Sesión 7 (C) — Los momentos no bastan: misma media y desviación típica, formas distintas

En la práctica A de esta misma sesión comprobamos que \(\rho=\cos\theta\). Ahora damos un paso atrás y hacemos una pregunta más elemental, pero igual de importante: ¿basta con conocer la media y la desviación típica de una variable para saber cómo se distribuyen sus datos? La respuesta, como veremos, es no: dos conjuntos de datos pueden compartir exactamente esos dos números y, sin embargo, tener distribuciones radicalmente distintas —simétrica, asimétrica, bimodal, con un valor atípico—. Esta práctica motiva por qué la estadística descriptiva necesita más de dos herramientas: además de media y desviación típica, también conviene analizar los histogramas, diagramas de caja, y estadísticos adicionales como la asimetría y la curtosis.

Narrativa: imaginamos cuatro empresas ficticias —TechNorte, Comercial Sur, Industrias Centro y Consultora Este— cuyo salario mensual (en euros) tiene, en las cuatro, la misma media y la misma desviación típica. ¿Tienen las cuatro plantillas ``el mismo tipo'' de estructura salarial?

Objetivo

1. Mostrar que estadísticos idénticos (o casi) no garantizan distribuciones parecidas.
2. Reforzar el uso de histograma y diagrama de caja como herramientas necesarias, no opcionales.
3. Introducir otros estadísticos descriptivos —asimetría, curtosis, mediana— que sí distinguen estas formas.

Nota técnica: en esta práctica los datos no son reales ni simulados al azar sin más: cada serie se genera con un tipo de distribución propia y luego se reescala para forzar una media y una desviación típica comunes. El procedimiento exacto se explica, con el detalle geométrico completo, en el Apéndice final. El tamaño muestral (n = $nobs) es un parámetro (cuyo valor $nobs queda fijado inicialmente con nulldata 40): si al dibujar los histogramas la muestra pareciera escasa, basta con cambiar ese valor a 60 u 80 y volver a ejecutar el guión.

Generamos cuatro series de \(n=40\) observaciones con distribuciones muy distintas, pero forzando en las cuatro la misma media (\(\mu_0\)) y la misma desviación típica (\(\sigma_0\), medida con la función sd de Gretl; véase la nota sobre el divisor en el Apéndice). El truco (reescalado de un vector en desviaciones) usa exactamente las propiedades de invarianza y homogeneidad demostradas en la lección 5; el detalle completo se explica en el Apéndice.

en línea de comandos:

nulldata 40
setobs 1 1 --cross-section
set seed 20250213

scalar n     = $nobs
scalar mu0   = 1800  # media común objetivo (euros)
scalar sigma0 = 250  # desviación típica común objetivo (euros)

en línea de comandos:

summary A B C D --simple

                Media    Mediana      D. T.        Mín        Máx
A                1800       1787      250,0       1222       2296
B                1800       1726      250,0       1610       3055
C                1800       1922      250,0       1405       2126
D                1800       1753      250,0       1713       3324

A la vista solo de estos números (media y desviación típica), ¿diría que las cuatro empresas tienen una estructura salarial parecida? Anote su respuesta antes de continuar.

• GUI: seleccione cada variable → clic derecho → Gráficos → Distribución de frecuencias.

  o bien teclee en línea de comandos:

  freq A 
  freq B 
  freq C 
  freq D 
  

¿Cambia su respuesta a la pregunta de la Actividad 2 al ver estos cuatro histogramas?

en línea de comandos:

boxplot A B C D

Compare las cuatro cajas: mediana, rango intercuartílico, longitud de los bigotes y presencia de puntos marcados como atípicos. ¿Qué revela el diagrama de caja que el histograma no mostraba con tanta claridad? ¿Y al revés?

