Econometría Aplicada. Lección 8¶

Author: Marcos Bujosa

En esta lección repasamos los instrumentos de identificación y diagnosis del análisis univariante. Extendemos la notación para incorporar modelos con raíces unitarias. Presentamos modelos estacionales y finalmente resumimos las ideas principales del análisis univariante.

$ \newcommand{\lag}{\mathsf{B}} \newcommand{\Sec}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\Pol}[1]{\boldsymbol{#1}} $

Carga de algunas librerías de R¶

In [1]:
# cargamos algunas librerías de R
library(tfarima)      # librería de José Luis Gallego para Time Series
library(readr)        # para leer ficheros CSV
library(ggplot2)      # para el scatterplot (alternaticamente library(tidyverse))
library(ggfortify)    # para pintar series temporales
library(jtools)       # para representación resultados estimación
library(zoo)          # para generar objetos ts (time series)
# y fijamos el tamaño de las figuras que se generan en el notebook
options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 4, repr.plot.res = 200)

Identificación y diagnosis¶

  • Combinando las herramientas gráficas y estadísticas que hemos visto, se puede inferir el modelo subyacente a los datos.

  • Este proceso de especificación empírica del modelo es conocido como "identificación"

El proceso de identificación puede estructurarse como una secuencia de preguntas:

  1. ¿Es estacionaria la serie?
  2. ¿Tiene una media significativa?
  3. ¿Es persistente la ACF? ¿sigue alguna pauta reconocible?
  4. ¿Es persistente la PACF? ¿sigue alguna pauta reconocible?

  • La identificación se basa en estadísticos, como la media muestral o las autocorrelaciones, cuya representatividad respecto de los momentos teóricos depende de la estacionariedad (y la ergodicidad).

  • Tras inducir la estacionariedad, especificamos un modelo tentativo decidiendo cuál de las funciones ACF o PACF es finita y cuál es persistente

ACF finita ACF persistente
PACF finita Ruido blanco: retardos conjuntamente NO significativos AR: orden indicado por la PACF
PACF persistente MA: orden indicado por la ACF ARMA

La parametrización de mayor orden en modelos ARMA con series económicas suele ser ARMA($2,1$)

Instrumentos de identificación¶

Instrumento Objetivo y observaciones
Transf. logarítmica Gráficos rango-media y serie temporal Conseguir independizar la variabilidad de los datos de su nivel. Las series económicas necesitan esta transformación frecuentemente
$d$, orden de diferenciación Gráfico de la serie temporal. ACF (caída lenta y lineal). Contrastes de raíz unitaria (DF o ADF y KPSS) Conseguir que los datos fluctúen en torno a una media estable. En series económicas, $d$ suele ser 0, 1 ó 2
Constante Media de la serie transformada. Desviación típica de la media Si la media de la serie transformada es significativa, el modelo debe incluir un término constante
$p$, orden AR Si PACF de orden $p$ y ACF infinita En series económicas $p$ suele ser $\leq2$
$q$, orden MA Si ACF de orden $q$ y PACF infinita En series económicas q suele ser $\leq1$

Instrumentos de diagnosis¶

Instrumento Posible diagnóstico
$d$, orden de diferenciación Proximidad a 1 de alguna raíz de los polinomios AR o MA Conviene diferenciar si la raíz es AR; o quitar una diferencia si es MA (salvo si hay tendencia determinista)
$d$, orden de diferenciación Gráfico de los residuos Si muestra rachas largas de residuos positivos o negativos, puede ser necesaria una diferencia adicional.
Constante Media de los residuos Si es significativa: añadir una constante
Constante Constante estimada Si NO es significativa: el modelo mejorará quitando el término constante
$p$ y $q$, Contrastes de significación de los parámetros estimados Pueden sugerir eliminar parámetros irrelevantes
$p$ y $q$, ACF/PACF residuos. Test Q de Ljung-Box Indican posibles pautas de autocorrelación no modelizadas
$p$ y $q$, Correlaciones elevadas entre los parámetros estimados Puede ser síntoma de sobreparametrización

Aún, una vez superadas las pruebas de diagnostico, se puede aplicar un análisis exploratorio consistente en añadir parámetros AR y/o MA, para comprobar si resultan significativos y mejoran el modelo

