Sesión 14 (A) — Regresión múltiple con Gretl: precios de vivienda (Ramanathan)

Empezamos el bloque de regresión múltiple (lección 10) con el conjunto de datos reales más pequeño y manejable de todo el curso: 14 viviendas unifamiliares de University City (San Diego, California), tomado de Ramanathan (2002). Es un dataset de sección cruzada tan reducido que, si quisiera, podría casi reproducir a mano alguno de los cálculos; pero lo usaremos únicamente para lo que de verdad importa hoy: aprender a leer una regresión con más de un regresor, e interpretar sus parámetros.

Objetivo

1. Estimar por primera vez, con Gretl, una regresión con más de un regresor no constante.
2. Comparar el coeficiente de un regresor cuando se estima solo frente a cuando se estima junto a otro: la esencia del efecto parcial o ceteris paribus (lección 10).
3. Ampliar el modelo con un tercer regresor y observar cómo cambia (o no) la lectura de los anteriores.
4. Observar, sin todavía formalizarlo, que el \(R^2\) no baja al añadir regresores (se formalizará, con el \(R^2\) ajustado, en la práctica siguiente).
5. Practicar la lectura de una salida de regresión múltiple sin dejarse arrastrar a conclusiones causales injustificadas.
6. Ver cuánto se mueve el ajuste al quitar una sola vivienda, y que no todas pesan igual: el primer indicio de que una estimación tiene una dispersión, que la lección 11 cuantificará.

• GUI: Archivo -> Abrir archivo de datos -> Archivo de muestra, pestaña Ramanathan, fichero data4-1 (Prices of single-family homes).

  o bien teclee en línea de comandos:

  open data4-1.gdt --quiet
  

Si lo consideramos conveniente podemos castellanizar las etiquetas de las variables para tener gráficos con las leyendas en español. Además, siempre conviene echar un vistazo a los estadísticos descriptivos principales de las variables.

en línea de comandos:

setinfo price -d "Precio de la vivienda (miles de dólares)" -n "Precio (miles $)"
setinfo sqft   -d "Superficie habitable (pies cuadrados)" -n "Superficie (sqft)"
setinfo bedrms -d "Número de dormitorios" -n "Dormitorios"
setinfo baths  -d "Número de cuartos de baño" -n "Baños"

summary price sqft bedrms baths --simple

Son solo 14 observaciones: puede inspeccionarlas todas de un vistazo con

print price sqft bedrms baths --byobs

          price         sqft       bedrms        baths

 1        199,9         1065            3         1,75
 2        228,0         1254            3         2,00
 3        235,0         1300            3         2,00
 4        285,0         1577            4         2,50
 5        239,0         1600            3         2,00
 6        293,0         1750            4         2,00
 7        285,0         1800            4         2,75
 8        365,0         1870            4         2,00
 9        295,0         1935            4         2,50
10        290,0         1948            4         2,00
11        385,0         2254            4         3,00
12        505,0         2600            3         2,50
13        425,0         2800            4         3,00
14        415,0         3000            4         3,00

Un conjunto de datos tan pequeño no es representativo de ningún mercado real, pero es perfecto para una primera toma de contacto con la regresión múltiple.

Antes de añadir regresores, recordamos el punto de partida: la regresión simple ya vista en la lección 6.

en línea de comandos:

ols price const sqft

Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1-14
Variable dependiente: price

             coeficiente   Desv. típica   Estadístico t   valor p 
  ----------------------------------------------------------------
  const       52,3509       37,2855           1,404       0,1857  
  sqft         0,138750      0,0187329        7,407       8,20e-06 ***

Media de la vble. dep.  317,4929   D.T. de la vble. dep.   88,49816
Suma de cuad. residuos  18273,57   D.T. de la regresión    39,02304
R-cuadrado              0,820522   R-cuadrado corregido    0,805565
F(1, 12)                54,86051   Valor p (de F)          8,20e-06
Log-verosimilitud      -70,08421   Criterio de Akaike      144,1684
Criterio de Schwarz     145,4465   Crit. de Hannan-Quinn   144,0501

De dicha salida, ya podemos reconocer algunos de los resultados obtenidos:

• Los números de la columna bajo el nombre coeficiente son los valores estimados para los parámetros \(\beta_1\) (constante) y \(\beta_2\) (sqft).
• El número a la derecha del nombre Media de la vble. dep. es \(\mu_{\boldsymbol{y}}\) donde \(\boldsymbol{y}\) es el vector con los datos de los precios de las 14 viviendas unifamiliares.
• El número a la derecha del nombre Suma de cuad. residuos es \(\mathrm{SRC}\), es decir, \(\|\boldsymbol{\mathop{\widehat{e}}}\|_e^2\).
• El número a la derecha del nombre R-cuadrado es el coeficiente de determinación \(R^2\) del ajuste.

