Segundo ejercicio de identificación de un modelo ARIMA
Índice
Datos
Cargue la serie de datos simulados 00c296-12.gdt
open ../datos/IdentificaEstosARIMA/00c296-12.gdt
Tareas a realizar
- Realice un primer análisis gráfico: haga un gráfico de la serie y un gráfico rango-media
- Determine si es necesario transformar logarítmicamente los datos
- Determine si es necesario tomar una diferencia estacional de la serie
- Determine si es necesario tomar una o más diferencias regulares de la serie
- Encuentre un modelo ARIMA para la serie que sea lo más parsimonioso posible, pero cuyos residuos se puedan considerar ruido blanco.
- Ficheros
- Versiones: pdf; html.
- Datos: 00c296-12.gdt
- Guión de gretl: P-L07-B-SegundoEjercicioIdentificacionARIMA.inp
Primer análisis gráfico
gnuplot x --time-series --with-lines --output="SerieEnNiveles.png"
rmplot x --output="rango-media.png"
De estos gráficos se desprende que la serie tiene una acusada pauta estacional y que la volatilidad probablemente depende del nivel de la serie.
Estacionariedad en varianza
A la luz de los anteriores gráficos, donde se aprecia que la variabilidad de los datos aumenta con el nivel de la serie, parece necesaria la transformación logarítmica; pero esta serie toma valores negativos, por lo que no podemos transformar los datos logarítmicamente (para hacerlo deberíamos sumar previamente un valor constante suficientemente elevado como para que todos los valores fueran positivos). Por el momento, dejemos la serie sin transformarla logarítmicamente.
Diferencias estacionales
Observemos el gráfico de la serie y su correlograma.
corrgm x 36 --plot="x_ACF-PACF.png"
En el gráfico de la serie se aprecia una acusada pauta estacional. En la función de autocorrelación simple las correlaciones correspondientes a los retardos estacionales son muy significativas (y con bastantes ``satélites''); en la función de autocorrelación parcial los 13 primeros retardos son muy significativos, en particular, el decimotercero (adyacente al 12) es muy importante.
Además, si tratamos de ajustar un AR(1) estacional:
ARIMA000X100 <- arima 0 0 0 ; 1 0 0 ; x
Function evaluations: 622
Evaluations of gradient: 123
ARIMA000X100:
ARMA, using observations 1985:01-2001:08 (T = 200)
Estimated using AS 197 (exact ML)
Dependent variable: x
Standard errors based on Hessian
coefficient std. error z p-value
------------------------------------------------------
const 3.59533 1.28683 2.794 0.0052 ***
Phi_1 0.955320 0.0148914 64.15 0.0000 ***
Mean dependent var 3.780099 S.D. dependent var 4.838896
Mean of innovations 0.358041 S.D. of innovations 1.535258
R-squared 0.906552 Adjusted R-squared 0.906552
Log-likelihood -384.1534 Akaike criterion 774.3069
Schwarz criterion 784.2019 Hannan-Quinn 778.3112
Real Imaginary Modulus Frequency
-----------------------------------------------------------
AR (seasonal)
Root 1 1.0468 0.0000 1.0468 0.0000
-----------------------------------------------------------
ARIMA000X100 saved
constatamos que la estimación del parámetro \(\Phi_1\) está muy próxima a uno.
Estas evidencias apuntan a que es necesario tomar una diferencia estacional
Recuerde que los test ADF y KPSS no sirven para determinar si es necesario tomar diferencias estacionales (solo sirven para las diferencias regulares).
Por tanto, tomamos una diferencia estacional.
sdiff x
gnuplot sd_x --time-series --with-lines --output="SerieEnDiferencias.png"
Repetición del análisis con la serie diferenciada estacionalmente
La serie resultante no muestra signos de estacionalidad. Veamos si se ve algo en el correlograma:
corrgm sd_x 36 --plot="sd_x_ACF-PACF.png"
No hay nada que sugiera que persiste algún signo de estacionalidad.
Estacionariedad en media
El gráfico de la serie diferenciada estacionalmente no muestra tener una clara tendencia o evolución a largo plazo de su nivel.
En el correlograma, la ACF decae rápidamente, indicando que la serie parece ser la realización de un proceso estacionario.
Probemos a ajustar un modelo AR a los datos diferenciados estacionalmente
ARIMA110 <- arima 1 1 0 ; x
Function evaluations: 20
Evaluations of gradient: 5
ARIMA110: ARIMA, using observations 1985:02-2001:08 (T = 199)
Estimated using AS 197 (exact ML)
Dependent variable: (1-L) x
Standard errors based on Hessian
coefficient std. error z p-value
-------------------------------------------------------
const 0.0799826 0.255554 0.3130 0.7543
phi_1 0.405536 0.0659820 6.146 7.94e-10 ***
Mean dependent var 0.058438 S.D. dependent var 2.351529
Mean of innovations 0.000197 S.D. of innovations 2.149835
R-squared 0.824333 Adjusted R-squared 0.824333
Log-likelihood -434.7714 Akaike criterion 875.5428
Schwarz criterion 885.4227 Hannan-Quinn 879.5415
Real Imaginary Modulus Frequency
-----------------------------------------------------------
AR
Root 1 2.4659 0.0000 2.4659 0.0000
-----------------------------------------------------------
ARIMA110 saved
El parámetro \(\phi_1\) está muy lejos de la unidad (consecuentemente, también lo está la raíz autorregresiva).