Notación: operadores retardo y diferencia y modelos ARIMA¶

El operador diferencia $\nabla$ se define a partir del operador retardo como $\nabla=(1 - \mathsf{B})$: $$\nabla Y_t = (1 - \mathsf{B})Y_t = Y_t - Y_{t-1}$$ El operador diferencia estacional es ${\nabla}_{_S} = (1 - \mathsf{B}^S)$: $$\nabla_{_S}Y_t = (1 - \mathsf{B}^S)Y_t = Y_t - Y_{t-S}$$

Extendemos la notación a procesos con raíces autorregresivas unitarias Con ``ARIMA($p,d,q$)''; donde $d$ indica el número de diferencias que la serie necesita para ser $I(0)$, $$\boldsymbol{\phi}_p*\nabla^d*\boldsymbol{Y} = \boldsymbol{\theta}_q* \boldsymbol{U}$$ es decir $$\boldsymbol{\phi}_p(\mathsf{B})\nabla^d Y_t = \boldsymbol{\theta}_q(\mathsf{B}) U_t; \quad t\in\mathbb{Z}$$

Raíces unitarias en los polinomios AR y MA¶

Cuando un polinomio tiene alguna raíz igual a uno se dice que tiene “raíces unitarias”.

Si el polinomio AR estimado tiene alguna raíz "próxima a uno" es síntoma de infradiferenciación.

Si el polinomio MA estimado tiene alguna raíz "próxima a uno" es síntoma de sobrediferenciación.

Ejemplos:

Modelo expresado con raíces unitarias en $\boldsymbol{\phi}$ o $\boldsymbol{\theta}$ Modelo equivalente sin raíces unitarias en $\boldsymbol{\phi}$ o $\boldsymbol{\theta}$
$(1-1.5\mathsf{B}+.5\mathsf{B}^2) Y_t = U_t$ ${\color{blue}{(1-0.5\mathsf{B})\nabla Y_t=U_t}}$
$(1-.5\mathsf{B}+0.7\mathsf{B}^2)\nabla^2Y_t=(1-\mathsf{B})U_t$ ${\color{blue}{(1-.5\mathsf{B}+0.7\mathsf{B}^2)\nabla Y_t = U_t}}$
$\nabla Y_t = \beta+ (1-\mathsf{B}) U_t$ ${\color{blue}{Y_t = \beta t + U_t}}\quad$ (¡no estacionario!)

Paseos aleatorios¶

Un paseo aleatorio representa una variable cuyos cambios son ruido blanco: $$Y_t = \mu + Y_{t-1} + U_t$$

Cuando $\mu\ne0$ se denomina paseo aleatorio con deriva: $\;\nabla Y_t = \mu + U_t$

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El proceso tiene mayor inercia cuanto mayor es $|\mu|$. El signo de $\mu$ determina el signo de la pendiente global.

Cuando $\mu=0$ se denomina sencillamente paseo aleatorio: $\;\nabla Y_t = U_t$

img

Modelos ARIMA estacionales (SARIMA)¶

El período estacional $S$ es el número mínimo de observaciones necesarias para recorrer un ciclo estacional completo. Por ejemplo, $S=12$ para datos mensuales, $S=4$ para datos trimestrales, $S=24$ para datos horarios, etc.

Describiremos comportamientos estacionales con modelos ARIMA$(p,d,q)\times(P,D,Q)_S$

$$\boldsymbol{\phi}_p(\mathsf{B})\boldsymbol{\Phi}_P(\mathsf{B}^S)\nabla^d\nabla_{_S}^D Y_t = \boldsymbol{\theta}_q(\mathsf{B})\boldsymbol{\Theta}_q(\mathsf{B}^S) U_t; \quad t\in\mathbb{Z}$$

donde

\begin{align*} \boldsymbol{\Phi}_P(\mathsf{B}^S) = & 1-\Phi_1\mathsf{B}^{1\cdot S}-\Phi_2\mathsf{B}^{2\cdot S}-\cdots-\Phi_P\mathsf{B}^{P\cdot S}\\ \boldsymbol{\Theta}_Q(\mathsf{B}^S) = & 1-\Theta_1\mathsf{B}^{1\cdot S}-\Theta_2\mathsf{B}^{2\cdot S}-\cdots-\Theta_Q\mathsf{B}^{Q\cdot S}\\ {\nabla}_{_S}^D = & (1 - \mathsf{B}^S)^D \end{align*}

Es decir, el modelo consta de polinomios autorregresivos y de media móvil tanto regulares (en minúsculas) como estacionales (en mayúsculas).