Calculemos, para las cuatro series, algunos estadísticos adicionales: la mediana (median), la asimetría (skewness) y la curtosis (kurtosis, curtosis excedente respecto a la normal, que vale 0). Son estadísticos vistos en la asignatura de estadística del cuatrimestre anterior.

en línea de comandos:

printf "%-15s %10s %10s %10s %10s %10s\n", "Empresa", "Media", "Mediana", "SD", "Asimetria", "Curtosis"
printf "%-15s %10.2f %10.2f %10.2f %10.4f %10.4f\n", "TechNorte",      mean(A), median(A), sd(A), skewness(A), kurtosis(A)
printf "%-15s %10.2f %10.2f %10.2f %10.4f %10.4f\n", "Comercial Sur",  mean(B), median(B), sd(B), skewness(B), kurtosis(B)
printf "%-15s %10.2f %10.2f %10.2f %10.4f %10.4f\n", "Ind. Centro",    mean(C), median(C), sd(C), skewness(C), kurtosis(C)
printf "%-15s %10.2f %10.2f %10.2f %10.4f %10.4f\n", "Consultora Este",mean(D), median(D), sd(D), skewness(D), kurtosis(D)

Empresa              Media    Mediana         SD  Asimetria   Curtosis
TechNorte          1800,00    1786,56     250,00     0,1190    -0,2722
Comercial Sur      1800,00    1726,48     250,00     3,3545    14,0124
Ind. Centro        1800,00    1922,45     250,00    -0,3539    -1,5767
Consultora Este    1800,00    1753,34     250,00     5,8738    33,3403

Observe que la asimetría y la curtosis sí distinguen numéricamente lo que media y sd no distinguían. Pero incluso con esta tabla ampliada, ningún número delata con claridad la bimodalidad de Industrias Centro: solo el gráfico la muestra sin ambigüedad.

Conviene subrayar la idea general: asimetría, curtosis y mediana mejoran claramente la descripción, pero siguen siendo resúmenes escalares de toda la distribución. Cada uno comprime los datos en un único número y, por tanto, inevitablemente pierde información sobre la forma completa. Por eso pueden distinguir bastante bien una cola larga o un atípico, pero no sustituyen a un gráfico cuando lo que queremos detectar es una estructura más global —por ejemplo, dos grupos bien separados.

La estadística descriptiva es un conjunto de herramientas complementarias —medidas numéricas y gráficos— y no un único número: cada una responde a una pregunta distinta sobre los datos. Media y desviación típica resumen posición y dispersión; asimetría y curtosis dicen algo sobre la forma; pero solo el histograma y el diagrama de caja permiten ``ver'' patrones —como una bimodalidad— que ningún estadístico habitual resume bien en un solo número.

Cuando dispongamos de la recta de ajuste y del \(R^2\) (lección 8), veremos que el mismo fenómeno puede ocurrir con dos variables a la vez y su recta de ajuste: es el célebre cuarteto de Anscombe, que reservamos para más adelante.

Esta construcción no es un truco de programación ajeno al curso: es una aplicación directa de las propiedades demostradas en la lección 5 para la media y la desviación típica.

Dado cualquier vector \(\boldsymbol{x}\) (con la forma que sea) con media \(\mu_{\boldsymbol{x}}\) y desviación típica \(\sigma_{\boldsymbol{x}}>0\), definimos su versión estandarizada:

\[ \boldsymbol{z} = \frac{\boldsymbol{x}-\mu_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{1}}{\sigma_{\boldsymbol{x}}}. \]

Por construcción, \(\boldsymbol{z}\) tiene media \(0\) y desviación típica \(1\) (es el vector en desviaciones de \(\boldsymbol{x}\), reescalado por su propia norma estadística). Esto es lo que hicimos en cada serie con A_z, B_z, C_z, D_z. Nótese que estandarizar no cambia la forma de la distribución: solo la traslada y la reescala; la asimetría o la bimodalidad de \(\boldsymbol{x}\) se conservan intactas en \(\boldsymbol{z}\).

Nota técnica sobre Gretl y el divisor. En esta práctica usamos sd tanto para estandarizar como para verificar el resultado final. Por eso, sea cual sea el convenio interno exacto de Gretl para esa función,¹ la operación \[ \boldsymbol{z}=\frac{\boldsymbol{x}-\mu_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{1}}{sd(\boldsymbol{x})} \] produce una serie con desviación típica 1 según ese mismo convenio, y al multiplicar después por sigma0 obtenemos una serie con desviación típica sigma0 según ese mismo convenio. Es decir: el truco fuerza exactamente la desviación típica objetivo en el mismo sentido operativo en que Gretl la mide. Esto no contradice la observación de la práctica B: allí comparábamos dos convenios distintos para la varianza (divisor \(n\) frente a \(n-1\)); aquí, en cambio, usamos el mismo convenio al normalizar y al reconstruir.