Probemos con los tests formales de raíz unitaria y estacionariedad
Test ADF
adf -1 sd_x --c --gls --test-down --perron-qu
Augmented Dickey-Fuller (GLS) test for sd_x testing down from 14 lags, criterion modified AIC, Perron-Qu sample size 187 unit-root null hypothesis: a = 1 test with constant including 0 lags of (1-L)sd_x model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e estimated value of (a - 1): -0.225392 test statistic: tau = -4.85952 approximate p-value 0.000 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.002
El p-valores es muy bajo, por lo que se rechaza la \(H_0\) de que la serie es \(I(1)\)
Test KPSS
kpss -1 sd_x
KPSS test for sd_x
T = 188
Lag truncation parameter = 4
Test statistic = 0.22692
10% 5% 1%
Critical values: 0.348 0.462 0.739
P-value > .10
El p-valor es elevado, por los que NO se rechaza la \(H_0\) de que la serie es \(I(0)\). Todas estas evidencias indican de manera muy clara que NO es necesario tomar ninguna diferencia ordinaria.
Primer intento de búsqueda de un modelo ARIMA
Observando al ACF y la PACF de aprecia que la ACF decae a una tasa exponencial, y la PACF se trunca tras el primer retardo, lo cual es compatible con un AR(1).
Por tanto, parece que la serie en logaritmos sigue un modelo ARIMA\((1,1,0)\). Veamos si es así:
ARIMA110cte <- arima 1 0 0; 0 1 0 ; x
Function evaluations: 28
Evaluations of gradient: 5
ARIMA110cte:
ARIMA, using observations 1986:01-2001:08 (T = 188)
Estimated using AS 197 (exact ML)
Dependent variable: (1-Ls) x
Standard errors based on Hessian
coefficient std. error z p-value
-------------------------------------------------------
const 0.440514 0.291954 1.509 0.1313
phi_1 0.768846 0.0458412 16.77 3.92e-63 ***
Mean dependent var 0.449786 S.D. dependent var 1.487227
Mean of innovations 0.000902 S.D. of innovations 0.941527
R-squared 0.962801 Adjusted R-squared 0.962801
Log-likelihood -255.8802 Akaike criterion 517.7604
Schwarz criterion 527.4697 Hannan-Quinn 521.6942
Real Imaginary Modulus Frequency
-----------------------------------------------------------
AR
Root 1 1.3007 0.0000 1.3007 0.0000
-----------------------------------------------------------
ARIMA110cte saved
Los parámetros autorregresivos son significativos y el modulo de las raíces es claramente mayor que la unidad en ambos casos. No obstante, la constante no es significativa.
Reestimemos el modelo sin constante:
ARIMA110 <- arima 1 0 0; 0 1 0 ; x --nc
Function evaluations: 16
Evaluations of gradient: 3
ARIMA110: ARIMA, using observations 1986:01-2001:08 (T = 188)
Estimated using AS 197 (exact ML)
Dependent variable: (1-Ls) x
Standard errors based on Hessian
coefficient std. error z p-value
------------------------------------------------------
phi_1 0.787833 0.0440563 17.88 1.62e-71 ***
Mean dependent var 0.449786 S.D. dependent var 1.487227
Mean of innovations 0.095115 S.D. of innovations 0.946555
R-squared 0.962771 Adjusted R-squared 0.962771
Log-likelihood -256.9190 Akaike criterion 517.8381
Schwarz criterion 524.3110 Hannan-Quinn 520.4606
Real Imaginary Modulus Frequency
-----------------------------------------------------------
AR
Root 1 1.2693 0.0000 1.2693 0.0000
-----------------------------------------------------------
ARIMA110 saved
Análisis de los residuos
Todo parece OK, pero debemos ver el gráfico de los residuos y su correlograma, así como los estadísticos Q de Ljung-Box para constatar si podemos asumir que son la realización de un proceso de ruido blanco.
series residuos = $uhat
gnuplot residuos --time-series --with-lines --output="Residuos.png"
corrgm residuos 60 --plot="residuosACF-PACF.png"
corrgm residuos 15
Autocorrelation function for residuos
***, **, * indicate significance at the 1%, 5%, 10% levels
using standard error 1/T^0.5
LAG ACF PACF Q-stat. [p-value]
1 -0.0117 -0.0117 0.0260 [0.872]
2 0.0043 0.0042 0.0296 [0.985]
3 0.0141 0.0142 0.0677 [0.995]
4 -0.0841 -0.0838 1.4398 [0.837]
5 0.0410 0.0393 1.7673 [0.880]
6 -0.0229 -0.0218 1.8703 [0.931]
7 0.0091 0.0108 1.8867 [0.966]
8 -0.0119 -0.0199 1.9146 [0.984]
9 -0.0982 -0.0921 3.8399 [0.922]
10 -0.0798 -0.0882 5.1169 [0.883]
11 0.1237 * 0.1294 * 8.2065 [0.695]
12 0.0056 0.0074 8.2128 [0.768]
13 0.0892 0.0790 9.8375 [0.707]
14 0.0536 0.0451 10.4283 [0.730]
15 0.0221 0.0466 10.5290 [0.785]
El gráfico de los residuos no presenta ninguna estructura reconocible y ninguna autocorrelación es significativa.
