemento_df,3)
P <- ggplot(ProduccionCemento_df, aes(Time, ProduccionCemento))
P <- P + geom_line() # + geom_point() 
P <- P + scale_x_continuous(breaks = scales::pretty_breaks(n = 25))
P <- P + labs(y = "Miles de Toneladas métricas", x = "Años")
P <- P + ggtitle("Producción de cemento (Datos mensuales). Fuente Banco de España")
P

img

Correlación serial vs muestreo aleatorio simple¶

Con datos de

  • sección cruzada: solemos asumir que el muestreo es aleatorio simple

    • i.e., los datos son realizaciones de variables aleatorias i.i.d.

  • series temporales: dicha asunción resulta generalmente errónea

    • con frecuencia el nivel esperado (o la volatilidad) parece cambiar con $t$
    • con frecuencia hay dependencia temporal (correlación serial).

    Ejemplo: no parece aceptable asumir que $ProdCemento_{1960M01}$ se distribuye igual que $ProdCemento_{2000M04}$ (ni que sea independiente de $ProdCemento_{1959M01}$).

Veamos por qué esto genera dificultades…

Consideremos el proceso estocástico $$\boldsymbol{X}=(X_t \mid t=0,\pm1,\pm2,\ldots).$$ Caracterizar su distribución conjunta (todos los momentos) es demasiado ambicioso.

Así que, tentativamente, vamos a fijarnos solo en los dos primeros momentos:

$$E(X_t)={\color{blue}{ \mu_t}}\quad\text{ y }\quad Cov(X_t,X_k)=E\big[(X_t-\mu_t)(X_k-\mu_k)\big]={\color{blue}{\gamma_{t,k}}};\quad t,k\in\mathbb{Z}$$

(si $\;k=t\;$ entonces $\;\gamma_{t,t}=Var(X_t)=\sigma^2_t$).

Si el proceso $\boldsymbol{X}$ fuera gaussiano, conocer estos parámetros bastaría para caracterizar la distribución conjunta. Pero aún así…

  • necesitaríamos para cada $X_t$ una muestra suficiente para estimar los parámetros

    • pero en una serie temporal $\boldsymbol{x}$ tenemos una sola realización de cada $X_t$.

  • Además… para cada variable aleatoria $X_t$ hay infinitos parámetros.

Simplificación del escenario¶

Si $\boldsymbol{X}$ es débilmente estacionario se reduce drásticamente el número de parámetros:

\begin{eqnarray} E(X_t) & = \mu \\ Cov(X_t,X_{t-k}) & = \gamma_k \end{eqnarray}

El desafío para el analista es (y nótese el abuso de lenguaje)

  • primero: transformar los datos para lograr que sean "estacionarios".
    • (Algo vimos en la lección 1))
  • después: transformar los datos estacionarios en "ruido blanco"
    • (Es lo que iniciaremos en esta lección y las siguientes)

Todo este proceso constituye la especificación y ajuste de un modelo a la serie temporal.

Antes de atacar los temas de especificación y ajuste de modelos, debemos estudiar un poco los procesos estocásticos débilmente estacionarios que vamos a utilizar.

Procesos estocásticos (débilmente) estacionarios y la ACF¶

Un proceso estocástico de segundo orden $\boldsymbol{X}$ se dice que es débilmente estacionario si $E(X_t)=\mu$ para todo $t\in\mathbb{Z}$ y la covarianza entre $X_s$ y $X_t$ solo depende de la diferencia $s-t$ para todo $s,t\in\mathbb{Z}$.

