Econometría Aplicada. Lección 8

Aún, una vez superadas las pruebas de diagnostico, se puede aplicar un análisis exploratorio consistente en añadir parámetros AR y/o MA, para comprobar si resultan significativos y mejoran el modelo

El operador diferencia \(\nabla\) se define a partir del operador retardo como \(\nabla=(1 - \mathsf{B})\): \[\nabla Y_t = (1 - \mathsf{B})Y_t = Y_t - Y_{t-1}\] El operador diferencia estacional es \({\nabla}_{_S} = (1 - \mathsf{B}^S)\): \[\nabla_{_S}Y_t = (1 - \mathsf{B}^S)Y_t = Y_t - Y_{t-S}\]

Cuando un polinomio tiene alguna raíz igual a uno se dice que tiene “raíces unitarias”.

Si el polinomio AR estimado tiene alguna raíz "próxima a uno" es síntoma de infradiferenciación.

Si el polinomio MA estimado tiene alguna raíz "próxima a uno" es síntoma de sobrediferenciación.

Ejemplos:

Un paseo aleatorio representa una variable cuyos cambios son ruido blanco: \[Y_t = \mu + Y_{t-1} + U_t\]

Cuando \(\mu\ne0\) se denomina paseo aleatorio con deriva: \(\;\nabla Y_t = \mu + U_t\)

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 4, repr.plot.res = 200)
rwcd <- um(i = "(1 - B)",
           mu=.25)
ide(sim(rwcd, n = 500),
    lag.max = 20,
    graphs = c("plot", "acf", "pacf", "pgram"),
    main = "Paseo aleatorio con deriva (mu=0.25)")

El proceso tiene mayor inercia cuanto mayor es \(|\mu|\). El signo de \(\mu\) determina el signo de la pendiente global.

Cuando \(\mu=0\) se denomina sencillamente paseo aleatorio: \(\;\nabla Y_t = U_t\)

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 4, repr.plot.res = 200)
rw <- um(i = "(1 - B)")
ide(sim(rw, n = 500), lag.max = 20, graphs = c("plot", "acf", "pacf", "pgram"), main = "Paseo aleatorio")

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 2, repr.plot.res = 200)
SMA1 <- um(ma = "(1 - 0.9B12)")
display(list(SMA1), lag.max = 50, byrow = TRUE)

MA(\(1\)) estacional: \(\quad\boldsymbol{\Theta}=1-0.9z^{12}\quad\Rightarrow\quad X_t= (1-0.9 \mathsf{B}^{12})U_t\)

roots(SMA1)

1. Real	Imaginary	Modulus	Frequency	Period	Mult.
   1.008819e+00	1.082287e-14	1.008819	0.00000000	Inf	1
   8.736626e-01	5.044094e-01	1.008819	0.08333333	12.0	1
   8.736626e-01	-5.044094e-01	1.008819	0.08333333	12.0	1
   5.044094e-01	-8.736626e-01	1.008819	0.16666667	6.0	1
   5.044094e-01	8.736626e-01	1.008819	0.16666667	6.0	1
   1.288336e-14	-1.008819e+00	1.008819	0.25000000	4.0	1
   -2.057493e-17	1.008819e+00	1.008819	0.25000000	4.0	1
   -5.044094e-01	-8.736626e-01	1.008819	0.33333333	3.0	1
   -5.044094e-01	8.736626e-01	1.008819	0.33333333	3.0	1
   -8.736626e-01	-5.044094e-01	1.008819	0.41666667	2.4	1
   -8.736626e-01	5.044094e-01	1.008819	0.41666667	2.4	1
   -1.008819e+00	-1.257046e-14	1.008819	0.50000000	2.0	1

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 5, repr.plot.res = 200)
ide(sim(SMA1, n = 500),
    lag.max = 50,
    lags.at = 12,
    graphs = c("plot", "acf", "pacf", "pgram"))

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 2, repr.plot.res = 200)
SAR1 <- um(ar = "(1 - 0.9B12)")
display(list(SAR1), lag.max = 50, byrow = TRUE)

AR(\(1\)) estacional: \(\quad\boldsymbol{\Phi}=1-0.9z^{12}\quad\Rightarrow\quad (1-0.9 \mathsf{B}^{12})X_t= U_t\)

roots(SAR1)

Evidentemente las raíces son iguales a las del caso anterior (aunque ahora corresponden al polinomio autorregresivo).

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 5, repr.plot.res = 200)
ide(sim(SAR1, n = 500),
    lag.max = 50,
    lags.at = 12,
    graphs = c("plot", "acf", "pacf", "pgram"))

Con estos dos ejemplos hemos podido apreciar que:

• las pautas de autocorrelación son análogas a las de los MA(1) y AR(2), pero ahora los retardos significativos corresponden a los retardos estacionales, es decir, a múltiplos del período estacional \(S\).
• En estos ejemplos, en los que \(S=12\), los retardos estacionales son: 12, 24, 36, 48, 60,…
• las correlaciones correspondientes a los “retardos regulares” (es decir, todos menos menos los estacionales) son no significativas en general.