Veamos la recta de regresión correspondiente al ajuste MCO que hemos logrado:

en línea de comandos:

gnuplot price sqft --output="price_sqft_simple.png"

Anote el valor de \(\hat\beta_2\) (coeficiente de sqft) y de \(R^2\): serán su punto de referencia para todo lo que sigue.

Estimamos ahora price en función únicamente de bedrms, y a continuación en función de sqft y bedrms a la vez.

Antes de mirar el resultado: ¿qué signo espera para el coeficiente de bedrms en el modelo simple? ¿Y en el modelo con sqft incluido? ¿Espera que sea el mismo número en ambos casos?

en línea de comandos:

ols price const bedrms
ols price const sqft bedrms

Modelo 2: MCO, usando las observaciones 1-14
Variable dependiente: price

             coeficiente   Desv. típica   Estadístico t   valor p
  ---------------------------------------------------------------
  const       112,853        179,123         0,6300       0,5405 
  bedrms       56,1756        48,7511        1,152        0,2716 

Media de la vble. dep.  317,4929   D.T. de la vble. dep.   88,49816
Suma de cuad. residuos  91671,71   D.T. de la regresión    87,40314
R-cuadrado              0,099625   R-cuadrado corregido    0,024594
F(1, 12)                1,327777   Valor p (de F)          0,271640
Log-verosimilitud      -81,37352   Criterio de Akaike      166,7470
Criterio de Schwarz     168,0252   Crit. de Hannan-Quinn   166,6287


Modelo 3: MCO, usando las observaciones 1-14
Variable dependiente: price

             coeficiente   Desv. típica   Estadístico t   valor p 
  ----------------------------------------------------------------
  const      121,179        80,1778           1,511       0,1589  
  sqft         0,148314      0,0212080        6,993       2,29e-05 ***
  bedrms     -23,9106       24,6419          -0,9703      0,3527  

Media de la vble. dep.  317,4929   D.T. de la vble. dep.   88,49816
Suma de cuad. residuos  16832,79   D.T. de la regresión    39,11846
R-cuadrado              0,834673   R-cuadrado corregido    0,804613
F(2, 11)                27,76736   Valor p (de F)          0,000050
Log-verosimilitud      -69,50933   Criterio de Akaike      145,0187
Criterio de Schwarz     146,9358   Crit. de Hannan-Quinn   144,8412

Ampliamos el modelo con otro regresor adicional: el número de cuartos de baño.

en línea de comandos:

ols price const sqft bedrms baths

Modelo 4: MCO, usando las observaciones 1-14
Variable dependiente: price

             coeficiente   Desv. típica   Estadístico t   valor p
  ---------------------------------------------------------------
  const      129,062        88,3033           1,462       0,1746 
  sqft         0,154800      0,0319404        4,847       0,0007  ***
  bedrms     -21,5875       27,0293          -0,7987      0,4430 
  baths      -12,1928       43,2500          -0,2819      0,7838 

Media de la vble. dep.  317,4929   D.T. de la vble. dep.   88,49816
Suma de cuad. residuos  16700,07   D.T. de la regresión    40,86572
R-cuadrado              0,835976   R-cuadrado corregido    0,786769
F(3, 10)                16,98894   Valor p (de F)          0,000299
Log-verosimilitud      -69,45391   Criterio de Akaike      146,9078
Criterio de Schwarz     149,4641   Crit. de Hannan-Quinn   146,6712

Sin considerar la constante, el valor p más alto fue el de la variable 4 (baths)

Compare de nuevo el coeficiente de bedrms (y ahora también el de sqft) con los obtenidos en la Actividad 3: apenas se mueven (\(-23{,}9\to-21{,}6\) y \(0{,}148\to0{,}155\)). ¿Qué signo tiene el coeficiente de baths, \(-12{,}2\), y le parece razonable? Si no le parece razonable ¿Cuál podría ser el motivo por el que el resultado obtenido es distinto de lo que usted esperaba?