En tal caso, definimos la función de autocovarianzas como: $$\boldsymbol{\gamma} = (\gamma_{k}\mid k\in\mathbb{Z}) = (\ldots,\,\gamma_{-1},\,{\color{blue}{\gamma_{0}}},\,\gamma_{1},\,\gamma_{2},\ldots) \;=\;\sum_{-\infty}^{\infty} \gamma_k z^k.$$

Propiedades de la función de autocovarianzas $\boldsymbol{\gamma}$ (ACF):

  • $\gamma_0\geq0$
  • $\boldsymbol{\gamma}$ es definida positiva; y por tanto,
    • $\boldsymbol{\gamma}$ es simétrica: $\gamma_k=\gamma_{-k}$
    • $\boldsymbol{\gamma}$ es acotada: $|\gamma_k|\leq\gamma_0$

Y llamamos función de autocorrelación (ACF) a la secuencia: $\;\boldsymbol{\rho}=\frac{1}{\gamma_0}(\boldsymbol{\gamma}) =\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\frac{\gamma_k}{\gamma_0}z^k$.

Notación: convolución y el operador retardo¶

Sea $\boldsymbol{a}$ una secuencia de números y sea $\boldsymbol{X}$ un proceso estocástico tales que la suma $$\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}a_kX_{t-k}\;$$ converge para todo $t.\;$ Entonces:

Definimos el producto convolución ($*$) de $\boldsymbol{a}$ con $\boldsymbol{X}$ como el proceso estocástico: $$\boldsymbol{a}*\boldsymbol{X}=\left(\left.\sum_{r+s=t} a_r X_s \right| t\in\mathbb{Z}\right)$$ es decir $$(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{X})_t=\sum_{r+s=t} a_r X_s,\quad \text{para } t\in\mathbb{Z}.$$ Por tanto, cada elemento de $(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{X})$ es una combinación de variables aleatorias de $\boldsymbol{X}$

Podemos aplicar el operador $\mathsf{B}$ sobre los elementos de un proceso estocástico $\boldsymbol{X}$. $$\mathsf{B} X_t = X_{t−1},\quad \text{para } t\in\mathbb{Z}.$$

Aplicando el operador $\mathsf{B}$ repetidamente tenemos $$\mathsf{B}^k X_t = X_{t−k},\quad \text{para } t,z\in\mathbb{Z}$$

Así, para el polinomio $\boldsymbol{a}(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3$, y el proceso estocástico $\boldsymbol{Y}$

\begin{align*} \boldsymbol{a}(\mathsf{B})Y_t & = (a_0+a_1\mathsf{B}+a_2\mathsf{B}^2+a_3\mathsf{B}^3) Y_t \\ % & = a_0 Y_t + a_1 \mathsf{B}^1 Y_t + a_2 \mathsf{B}^2 Y_t + a_3 \mathsf{B}^3 Y_t \\ & = a_0Y_t+a_1Y_{t-1}+a_2Y_{t-2}+a_3Y_{t-3} \\ % & =\sum\nolimits_{r=0}^3 a_r Y_{t-r} \\ & =(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{Y})_t,\quad \text{para } t\in\mathbb{Z} \end{align*}

Y en general, si la suma $\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}a_kY_{t-k}$ converge para todo $t$, entonces

\begin{align*} \boldsymbol{a}(\mathsf{B})Y_t & = (\cdots+a_{-2}\mathsf{B}^{-2}+a_{-1}\mathsf{B}^{-1}+a_0+a_1\mathsf{B}+a_2\mathsf{B}^2+\cdots) Y_t \\ % & = a_0 Y_t + a_1 \mathsf{B}^1 Y_t + a_2 \mathsf{B}^2 Y_t + a_3 \mathsf{B}^3 Y_t \\ & = \cdots+a_{-2}Y_{t+2}+a_{-1}Y_{t+1}+a_0Y_t+a_1Y_{t-1}+a_2Y_{t-2}+\cdots \\ % & =\sum\nolimits_{r=0}^3 a_r Y_{t-r} \\ & =(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{Y})_t,\quad \text{para } t\in\mathbb{Z} \end{align*}

Ejemplos de procesos (débilmente) estacionarios¶

Proceso de ruido blanco¶

Una secuencia $\boldsymbol{U}=(U_t\mid t\in\mathbb{Z})$ de variables aleatorias incorreladas y tales que $$E(U_t)=0\quad\text{ y }\quad Var(U_t)=E(U_t^2)=\sigma^2$$ para $\;t\in\mathbb{Z}\;$ y $\;0<\sigma^2<\infty\;$ se llama proceso de ruido blanco. $\quad\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)$.

