Econometría Aplicada. Lección 6

Sea el proceso \(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\psi}*\boldsymbol{U}\), donde \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;\) y \(\;\boldsymbol{\psi}\in\ell^2\;\) es una serie formal: \[X_t=\sum_{j\geq0}\psi_j U_{t-j}.\] Por la lección anterior sabemos que \(\;E(X_t)=0\;\) y que

• \(\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 \boldsymbol{\psi}(z)*\boldsymbol{\psi}(z^{-1})\)

Es decir, \[\gamma_k = \sigma^2\sum_{j=0}^\infty \psi_{j+|k|}\cdot\psi_j.\] Por otra parte, \(\;\gamma_k\to0\;\) cuando \(\;k\to\infty\)

A partir de \(\boldsymbol{\gamma}\) obtenemos las otras tres funciones:

ACF: \(\;\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma}\)

Dens. espectral: \(\;f(\omega)=\frac{1}{2\pi}\sum_{h\geq0}\gamma_h\cos(h\omega)\)

PACF: \(\;\boldsymbol{\pi}\in\ell^2,\quad\) i.e., \(\;\pi_k\to0\;\) cuando \(\;k\to\infty\)

Sea \(\boldsymbol{X}=1*\boldsymbol{U}\), donde \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;;\) es decir \(X_t=U_t\) para \(t\in\mathbb{Z}\). Entonces

• \(\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 (1z^0*1z^{0}) \;=\; \sigma^2z^0 \;=\; (\ldots,0,0,{\color{blue}{\sigma^2}},0,0,\ldots)\)

• \(\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma} \;=\; \frac{1}{\sigma^2}\boldsymbol{\gamma} \;=\; 1 z^0 \;=\; (\ldots,0,0,{\color{blue}{1}},0,0,\ldots)\)

• \(f(\omega) \;=\; \frac{1}{2\pi}\sum_{h\geq0}\gamma_h \cos(h\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi} \cos(0\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi};\quad \omega\in[-\pi,\pi]\)
• \(\boldsymbol{\pi} \;=\; 1 z^0 \;=\; (\ldots,0,0,{\color{blue}{1}},0,0,\ldots)\)

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Sea \(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U}\), con \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;\) y donde \(\boldsymbol{\theta}\) es un polinomio de orden \(q>0\), con \(\theta_0=1\) y con todas sus raíces fuera del círculo unidad \((\boldsymbol{\theta}^{-\triangleright}\in\ell^1)\), es decir \[X_t= \sum_{j=1}^q\theta_j U_{t-j}+U_t.\]

Entonces \(E(X_t)=0\) y

\(\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 \boldsymbol{\theta}(z)*\boldsymbol{\theta}(z^{-1}) \;=\; \sigma^2 \sum\limits_{j=0}^q \theta_{j+k}\theta_{j} z^{k}\;\) (grado \(q\) y cogrado \(-q\)) (lección anterior)

\(\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma}\)

\(f(\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\boldsymbol{\theta}(e^{-i\omega})\cdot\boldsymbol{\theta}(e^{i\omega}) \;=\; \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{h=0}^q \gamma_h \cos(h\omega);\quad \omega\in[-\pi,\pi]\quad\) (\(q\) cosenos \(+1\))

\(\boldsymbol{\pi}\;\) tiene grado \(\infty\) y cogrado \(-\infty\;\) y su magnitud decae paulatinamente cuando \(\;k\to\infty\)

Sea \(\boldsymbol{X}=(1-\theta z)*\boldsymbol{U}\) con \(|\theta|<1\) y con \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;\), es decir \[X_t=U_t-\theta U_{t-1}.\]

• \(\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 (1-\theta z)*(1-\theta z^{-1}) \;=\; \sigma^2 (\ldots,\ 0\ ,\ -\theta,\ {\color{blue}{(1+\theta^2)}},\ -\theta,\ 0,\ \ldots)\)
• \(\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma} \;=\; \frac{1}{\sigma^2(1+\theta^2)}\boldsymbol{\gamma}\;=\; (\ldots,\ 0\ ,\ \frac{-\theta}{1+\theta^2},\ {\color{blue}{1}},\ \frac{-\theta}{1+\theta^2},\ 0,\ \ldots)\)
• \(f(\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\boldsymbol{\theta}(e^{-i\omega})\cdot\boldsymbol{\theta}(e^{i\omega}) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\Big((1+\theta^2)\;-\;2\theta\cos(\omega)\Big);\quad \omega\in[-\pi,\pi]\)
• \(\boldsymbol{\pi} \;=\; \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}{ \frac{-\theta^k(1-\theta^2)}{1-\theta^{2(k+1)}} z^k}\)

Sea \(\boldsymbol{X}=(1-\theta_1 z-\theta_2 z^2)*\boldsymbol{U}\), con \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;\) y con \[\theta_1+\theta_2<1;\qquad \theta_2-\theta_1<1;\qquad |\theta_2|<1;\quad \text{(i.e., invertible)}\] es decir \(X_t=U_t-\theta_1 U_{t-1}-\theta_2 U_{t-2}\).

• \(\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 (1-\theta_1 z-\theta_2 z^2)*(1-\theta_1 z^{-1}-\theta_2 z^{-2})\)

  \(\gamma_0={\color{blue}{\sigma^2(1+\theta_1^2+\theta_2^2)}};\qquad\) \(\gamma_1=\sigma^2\big(-\theta_1(1-\theta_2)\big);\qquad\) \(\gamma_2=\sigma^2(-\theta_2)\)

  \(\gamma_3=\gamma_4=\cdots=0\qquad\) (y es simétrica)

• \(\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma} \;=\; \frac{1}{\sigma^2(1+\theta_1^2+\theta_2^2)}\boldsymbol{\gamma}\)
• \(f(\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\Big((1+\theta_1^2+\theta_2^2)\;-\;2\theta_1(1+\theta_2)\cos(\omega)\;-\;2\theta_2\cos(2\omega)\Big)\)

• \(\boldsymbol{\pi}\) tiene una expresión complicada, pero su magnitud decae paulatinamente.