Más importante aún, los correlogramas no muestran ninguna pauta reconocible, se parecen mucho entre sí y los estadísticos Q muestran p-valores muy elevados, por lo que podemos asumir que estos residuos son ``ruido blanco''.
También conviene mirar si los residuos tienen distribución gaussiana:
normtest residuos --all
Test for normality of residuos: Doornik-Hansen test = 0.0229723, with p-value 0.98858 Shapiro-Wilk W = 0.995253, with p-value 0.819881 Lilliefors test = 0.0417516, with p-value ~= 0.58 Jarque-Bera test = 0.0946866, with p-value 0.95376
Podemos asumir claramente que tienen distribución normal.
Si en la ventana del modelo estimado pincha en el menú
desplegable Gráficos --> Espectro con respecto al periodograma
espectral verá que el espectro teórico del modelo se ajusta
perfectamente al periodograma de la serie.
Por tanto, podemos concluir que la serie 00c296-12.gdt, no requiere
la transformación logarítmica (en cualquier caso no se podía tomar sin
aumentar previamente su nivel para hacerla positiva), sigue un proceso
ARIMA\((1,0,0)\times(0,1,0)_S\) con media cero.
Modelo efectivamente simulado
Veamos si ese es el modelo usado en su simulación. Si miramos la línea
150 del fichero 000-Etiquetas-12.txt que se encuentra en el directorio de
donde hemos obtenido los datos encontramos lo siguiente:
00c296, , mu = 0.0, ar = '(1 - 0.8B)(1 + 0.8B)', ma = '(1 + 0.55B)', i = '(1 - B12)' |
Efectivamente, NO requería la transformación logarítmica, la media era \(0.0\) y era necesaria una diferencia estacional, pero ninguna regular.
No obstante, el modelo simulado tenía un polinomio autorregresivo de de orden dos, AR(2), y un polinomio de media móvil de orden uno, MA(1). Veamos qué pasa si intentamos estimar el verdadero modelo simulado… ¡pues hemos identificado un modelo distinto del simulado!
Pruebas con otro modelo ARIMA
Estimemos el verdadero modelo simulado: ARIMA\((2,0,1)\times(0,1,0)_{S}\):
ARIMAsimulado <- arima 2 0 1; 0 1 0 ; x --nc
Function evaluations: 36
Evaluations of gradient: 15
ARIMAsimulado:
ARIMA, using observations 1986:01-2001:08 (T = 188)
Estimated using AS 197 (exact ML)
Dependent variable: (1-Ls) x
Standard errors based on Hessian
coefficient std. error z p-value
-------------------------------------------------------
phi_1 0.666360 2.21538 0.3008 0.7636
phi_2 0.0987904 1.74518 0.05661 0.9549
theta_1 0.114904 2.21597 0.05185 0.9586
Mean dependent var 0.449786 S.D. dependent var 1.487227
Mean of innovations 0.094410 S.D. of innovations 0.946522
R-squared 0.962769 Adjusted R-squared 0.962366
Log-likelihood -256.9125 Akaike criterion 521.8250
Schwarz criterion 534.7708 Hannan-Quinn 527.0701
Real Imaginary Modulus Frequency
-----------------------------------------------------------
AR
Root 1 1.2639 0.0000 1.2639 0.0000
Root 2 -8.0091 0.0000 8.0091 0.5000
MA
Root 1 -8.7029 0.0000 8.7029 0.5000
-----------------------------------------------------------
ARIMAsimulado saved
El ajuste es parecido (fíjese en los coeficientes de determinación) pero solo el parámetro los parámetros no son significativos (aunque \(\phi_1\) toma un valor relativamente próximo al del modelo anterior). Por tanto…
La estimación del verdadero modelo empleado en la simulación de los datos ¡NO ES MEJOR QUE EL MODELO QUE HEMOS IDENTIFICADO!
La explicación es que en el modelo estimado, el factor \((1 + 0,09879\mathsf{B})\) del polinomio AR casi se cancela con el polinomio MA \(\;(1 + 0,1149\mathsf{B})\). Por eso hemos encontrado un modelo más parsimonioso y que funciona OK.
Ahora escoja al azar nuevas series del directorio (dispone de centenares de series simuladas con distintos modelos) y practique la identificación hasta que adquiera seguridad.