Sesión 7 (A) — Correlación como coseno: verificación geométrica con hprice2

En las lecciones 4 y 5 vimos que la media se obtiene mediante una proyección ortogonal, la desviación típica es una norma, la covarianza es un producto escalar de vectores centrados (es decir, vectores en desviaciones respecto a su media) y —el resultado central de la lección 5— que la correlación \(\rho_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}}\) es el coseno del ángulo entre los vectores en desviaciones. Todo eso se demostró con álgebra. Hoy lo verificamos con datos reales: calcularemos \(\rho\) con el comando de Gretl y, por otro lado, ``a mano'', construyendo el producto escalar y las normas con instrucciones de Gretl, para comprobar que ambos caminos dan el mismo número.

Retomamos hprice2 (práctica de la sesión con Gretl anterior) y las mismas tres variables ya etiquetadas: price, rooms, nox.

Objetivo

1. Repasar estadísticos descriptivos de varias variables a la vez.
2. Calcular covarianzas y correlaciones entre pares de variables.
3. Visualizar la relación mediante diagramas de dispersión.
4. Verificar numéricamente que \(\rho=\cos\theta\) entre los vectores centrados (es decir, en desviaciones).
5. Interpretar el signo y la magnitud de \(\rho\) en términos del ángulo entre vectores en desviaciones.

Abrimos de nuevo hprice2 y recuperamos las etiquetas de la práctica anterior.

en línea de comandos:

open hprice2.gdt --quiet
setinfo price -d "Precio mediano de la vivienda ($)" -n "Precio ($)"
setinfo rooms -d "Número medio de habitaciones" -n "Habitaciones"
setinfo nox -d "Concentración de óxidos de nitrógeno" -n "Contaminación (NOx)"

• Recuerde los estadísticos descriptivos:

en línea de comandos:

summary price rooms nox

                    Media        Mediana         Mínimo         Máximo
price               22512          21200         5000,0          50001
rooms              6,2841         6,2100         3,5600         8,7800
nox                5,5498         5,3800         3,8500         8,7100

            Desv. Típica.           C.V.      AsimetríaExc. de curtosis
price              9208,9        0,40907         1,1063         1,4594
rooms             0,70259        0,11181        0,40281         1,8595
nox                1,1584        0,20873        0,72258      -0,080785

                 Perc. 5%      Perc. 95%        Rango IQObservaciones ausentes
price               10200          43695         8199,0              0
rooms              5,3000         7,6295        0,74250              0
nox                4,0900         7,4000         1,7500              0

• En la ventana principal de Gretl, marque price, rooms y nox (con Ctrl), ``pinche'' con el botón derecho y seleccione Matriz de correlación.

  o bien teclee en línea de comandos:

  corr price rooms nox
  

  Antes de mirar el resultado:

  pensando en términos económicos, ¿qué signo esperaría en cada uno de los tres pares?

• Marque dos variables a la vez (p. ej. price y rooms), ``pinche'' con el botón derecho y seleccione Gráfico X-Y.

  o bien teclee en línea de comandos:

  gnuplot price rooms
  gnuplot price nox
  gnuplot rooms nox
  

Compare la ``forma'' de cada nube de puntos (más o menos alargada y ``alineada'' alrededor de la recta mostrada en cada figura²) con el valor numérico de \(\rho\) obtenido en la Actividad 2.

Vamos a reconstruir, con instrucciones de Gretl, exactamente lo que hicimos con lápiz y papel en la lección 5: centrar los vectores (i.e., restarles su media), comprobar que son ortogonales a \(\boldsymbol{1}\), calcular su producto escalar y sus normas, y formar el coseno del ángulo.

Recordando la lección 5: \(\rho\approx1\) corresponde a vectores en desviaciones casi alineados (ángulo pequeño); \(\rho\approx-1\), a vectores casi alineados pero en sentidos opuestos (ángulo cercano a \(180^o\)); \(\rho\approx0\), a vectores casi ortogonales (ángulo cercano a \(90^o\)).

De los tres pares calculados, ¿cuál tiene el ángulo más cercano a \(90^o\)? ¿Qué le dice eso sobre la relación (lineal) entre esas dos variables?

En la Actividad 4 no dividimos por ningún \(n\): usamos directamente el producto escalar y la norma euclídeos (sin el factor \(1/n\) de la lección 4), y aun así el coseno obtenido coincidió con corr. Esto no es casualidad: al ser un cociente, cualquier factor común que multiplique por igual al numerador y ambas normas se cancela. Comprobémoslo explícitamente, calculando \(\rho\) de tres formas distintas:

en línea de comandos:

scalar n = $nobs

scalar cov_hat_n    = sum(price_c*rooms_c)/n
scalar var_price_n  = sum(price_c^2)/n
scalar var_rooms_n  = sum(rooms_c^2)/n
scalar rho_dividiendo_n = cov_hat_n / sqrt(var_price_n*var_rooms_n)

scalar cov_hat_n1   = sum(price_c*rooms_c)/(n-1)
scalar var_price_n1 = sum(price_c^2)/(n-1)
scalar var_rooms_n1 = sum(rooms_c^2)/(n-1)
scalar rho_dividiendo_n1 = cov_hat_n1 / sqrt(var_price_n1*var_rooms_n1)

printf "rho sin dividir (Actividad 4) = %.6f\n", coseno_pr
printf "rho dividiendo por n          = %.6f\n", rho_dividiendo_n
printf "rho dividiendo por (n-1)      = %.6f\n", rho_dividiendo_n1
printf "rho de Gretl (corr)           = %.6f\n", corr(price,rooms)

rho sin dividir (Actividad 4) = 0,695780
rho dividiendo por n          = 0,695780
rho dividiendo por (n-1)      = 0,695780
rho de Gretl (corr)           = 0,695780