Veamos un ejemplo de un modelo MA($1$) estacional y otro de un modelo AR($1$) estacional…

MA(1) estacional con raíz positiva¶

MA($1$) estacional: $\quad\boldsymbol{\Theta}=1-0.9z^{12}\quad\Rightarrow\quad X_t= (1-0.9 \mathsf{B}^{12})U_t$

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AR(1) estacional con raíz positiva¶

AR($1$) estacional: $\quad\boldsymbol{\Phi}=1-0.9z^{12}\quad\Rightarrow\quad (1-0.9 \mathsf{B}^{12})X_t= U_t$

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Evidentemente las raíces son iguales a las del caso anterior (aunque ahora corresponden al polinomio autorregresivo).

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Con estos dos ejemplos hemos podido apreciar que:

  • las pautas de autocorrelación son análogas a las de los MA(1) y AR(2), pero ahora los retardos significativos corresponden a los retardos estacionales, es decir, a múltiplos del período estacional $S$.

  • En estos ejemplos, en los que $S=12$, los retardos estacionales son: 12, 24, 36, 48, 60,…

  • las correlaciones correspondientes a los “retardos regulares” (es decir, todos menos menos los estacionales) son no significativas en general.

Veamos ahora un par de ejemplos de modelos estacionales multiplicativos (i.e., con parte regular y parte estacional).

ARIMA$(0,0,1)\times(0,0,1)_{12}$¶

ARIMA$(0,0,1)\times(0,0,1)_{12}$: $\quad X_t= (1-0.9 \mathsf{B})(1-0.9 \mathsf{B}^{12})U_t$

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ARIMA$(1,0,0)\times(0,0,1)_{12}$¶

ARIMA$(1,0,0)\times(0,0,1)_{12}$: $\quad (1-0.9 \mathsf{B})X_t= (1-0.9 \mathsf{B}^{12})U_t$

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ARIMA$(1,0,0)\times(1,0,0)_{12}$¶

ARIMA$(1,0,0)\times(1,0,0)_{12}$: $\quad (1-0.9 \mathsf{B})(1-0.9 \mathsf{B}^{12})X_t= U_t$

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ARIMA$(0,0,1)\times(1,0,0)_{12}$¶

ARIMA$(0,0,1)\times(1,0,0)_{12}$: $\quad (1-0.9 \mathsf{B}^{12})X_t= (1-0.9 \mathsf{B})U_t$

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En estos cuatro ejemplos hemos podido apreciar que

  • en el entorno de los retardos estacionales surgen una serie de coeficientes significativos (“satélites”) que proceden de la interacción entre las estructuras regular y estacional
  • Estos satélites son útiles para identificar en qué retardos estacionales hay autocorrelaciones no nulas, pero no requieren una parametrización especial.

Resumen del análisis univariante de series temporales¶

Ideas principales respecto a la modelización univariante¶

  • Son modelos sin variables exógenas
  • Resumen la interdependencia temporal con polinomios de órdenes reducidos.
  • Está especialmente indicada para hacer predicción.
  • Parte de dos supuestos sobre el proceso estocástico subyacente:
    1. es débilmente estacionario
    2. tiene representación como proceso lineal: $Y_t=\mu+\sum_{j=0}^\infty a_j U_{t-j}$ con $\;\mu\in\mathbb{R},\;$ $\boldsymbol{a}\in\ell^2\;$ y $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)$
  • (Además se suele asumir normalidad en $U_t$)
  • Utiliza múltiples instrumentos: (a) gráficos (b) función de autocorrelación (c) función de autocorrelación parcial, (d) estadístico Q de Ljung-Box, etc…
  • Si la serie original no "parece" débilmente estacionaria, se induce esta propiedad mediante las transformaciones adecuadas
ACF finita ACF persistente
PACF finita Ruido blanco: retardos conjuntamente NO significativos AR: orden indicado por la PACF
PACF persistente MA: orden indicado por la ACF ARMA

Metodología¶

Tres fases:

  • Identificación: Elija una especificación provisional para el proceso estocástico generador de los datos en base a las características medibles de los datos: “dejar que los datos hablen”
  • Estimación: suele requerir métodos iterativos (Gretl se encarga de esto)
  • Diagnosis: de la calidad estadística del modelo ajustado. Algunos controles estándar son:
    • Significatividad de los parámetros estimados
    • Estacionariedad y homocedasticidad de los residuos
    • ¿Existe un patrón de autocorrelación residual que podría ser modelado? ¿O hemos logrado que los residuos sean "ruido blanco"?

Si la diagnosis no es satisfactoria, se vuelve a la primera fase.

Si la diagnosis es satisfactoria… ¡hemos logrado un modelo aceptable!