Al ser variables aleatorias incorreladas, su función de autocovarianzas es $$\boldsymbol{\gamma}(z)\;=\;\sigma^2 z^0\;=\;(\ldots,0,0,\sigma^2,0,0,\ldots)$$

  • Es el proceso estacionario (no trivial) más sencillo.
  • Este proceso es el pilar sobre el que definiremos el resto de ejemplos.

Procesos lineales¶

Sea $\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)$ y sea $\boldsymbol{b}\in \ell^2$; una secuencia de cuadrado sumable $\;\sum\limits_{j\in\mathbb{Z}}{b}_j^2<\infty$.

Denominamos proceso lineal al proceso estocástico $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}*\boldsymbol{U}$ cuyos elementos son $$X_t \;=\;(\boldsymbol{b}*\boldsymbol{U})_t \;=\;\boldsymbol{b}(B)U_t \;=\;\sum_{j=-\infty}^\infty {b}_j U_{t-j};\qquad t\in\mathbb{Z}.$$

Este proceso es estacionario (véase la demo en los apuntes en pdf)

$\boldsymbol{b}(B)$ se denomina función de transferencia del filtro lineal que relaciona $X_t$ con $U_t$.

El proceso lineal es ``causal'' si además $\boldsymbol{b}$ es una serie formal (i.e., $cogrado(\boldsymbol{b})\geq{\color{blue}{0}}$) $$X_t=\sum_{j=0}^\infty {b}_j U_{t-j};\qquad t\in\mathbb{Z}$$ (pues cada $X_t$ es una suma de variables "del presente y/o el pasado").

La clase de procesos lineales causales incluye muchas e importantes subclases de procesos, algunas de las cuales son objeto principal de estudio de este curso.

Media móvil infinita. MA($\infty$)¶

Sea $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;$ y sea $\;\boldsymbol{\psi}\in \ell^2\;$ una serie formal con infinitos términos NO nulos; entonces el proceso estocástico $\boldsymbol{\psi}*\boldsymbol{U}$, cuyos elementos son $$X_t \;=\;(\boldsymbol{\psi}*\boldsymbol{U})_t \;=\;\boldsymbol{\psi}(B)U_t \;=\;\sum_{j=0}^\infty \psi_j U_{t-j};\qquad t\in\mathbb{Z}$$ se denomina proceso de media móvil infinita MA($\infty$).

Algunas clases de procesos lineales causales tienen una representación parsimoniosa, pues basta un número finito de parámetros para representarlos completamente. Por ejemplo, cuando $\boldsymbol{\psi}$ tiene un número finito de términos no nulos…

Proceso de media móvil de orden $q$. MA($q$)¶

Sea $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;$ y sea $\;\boldsymbol{\theta}\;$ un polinomio de grado $q$ con ${\color{#008000}{\theta_{0}=1}}$; entonces el proceso estocástico $\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U}$, cuyos elementos son $$X_t \;=\;(\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U})_t \;=\;\boldsymbol{\theta}(B)U_t \;=\;\sum_{j=0}^q\theta_j U_{t-j};\qquad t\in\mathbb{Z}$$ se denomina proceso de media móvil MA($q$).

Es decir, si $\;\boldsymbol{\theta}=(1-\theta_1z-\cdots-\theta_qz^q)\;$: $$ X_t = U_t - \theta_1 U_{t-1} - \cdots - \theta_q U_{t-q}.$$

Hay otros procesos lineales con representación parsimoniosa.