Sea \(\boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U}\), con \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;\) y donde \(\boldsymbol{\phi}\) es un polinomio de grado \(p>0\) con \(\phi_0=1\). Entonces \[(\boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{X})_t=\boldsymbol{\phi}(\mathsf{B})X_t= (1+\phi_1\mathsf{B}+\phi_2\mathsf{B}^2+\cdots+\phi_p\mathsf{B}^p)X_t= U_t\] Y por tanto \[X_t= U_t-\sum_{j=1}^p\phi_j X_{t-j}.\]

Si todas las raíces del polinomio \(\boldsymbol{\phi}\) (de grado \(p\)) están fuera del círculo unidad, es decir, si el polinomio AR es ``invertible'' \(\;(\boldsymbol{\phi}^{-\triangleright}=\boldsymbol{\phi}^{-1}\in\ell^1)\;\) entonces \(\boldsymbol{X}\) tiene una representación como proceso lineal causal MA(\(\infty\)): \[\boldsymbol{\phi}*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U} \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{X}=\frac{1}{\boldsymbol{\phi}}*\boldsymbol{U} \quad\Rightarrow\quad X_t = U_t + \sum_{j=1}^\infty\psi_j U_{t-j};\] donde \(\;\boldsymbol{\phi}^{-1}=\boldsymbol{\psi}=({\color{blue}1},\ \psi_1,\ \psi_2,\ \psi_3,\ldots)\;\) tiene grado \(\infty\).

Por tanto \(E(X_t)=0\) para todo \(t\in\mathbb{Z}\) y

\(\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 \frac{1}{\boldsymbol{\phi}(z)}*\frac{1}{\boldsymbol{\phi}(z^{-1})} \;=\; \sigma^2 \sum\limits_{j,k=0}^\infty \psi_{j+k}\psi_j z^{j}\quad\) (grado \(\infty\))\(\quad\) (Ec. de Yule-Walker)

\(\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma}\)

\(f(\omega) = \frac{\sigma^2}{2\pi}\frac{1}{\boldsymbol{\phi}(e^{-i\omega})\cdot\boldsymbol{\phi}(e^{i\omega})} \;=\; \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{h=0}^\infty \gamma_h \cos(h\omega);\quad\) donde \(\omega\in[-\pi,\pi]\).

(suma infinita de cosenos)

Pero la PACF, \(\;\boldsymbol{\pi},\;\) es una secuencia con grado \(p\) y cogrado \(-p\) (demo en los apuntes).

Sea \(\;(1-\phi z)*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U},\quad\) con \(\;|\phi|<1\;\) y con \(\;\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;\), es decir \[X_t=\phi X_{t-1} + U_t.\]

como \(\;\boldsymbol{X}=(1-\phi z)^{-1}*\boldsymbol{U},\quad\) tenemos que

\(\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 (1-\phi z)^{-1}*(1-\phi z^{-1})^{-1} \;=\; \frac{\sigma^2}{1-\phi^2} \sum\limits_{k=-\infty}^\infty \phi^{|k|} z^k\qquad\) grado \(\infty\) y cogrado \(-\infty\)

\(\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma} \;=\; \frac{1+\phi^2}{\sigma^2}\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sum\limits_{j=-\infty}^\infty \phi^{|j|} z^j \quad\Rightarrow\quad \rho_k=\phi^k\) para \(k\geq0\).

\(f(\omega) \;=\; \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{h=0}^\infty \gamma_h \cos(h\omega)=\frac{\sigma^2}{2\pi}\frac{1}{1+\phi^2-2\phi\cos(\omega)}\;\) (compárese con MA(\(1\))).

\(\boldsymbol{\pi} \;=\; (\ldots,\; 0,\; 0,\; \phi,\; {\color{blue}1},\; \phi,\; 0,\; 0,\;\ldots)\qquad\) grado \(1\) y cogrado \(-1\)

Sea \(\quad(1-\phi_1 z-\phi_2 z^2)*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U},\quad\) con \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;\) y con \[\phi_1+\phi_2<1;\qquad \phi_2-\phi_1<1;\qquad |\phi_2|<1;\quad \text{(i.e., estacionario)}\] es decir \[X_t=\phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + U_t.\] Entonces

\(\boldsymbol{\gamma}=\sigma^2\left( \frac{1}{\boldsymbol{\phi}(z)}*\frac{1}{\boldsymbol{\phi}(z^-1)}\right)\qquad\)

\(\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma}\qquad\) (Verifica Ec. Yule-Walker: \(\;\rho_k=\phi_1\rho_{k-1}+\phi_2\rho_{k-2};\;\qquad\) decae)

\(f(\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\frac{1}{1+\phi_1^2+\phi_2^2-2\phi_1(1+\phi_2)\cos(\omega)-2\phi_2\cos(2\omega)}\)

\(\boldsymbol{\pi} \;=\; (\ldots,\; 0,\; \phi_2,\; \frac{\phi_1}{1-\phi_2},\; {\color{blue}1},\; \frac{\phi_1}{1-\phi_2},\; \phi_2,\; 0,\;\ldots)\)