Veamos ahora un par de ejemplos de modelos estacionales multiplicativos (i.e., con parte regular y parte estacional).

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 2, repr.plot.res = 200)
MA1SMA1 <- um(ma = "(1 - 0.9B)(1 - 0.9B12)")
display(list(MA1SMA1), lag.max = 50, byrow = TRUE)

ARIMA\((0,0,1)\times(0,0,1)_{12}\): \(\quad X_t= (1-0.9 \mathsf{B})(1-0.9 \mathsf{B}^{12})U_t\)

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 5, repr.plot.res = 200)
ide(sim(MA1SMA1, n = 500),
    lag.max = 50,
    lags.at = 12,
    graphs = c("plot", "acf", "pacf", "pgram"))

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 2, repr.plot.res = 200)
AR1SMA1 <- um(ar = "(1 - 0.9B)", ma = "(1 - 0.9B12)")
display(list(AR1SMA1), lag.max = 50, byrow = TRUE)

ARIMA\((1,0,0)\times(0,0,1)_{12}\): \(\quad (1-0.9 \mathsf{B})X_t= (1-0.9 \mathsf{B}^{12})U_t\)

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 5, repr.plot.res = 200)
ide(sim(AR1SMA1, n = 500),
    lag.max = 50,
    lags.at = 12,
    graphs = c("plot", "acf", "pacf", "pgram"))

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 2, repr.plot.res = 200)
AR1SAR1 <- um(ar = "(1 - 0.9B)(1 - 0.9B12)")
display(list(AR1SAR1), lag.max = 50, byrow = TRUE, log.spec = TRUE)

ARIMA\((1,0,0)\times(1,0,0)_{12}\): \(\quad (1-0.9 \mathsf{B})(1-0.9 \mathsf{B}^{12})X_t= U_t\)

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 5, repr.plot.res = 200)
ide(sim(AR1SAR1, n = 500),
    lag.max = 50,
    lags.at = 12,
    graphs = c("plot", "acf", "pacf", "pgram"))

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 2, repr.plot.res = 200)
MA1SAR1 <- um(ar = "(1 - 0.9B12)", ma = "(1 - 0.9)")
display(list(MA1SAR1), lag.max = 50, byrow = TRUE, log.spec = TRUE)

ARIMA\((0,0,1)\times(1,0,0)_{12}\): \(\quad (1-0.9 \mathsf{B}^{12})X_t= (1-0.9 \mathsf{B})U_t\)

options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 5, repr.plot.res = 200)
ide(sim(MA1SAR1, n = 500),
    lag.max = 50,
    lags.at = 12,
    graphs = c("plot", "acf", "pacf", "pgram"))

En estos cuatro ejemplos hemos podido apreciar que

• en el entorno de los retardos estacionales surgen una serie de coeficientes significativos (“satélites”) que proceden de la interacción entre las estructuras regular y estacional
• Estos satélites son útiles para identificar en qué retardos estacionales hay autocorrelaciones no nulas, pero no requieren una parametrización especial.

• Son modelos sin variables exógenas
• Resumen la interdependencia temporal con polinomios de órdenes reducidos.
• Está especialmente indicada para hacer predicción.
• Parte de dos supuestos sobre el proceso estocástico subyacente:
  1. es débilmente estacionario
  2. tiene representación como proceso lineal: \(Y_t=\mu+\sum_{j=0}^\infty a_j U_{t-j}\) con \(\;\mu\in\mathbb{R},\;\) \(\boldsymbol{a}\in\ell^2\;\) y \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\)
• (Además se suele asumir normalidad en \(U_t\))
• Utiliza múltiples instrumentos: (a) gráficos (b) función de autocorrelación (c) función de autocorrelación parcial, (d) estadístico Q de Ljung-Box, etc…
• Si la serie original no "parece" débilmente estacionaria, se induce esta propiedad mediante las transformaciones adecuadas

Tres fases:

Identificación

Elija una especificación provisional para el proceso estocástico generador de los datos en base a las características medibles de los datos: “dejar que los datos hablen”

Estimación

suele requerir métodos iterativos (Gretl se encarga de esto)

Diagnosis

de la calidad estadística del modelo ajustado. Algunos controles estándar son:

• Significatividad de los parámetros estimados
• Estacionariedad y homocedasticidad de los residuos
• ¿Existe un patrón de autocorrelación residual que podría ser modelado? ¿O hemos logrado que los residuos sean "ruido blanco"?

Si la diagnosis no es satisfactoria, se vuelve a la primera fase.

Si la diagnosis es satisfactoria… ¡hemos logrado un modelo aceptable!