Proceso autorregresivo de orden $p$. AR($p$)¶

Sea $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;$, se denomina proceso autorregresivo de orden $p$ a aquel proceso estocástico estacionario $\;\boldsymbol{X}\;$ que es la solución de la siguiente ecuación en diferencias $$\boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U}$$ donde $\;\boldsymbol{\phi}\;$ un polinomio de grado $p$ con ${\color{#008000}{\phi_{0}=1}}$;

Por tanto, $$(\boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{X})_t= \boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})X_t= \sum_{j=0}^p \phi_j X_{t-j} = U_t.$$

Si $\;\boldsymbol{\phi}=(1-\phi_1z-\cdots-\phi_pz^p)\;$ entonces $\boldsymbol{X}=(X_t\mid t\in\mathbb{Z})$ es solución de la ecuación: $$X_t - \phi_1 X_{t-1} - \cdots -\phi_q X_{t-q} = U_t.$$

El problema con la anterior definición es que la ecuación $\boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U}$ no tiene solución única (y en algunos casos ninguna solución es estacionaria). Despejemos $\boldsymbol{X}$ para verlo.

Multiplicando ambos lados de la ecuación por una inversa de $\boldsymbol{\phi}$ tenemos $$\boldsymbol{X}=inversa(\boldsymbol{\phi})*\boldsymbol{U}.$$ Y si denotamos la secuencia $inversa(\boldsymbol{\phi})$ con $\boldsymbol{a}$ entonces $$X_t=\boldsymbol{a}(\mathsf{B})U_t=\sum_{j\in\mathbb{Z}} a_j U_{t-j}.$$

Pero… ¿Qué secuencia $\boldsymbol{a}$ usamos como inversa de $\boldsymbol{\phi}$? Recuerde que hay infinitas y la mayoría no son sumables (si el polinomio $\boldsymbol{\phi}$ tiene raíces unitarias ninguna lo es).

En tal caso la expresión $\;\boldsymbol{a}(\mathsf{B})U_t=\sum\limits_{j=-\infty}^\infty a_j U_{t-j}\;$ carece de sentido (pues no converge).

Requisitos sobre el polinomio autorregresivo $\boldsymbol{\phi}.\;$ Para que el proceso AR exista y sea:

  1. lineal y estacionario, exigiremos que $\boldsymbol{\phi}$ no tenga raíces de módulo 1.

    Entonces existe una única inversa absolutamente sumable: $\boldsymbol{\phi}^{-1} \in \ell^1\subset\ell^2$.

    La inversa $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{\phi}^{-1}$ corresponde a la única solución estacionaria de $\boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U}$. (Si $\boldsymbol{\phi}$ tuviera raíces de módulo 1 no existiría ni $\boldsymbol{\phi}^{-1}$, ni la solución estacionaria).

    $$X_t=\boldsymbol{\phi}^{-1}(\mathsf{B})U_t=\sum_{j=-\infty}^\infty a_j U_{t-j}$$

  2. causal exigiremos que las raíces de $\boldsymbol{\phi}$ sean mayores que 1 en valor absoluto (raíces fuera del círculo unidad): $\boldsymbol{\phi}^{-1}=\boldsymbol{\phi}^{-\triangleright}\;$ (serie formal $\in\ell^1\subset\ell^2$).

    $$X_t=\boldsymbol{\phi}^{-1}(\mathsf{B})U_t=\sum_{j=0}^\infty a_j U_{t-j}$$

(¡de nuevo un proceso lineal causal!)

El siguiente modelo lineal es una combinación (o generalización) de los dos anteriores.

Proceso autorregresivo de media móvil. ARMA($p,q$)¶

Sea $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;$, se denomina proceso autorregresivo de media móvil $(p,q)$ al proceso estocástico estacionario $\;\boldsymbol{X}\;$ que es la solución de la ecuación en diferencias: $$\boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U}$$ donde el polinomio autorregresivo $\;\boldsymbol{\phi}\;$ tiene grado $p$ con ${\color{#008000}{\phi_{0}=1}}$ y con todas sus raíces fuera del círculo unidad (por los motivos anteriormente vistos); y el polinomio de media móvil $\;\boldsymbol{\theta}\;$ es de grado $q$ con ${\color{#008000}{\theta_{0}=1}}$;

$$\text{es decir,}\qquad \boldsymbol{X}=\frac{\boldsymbol{\theta}}{\boldsymbol{\phi}}*\boldsymbol{U}; \qquad\text{donde}\; \frac{\boldsymbol{\theta}}{\boldsymbol{\phi}}\equiv\boldsymbol{\phi}^{-1}*\boldsymbol{\theta}$$