A continuación, reescalamos \(\boldsymbol{z}\) a los valores objetivo \(\mu_0\) y \(\sigma_0\):

\[ \boldsymbol{y} = \mu_0\boldsymbol{1} + \sigma_0\,\boldsymbol{z}. \]

Por la linealidad de la media (lección 4: sumar una constante desplaza la media exactamente esa constante) y, para la sd, por su invarianza ante traslaciones y homogeneidad ante escala (lección 5), la media de \(\boldsymbol{y}\) es exactamente \(\mu_0\); por las mismas propiedades aplicadas a la desviación típica, la sd de \(\boldsymbol{y}\) es exactamente \(\sigma_0\) —con independencia de la forma de \(\boldsymbol{x}\) de partida—. Esto es lo que hace la línea mu0 + sigma0*A_z (y análogas): fuerza los dos primeros momentos sin tocar la forma.

Verifiquemos numéricamente que las cuatro series comparten, en efecto, media y sd (salvo el redondeo de coma flotante):

en línea de comandos:

printf "\nVerificación: medias y sd deberían coincidir (salvo redondeo)\n"
printf "Media    -> A: %.6f   B: %.6f   C: %.6f   D: %.6f\n", mean(A), mean(B), mean(C), mean(D)
printf "SD       -> A: %.6f   B: %.6f   C: %.6f   D: %.6f\n", sd(A),   sd(B),   sd(C),   sd(D)
printf "(objetivo: mu0 = %.2f ,  sigma0 = %.2f)\n", mu0, sigma0

Verificación: medias y sd deberían coincidir (salvo redondeo)
Media    -> A: 1800,000000   B: 1800,000000   C: 1800,000000   D: 1800,000000
SD       -> A: 250,000000   B: 250,000000   C: 250,000000   D: 250,000000
(objetivo: mu0 = 1800,00 ,  sigma0 = 250,00)

Verifiquemos que la estandarización logra que las cuatro series tengan media cero y sd igual a uno (salvo el redondeo de coma flotante):

en línea de comandos:

printf "\nChequeo de la estandarización usada en Gretl\n"
printf "sd(A_z) = %.6f   sd(B_z) = %.6f   sd(C_z) = %.6f   sd(D_z) = %.6f\n", sd(A_z), sd(B_z), sd(C_z), sd(D_z)
printf "mean(A_z) = %.6f   mean(B_z) = %.6f   mean(C_z) = %.6f   mean(D_z) = %.6f\n", mean(A_z), mean(B_z), mean(C_z), mean(D_z)

Chequeo de la estandarización usada en Gretl
sd(A_z) = 1,000000   sd(B_z) = 1,000000   sd(C_z) = 1,000000   sd(D_z) = 1,000000
mean(A_z) = 0,000000   mean(B_z) = -0,000000   mean(C_z) = 0,000000   mean(D_z) = 0,000000

Lo único que no controla este procedimiento es la forma: la asimetría de \(\boldsymbol{x}\) (o su bimodalidad, o su atípico) pasa intacta a \(\boldsymbol{y}\), porque tanto la traslación como el reescalado por una constante positiva son transformaciones que no alteran la forma relativa de los datos —la misma idea, aplicada aquí de forma constructiva en lugar de solo verificatoria, que empleamos en el Apéndice de la práctica A para mostrar la invarianza de \(\rho\) ante el divisor—.

1. ¿Qué estadístico (de los calculados en la Actividad 5) delata mejor la asimetría de Comercial Sur?
2. ¿Por qué ni la asimetría ni la curtosis bastan para detectar, con claridad, la bimodalidad de Industrias Centro?
3. Si un analista solo mirara la tabla de summary (media y sd) y nunca los gráficos, ¿qué conclusión errónea podría sacar sobre las cuatro empresas?
4. En Consultora Este, ¿qué estadístico —media o mediana— describe mejor ``el salario típico'' de un empleado cualquiera de esa empresa? ¿Por qué difieren tanto entre sí?
5. El procedimiento de generación (estandarizar y reescalar) fuerza la misma media y la misma sd en las cuatro series. ¿Por qué este mismo procedimiento no puede forzar, además, la misma asimetría o la misma forma?