Los cuatro números deben coincidir. Esto no es un capricho de Gretl: es consecuencia de que \(\rho\) es un coseno, y el coseno no cambia si escalamos ambos vectores por la misma constante (homogeneidad de la norma, lección 2; invarianza de la correlación ante reescalados, lección 5). Aquí no nos limitamos a creerlo: lo hemos programado y comprobado nosotros mismos con instrucciones que Gretl no ofrece ``de fábrica''.

1. En los tres pares calculados (price-rooms, price-nox, rooms-nox), ¿coincide el signo de la correlación con lo que esperaría por argumentos económicos?
2. La covarianza y la correlación entre un mismo par de variables tienen siempre el mismo signo, pero sus magnitudes pueden ser muy distintas de un par a otro. ¿Por qué la correlación es preferible para comparar la fuerza de la relación entre distintos pares de variables?
3. ¿Por qué el valor de \(\rho\) no depende de si se divide por \(n\), por \(n-1\), o no se divide en absoluto?
4. De los tres pares de variables (en desviaciones), ¿cuál tiene el ángulo más cercano a \(90^o\)? ¿Qué interpretación geométrica tiene ese resultado?
5. Observando los tres diagramas de dispersión, ¿la ``forma'' de la nube (más o menos alargada/diagonal) se corresponde con la magnitud de \(\rho\) calculada?

Para profundizar:

• Wooldridge, J. M. (2020). Introductory Econometrics: A Modern Approach. Apéndice C.3: covarianza y correlación.
• Cottrell, A. y Lucchetti, R. (2023). Gretl User's Guide. Sección sobre funciones estadísticas (corr, cov) y sobre gráficos X-Y.
• Véanse las lecciones 4 y 5 para las demostraciones completas de lo que hoy verificamos numéricamente.

1. Signos esperados y observados. Por argumentos económicos cabe esperar \(\rho_{\text{price,rooms}}>0\) (más habitaciones, casas más grandes o mejores, mayor precio) y \(\rho_{\text{price,nox}}<0\) (más contaminación, zona menos deseable, menor precio). El signo de \(\rho_{\text{rooms,nox}}\) es menos evidente a priori; con estos datos sale negativo, \(\rho_{\text{rooms,nox}}=-0{,}3028\) (las zonas con más contaminación —más industriales/urbanas— tienden a tener viviendas algo más pequeñas), y de magnitud menor que los otros dos pares (\(0{,}6958\) y \(-0{,}4260\)). Lo importante pedagógicamente es que el alumno formule su expectativa antes de mirar el número, y después la contraste.

2. Covarianza vs. correlación para comparar fuerza de relación. La covarianza depende de las unidades de ambas variables (dólares, número de habitaciones, partes por cien millones de NOx), así que su magnitud no es comparable entre pares distintos: una covarianza ``grande'' puede deberse simplemente a que una variable se mide en una escala con números grandes. La correlación, al ser un coseno, es adimensional y está siempre en \([-1,1]\); por eso sí permite comparar, de forma homogénea, qué par de variables está ``más alineado'' en sentido geométrico.

3. Invarianza de \(\rho\) al divisor. Porque \(\rho\) es un cociente: tanto el numerador (covarianza o ``producto escalar'') como el denominador (producto de las dos desviaciones típicas o ``normas'') llevan el mismo factor de escala (ya sea \(1/n\), \(1/(n-1)\), o ningún factor en absoluto), y ese factor se cancela exactamente en la división. Es la misma propiedad de homogeneidad de la norma y de invarianza de la correlación ante reescalados demostrada en la lección 5, aplicada aquí a un caso extremo: reescalar por cualquier constante positiva común no cambia un coseno.

4. Ángulo más cercano a \(90^o\). Es el par con menor \(|\rho|\): rooms-nox, cuyo ángulo es de \(107{,}63^o\), frente a los \(115{,}22^o\) de price-nox y los \(45{,}91^o\) de price-rooms. Un ángulo cercano a \(90^o\) significa que los vectores en desviaciones son casi ortogonales: la variación de una variable, una vez descontada su media, apenas ``se parece'' (en dirección) a la variación de la otra. Esto no implica que no exista ninguna relación entre ambas variables, sino específicamente que no hay relación lineal apreciable entre sus componentes centradas.

5. Forma de la nube vs. magnitud de \(\rho\). Sí: cuanto mayor es \(|\rho|\), más ``alargada'' y alineada en torno a una diagonal aparece la nube de puntos (con pendiente positiva si \(\rho>0\), negativa si \(\rho<0\)); cuanto más cercano a 0, más ``redonda'' o dispersa en todas direcciones se ve la nube, sin una dirección diagonal dominante. Esta es la lectura visual exacta del ángulo entre los vectores centrados.