Tanto $\boldsymbol{\phi}^{-1}$ como $\boldsymbol{\theta}$ son series formales absolutamente sumables y como $\ell^1$ y las series formales son anillos, $\boldsymbol{\phi}^{-1}*\boldsymbol{\theta}\equiv\frac{\boldsymbol{\theta}}{\boldsymbol{\phi}}\in\ell^1$ también es una serie formal absolutamente sumable (y por tanto de cuadrado sumable). Consecuentemente el proceso estocástico es un proceso lineal causal. $$X_t=\frac{\boldsymbol{\theta}}{\boldsymbol{\phi}}(\mathsf{B})U_t=\sum_{j=0}^\infty a_j U_{t-j}$$ donde $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{\phi}^{-1}*\boldsymbol{\theta}$.

Proceso autorregresivo de media móvil con media no nula¶

Consideremos un proceso $\boldsymbol{Y}$ con media distinta de cero, es decir, $$E(Y_t)=\mu\ne0$$ y definamos la secuencia constante $\boldsymbol{\mu}=\sum\limits_{j\in\mathbb{Z}} \mu z^j=(\ldots,\mu,\mu,\mu,\ldots)$. \medskip

Decimos que $\boldsymbol{Y}$ es un proceso ARMA($p,q$) con media distinta de cero si $\boldsymbol{X}$ es ARMA($p,q$) $$\boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U}$$ donde $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{\mu}$ es evidentemente un proceso de media cero. Por tanto

\begin{align*} \boldsymbol{\phi}*(\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{\mu})=&\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U}\\ \boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{\mu}=&\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U}\\ \boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{Y}=&\boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{\mu}+ \boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U}\\ \end{align*}

Es decir, si $\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})$ es $\;1-\phi_1\mathsf{B}-\phi_2\mathsf{B}^2-\cdots-\phi_p\mathsf{B}^p,\;$ entonces $$\boldsymbol{\phi}(B){Y_t}=c+\boldsymbol{\theta}(B){U_t}$$ donde $$\;c=(1-\phi_1-\phi_2-\cdots-\phi_p)\mu\;$$ y donde $\;\mu=E(Y_t)$, es un proceso autorregresivo de media móvil ARMA($p,q$) con media no nula.

Esperanza y autocovarianzas de un proceso lineal causal¶

Sea $\;\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\psi}*\boldsymbol{U},\;$ donde $\boldsymbol{\psi}$ es una serie formal de cuadrado sumable y donde $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2).\quad$ Recordando que la convolución es una operación lineal: $$E(\boldsymbol{X}) =E(\boldsymbol{\psi}*\boldsymbol{U}) =\boldsymbol{\psi}*E(\boldsymbol{U}) =\boldsymbol{\psi}*\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}.$$ Consecuentemente, la covarianza de orden $k$ para cada $X_t$ es

\begin{align*} \gamma_{_{k,t}} = & E\Big[\big(\boldsymbol{\psi}(\mathsf{B})X_t\big)\cdot \big(\boldsymbol{\psi}(\mathsf{B}) X_{t-k}\big)\Big] \\ = & E\Big[ (\psi_0U_{t}+\psi_1U_{t-1}+\psi_2U_{t-2}\cdots) (\psi_0U_{t-k}+\psi_1U_{t-k-1}+\psi_2U_{t-k-2}\cdots)\Big] \\ = & \sigma^2\sum\nolimits_{j\in\mathbb{Z}}\psi_{j+k}\psi_j \qquad \text{ ya que }\; E(U_hU_j)=0\; \text{ si } \;j\ne h, \end{align*}

que no depende de $t$ ($\boldsymbol{X}$ es estacionario). Es más, por la última ecuación de la lección 4 $$\;\gamma_k \;=\; \sigma^2\sum\nolimits_{j\in\mathbb{Z}}\psi_{j+k}\psi_j \;=\; \sigma^2\big(\boldsymbol{\psi}(z)*\boldsymbol{\psi}(z^{-1})\big)_k \qquad \text{ para } k\in\mathbb{Z}.$$ Y, por tanto

\begin{equation} \label{eqAutoCovarianzaProcesoLineal} \boldsymbol{\gamma}=\sigma^2\boldsymbol{\psi}(z)*\boldsymbol{\psi}(z^{-1}) \end{equation}

con grado igual al grado de $\boldsymbol{\psi}$ y cogrado igual a menos el grado de $\boldsymbol{\psi}$.