Para profundizar:

• Tukey, J. W. (1977). Exploratory Data Analysis. Addison-Wesley. (Origen del diagrama de caja y del énfasis en la visualización de datos.)
• Anscombe, F. J. (1973). ``Graphs in Statistical Analysis''. The American Statistician, 27(1), 17-21. (Mención breve: el mismo fenómeno con dos variables y su recta de ajuste, que veremos más adelante.)
• Cottrell, A. y Lucchetti, R. (2023). Gretl User's Guide. Funciones skewness, kurtosis, median.
• Véase la lección 5 para las propiedades de invarianza y homogeneidad usadas en el Apéndice.

1. ¿Qué estadístico delata mejor la asimetría de Comercial Sur? La asimetría (skewness), por definición: es precisamente el estadístico diseñado para capturar numéricamente el desequilibrio entre la cola izquierda y la derecha de una distribución. Un valor claramente positivo y alejado de 0 confirma la cola larga hacia la derecha que se ve en el histograma. La curtosis, en cambio, mide el ``apuntamiento'' o el peso de las colas en general, no la dirección del desequilibrio, así que no es el indicador más directo aquí.
2. ¿Por qué asimetría y curtosis no bastan para detectar la bimodalidad de Industrias Centro? Porque ambos son, igual que la media y la varianza, momentos (medidas que resumen toda la distribución en un único número mediante una suma). Un resumen numérico de este tipo puede ser prácticamente idéntico para una distribución con dos picos simétricos y separados y para una distribución con un único pico centrado: si los dos grupos están colocados simétricamente en torno a la media global, la asimetría puede salir cercana a 0 (parece ``simétrica''), y la curtosis simplemente no fue diseñada para distinguir ``un pico ancho'' de ``dos picos estrechos''. La bimodalidad es una característica de la forma completa de la distribución, no capturable en un solo escalar: por eso hace falta el histograma, que muestra la densidad en cada zona del rango, no solo un resumen agregado.
3. Si un analista solo mirara summary sin gráficos, ¿qué conclusión errónea podría sacar? Podría concluir que las cuatro empresas tienen ``el mismo tipo'' de plantilla salarial —una estructura homogénea con un salario típico de 1800€ y una dispersión de 250€ alrededor de esa cifra—, cuando en realidad una tiene una distribución razonablemente simétrica, otra está sesgada hacia salarios altos poco frecuentes, otra tiene en realidad dos grupos de empleados con salarios muy distintos entre sí (y ningún empleado con salario ``intermedio''), y la última tiene una plantilla muy homogénea salvo un único directivo con un salario disparado. Decisiones de política salarial basadas solo en la media y la sd (p. ej., ``subir un 5% a todos'') tendrían sentido muy distinto según el caso.
4. En Consultora Este, ¿media o mediana describe mejor ``el salario típico''? ¿Por qué difieren? La mediana describe mucho mejor el salario típico: al ser un estadístico de orden (el valor central cuando se ordenan los datos), apenas se ve afectada por un único valor extremo. La media, en cambio, es una suma dividida por \(n\), y el salario disparado del directivo ``tira'' de ella hacia arriba, de modo que la media puede terminar por encima de lo que gana la inmensa mayoría de la plantilla. La diferencia entre ambas (media > mediana, aquí de forma marcada) es en sí misma un indicio —sin necesidad de mirar el histograma— de que hay al menos un valor atípico influyente hacia arriba.
5. ¿Por qué el procedimiento de generación no puede forzar también la misma asimetría o forma? Porque el procedimiento (estandarizar y reescalar: \(\boldsymbol{y}=\mu_0\boldsymbol{1}+\sigma_0\frac{\boldsymbol{x}-\mu_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{1}}{\sigma_{\boldsymbol{x}}}\)) solo aplica dos tipos de transformación —una traslación (sumar una constante) y un cambio de escala (multiplicar por una constante positiva)—. Estas dos operaciones, por construcción, no alteran la forma relativa de los datos: si una distribución tiene una cola larga a la derecha, trasladarla o estirarla/encogerla no la vuelve simétrica ni le añade un segundo pico. Para cambiar la forma (asimetría, número de modas) haría falta una transformación distinta —no lineal, o que combinara varias fuentes de variación de manera distinta—, precisamente lo que se hizo antes de estandarizar, al elegir cada distribución ``en bruto'' (normal, suma de cuadrados de normales, mezcla de dos normales, etc.).