Covarianza cruzada entre dos procesos lineales causales¶

Sean $\;\boldsymbol{W}=\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U}\quad$ e $\quad\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{\psi}*\boldsymbol{U},\quad$ donde $\boldsymbol{\theta}$ y $\boldsymbol{\psi}$ son series formales de cuadrado sumable y donde $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)$.

Repitiendo los mismos pasos que en el caso de la autocovarianza, llegamos a que la función de covarianzas cruzadas es la secuencia

\begin{equation} \label{eqCovarianzaCruzadaProcesosLineales} \boldsymbol{\gamma_{_{\boldsymbol{W},\boldsymbol{Y}}}} = \sigma^2 \boldsymbol{\theta}(z)*\boldsymbol{\psi}(z^{-1}) \end{equation}

con grado igual al grado de $\boldsymbol{\theta}$ y cogrado igual a menos el grado de $\boldsymbol{\psi}$.

Las Ecuaciones de Yule-Walker para un AR($p$) estacionario¶

Por una parte (lado izquierdo):

Si $\boldsymbol{X}$ es un proceso (débilmente) estacionario con $E(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{0}\;$ y $\;\boldsymbol{\phi}$ es una serie formal absolutamente sumable; entonces para $t,k\in\mathbb{Z}$

\begin{equation} E\Big[\Big(\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})X_t\Big)\cdot X_{t-k}\Big] \quad = \quad \boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})E\big(X_t\cdot X_{t-k}\big) \quad = \quad \boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})\gamma_k \label{eqnLadoIzquierdoYW} \end{equation}

que no depende de $t$, por ser $\boldsymbol{X}$ es un proceso (débilmente) estacionario.

Por otra parte (lado derecho):

Si $\boldsymbol{X}$ tiene representación $\;\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\psi}*\boldsymbol{U}$ donde $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)$ y $\boldsymbol{\psi}\in\ell^2$ es una serie formal con $\psi_0=1$; es decir, si es un proceso lineal causal

$$\quad X_t=U_t + \sum\nolimits_{j=1}^\infty \psi_j U_{t-j},$$

entonces para $t,k\in\mathbb{Z}$

\begin{equation} E[U_t\cdot X_{t-k}] = E\Big[U_t\Big(U_{t-k} + \sum\nolimits_{j=1}^\infty \psi_j U_{t-k-j}\Big) \Big]= \begin{cases} \sigma^2 & \text{cuando } k=0\\ 0 & \text{cuando } k\ne0 \end{cases} \label{eqnLadoDerechoYW} \end{equation}

Sea un AR($p$) estacionario: $\;\;\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})X_t=U_t\;\;$ donde $\;\;\boldsymbol{\phi}(z)=1-\phi_1z^1-\cdots-\phi_pz^p.\;$ Multiplicando por $X_{t-k}$ y tomando esperanzas: $$E\Big[\Big(\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})X_t\Big)\cdot X_{t-k}\Big] = E[U_t\cdot X_{t-k}]$$

para $k=0$: $\quad$ (por $\ref{eqnLadoIzquierdoYW}$ y $\ref{eqnLadoDerechoYW}$) $$\fbox{$\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})\gamma_0=\sigma^2$} \quad\Rightarrow\quad \gamma_0-\phi_1\gamma_1-\cdots-\phi_p\gamma_p=\sigma^2 \quad\Rightarrow\quad \sigma^2=\gamma_0-\sum\nolimits_{j=1}^p\phi_j\gamma_j.$$ Dividiendo por $\gamma_0$ (y recordando que $\rho_0=1$): $$\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})\rho_0=\frac{\sigma^2}{\gamma_0} \quad\Rightarrow\quad \fbox{$\gamma_0=\frac{\sigma^2}{\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})\rho_0}$} \quad\Rightarrow\quad \gamma_0=\frac{\sigma^2}{1-\sum\nolimits_{j=1}^p\phi_j\rho_j}.$$

para $k>0$: $\quad$ (por $\ref{eqnLadoIzquierdoYW}$ y $\ref{eqnLadoDerechoYW}$) $$\fbox{$\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})\gamma_k=0$} \quad\Rightarrow\quad \gamma_k-\phi_1\gamma_{k-1}-\cdots-\phi_p\gamma_{k-p}=0 \quad\Rightarrow\quad \gamma_k=\sum\nolimits_{j=1}^p\phi_j\gamma_{k-j}.$$ Dividiendo por $\gamma_0$: $$\fbox{$\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})\rho_k=0$} \quad\Rightarrow\quad \rho_k-\phi_1\rho_{k-1}-\cdots-\phi_p\rho_{k-p}=0 \quad\Rightarrow\quad \rho_k=\sum\nolimits_{j=1}^p\phi_j\rho_{k-j}.$$

Por tanto, la estructura autorregresiva del proceso impone que las autocovarianzas (y las autocorrelaciones) verifiquen las ecuaciones de Yule-Walker.

Función de autocovarianzas para un ARMA($p,q$)¶

Sea un ARMA($p,q$) estacionario: $\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B}){X_t}=\boldsymbol{\theta}(\mathsf{B}){U_t}\;$ donde $\boldsymbol{\phi}$ y $\boldsymbol{\theta}$ no tienen raíces comunes. Multiplicando por $X_{t-k}$, tomando esperanzas y sustituyendo $X_{t-k}$ por su representación MA($\infty$), donde $\boldsymbol{\psi}=\frac{\boldsymbol{\theta}}{\boldsymbol{\phi}}$: $$\underbrace{E\Big[\Big(\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})X_t\Big)\cdot X_{t-k}\Big]}_{\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})\gamma_k\;(\text{por \ref{eqnLadoIzquierdoYW}})} = E\Big[\Big(\boldsymbol{\theta}(\mathsf{B})U_t\Big)\cdot X_{t-k}\Big] \;=\; \underbrace{E\Big[\Big(\boldsymbol{\theta}(\mathsf{B})U_t\Big)\cdot \Big(\boldsymbol{\psi}(\mathsf{B})U_{t-k}\Big)\Big]}_{\boldsymbol{\gamma_{_{\boldsymbol{W},\boldsymbol{Y}}}}(k)}$$ Donde hemos usando $\eqref{eqnLadoIzquierdoYW}$ y renombrando $\;\boldsymbol{\theta}(\mathsf{B})U_t=\boldsymbol{W}\;$ y $\;\boldsymbol{\psi}(\mathsf{B})U_t=\boldsymbol{Y}.\;$ Así:

\begin{align*} \boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})\gamma_k & = \boldsymbol{\gamma_{_{\boldsymbol{W},\boldsymbol{Y}}}}(k)\\ & = \sigma^2 \Big(\boldsymbol{\theta}(z)*\boldsymbol{\psi}(z^{-1})\Big)_k & \text{por } \eqref{eqCovarianzaCruzadaProcesosLineales} \end{align*}

Y como $\boldsymbol{\theta}(z)*\boldsymbol{\psi}(z^{-1})$ tiene grado $q$ y cogrado $-\infty$

\begin{equation} \boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})\gamma_k = \begin{cases} 0 & k > q\quad \text{(como en un AR)}\\ \sigma^2 \Big(\boldsymbol{\theta}(z)*\boldsymbol{\psi}(z^{-1})\Big)_k & k\leq q \quad \text{(que depende de $\boldsymbol{\theta}$ y $\boldsymbol{\phi}$)} \end{cases} \end{equation}