Observe la matriz de correlaciones entre sqft, bedrms y baths:

en línea de comandos:

corr sqft bedrms baths

Coeficientes de correlación, usando las observaciones 1 - 14
Valor crítico al 5% (a dos colas) = 0,5324 para n = 14

          sqft        bedrms         baths
        1,0000        0,4647        0,7873  sqft
                      1,0000        0,5323  bedrms
                                    1,0000  baths

A la luz de los resultados, ¿qué signo esperaría ver para baths en la regresión lineal simple ols price const baths? Verifique su intuición estimando el modelo.

¿Cree que el valor estimado para baths se debe a la valoración de los baños en el mercado inmobiliario? ¿O a que realmente se está midiendo inadvertidamente otra cosa?

Complete la tabla con los resultados de las cuatro regresiones estimadas en esta práctica.

en línea de comandos, para obtener los cuatro \(R^2\) de golpe:

ols price const sqft --quiet
scalar r2_1 = $rsq
ols price const bedrms --quiet
scalar r2_2 = $rsq
ols price const sqft bedrms --quiet
scalar r2_3 = $rsq
ols price const sqft bedrms baths --quiet
scalar r2_4 = $rsq

printf "R2 price~sqft               = %.4f\n", r2_1
printf "R2 price~bedrms             = %.4f\n", r2_2
printf "R2 price~sqft+bedrms        = %.4f\n", r2_3
printf "R2 price~sqft+bedrms+baths  = %.4f\n", r2_4

R2 price~sqft               = 0,8205
R2 price~bedrms             = 0,0996
R2 price~sqft+bedrms        = 0,8347
R2 price~sqft+bedrms+baths  = 0,8360

Observe el \(R^2\) a medida que se añaden regresores: nunca baja. Esto no es casualidad ni una propiedad de estos datos en particular: es una propiedad puramente algebraica de MCO (cuya idea sembramos en la lección 8), que discutiremos con detalle —y con su corrección adecuada, el \(R^2\) ajustado— en la próxima práctica.

Hasta aquí hemos cambiado el modelo y hemos visto moverse los coeficientes. Ahora vamos a hacer justo lo contrario: dejar el modelo quieto y cambiar los datos. Concretamente, vamos a quitar una vivienda de las catorce y reestimar la misma regresión.

La pregunta es sencilla y conviene planteársela antes de ejecutar nada: si una sola de estas catorce casas hubiera sido distinta —o sencillamente no estuviera en nuestra lista—, ¿cambiaría mucho la recta que hemos ajustado?

Gretl permite restringir la muestra con smpl. Desde la interfaz gráfica, lo natural es ir acumulando los ajustes en la tabla de modelos (menú Archivo -> Tabla de modelos, o el comando modeltab add); en un guion que se ejecuta por lotes, en cambio, resulta más cómodo guardar los coeficientes en escalares e imprimirlos juntos al final. Eso es lo que hace el código siguiente.

1. ¿Por qué el coeficiente de bedrms puede cambiar de signo (o de magnitud) al pasar del modelo simple al modelo con sqft incluido, si en ambos casos usamos los mismos 14 datos?
2. ¿Tiene sentido interpretar el coeficiente de sqft en el modelo price~sqft+bedrms+baths como ``el efecto de un pie cuadrado más, manteniendo todo lo demás igual''? ¿Y como ``lo que causa'' ese cambio de precio?
3. Con solo 14 observaciones, ¿qué cautela adicional debería tener a la hora de generalizar cualquier conclusión de esta práctica a ``el mercado de la vivienda'' en general?
4. ¿Por qué el \(R^2\) no puede bajar nunca al añadir un regresor, sea cual sea ese regresor (incluso uno completamente irrelevante)?
5. Si tuviera que explicarle a alguien sin formación en econometría la diferencia entre ``el efecto de una habitación más'' y ``el efecto de una habitación más, manteniendo fija la superficie'', ¿cómo lo diría con sus propias palabras?

Para profundizar:

• Véase la lección 10 (lección 10) para la notación matricial y el enunciado del efecto parcial, cuyo desarrollo con datos reales es el objeto de esta práctica.
• Ramanathan, R. (2002). Introductory Econometrics with Applications, 5.ª ed. (fuente original del dataset data4-1).
• Wooldridge, J. M. (2020). Introductory Econometrics, cap. 3, sección 3.4 (interpretación ceteris paribus).

1. ¿Por qué puede cambiar el coeficiente de bedrms? Porque en el modelo simple, el coeficiente de bedrms recoge todo lo que varía con el número de dormitorios, incluida la superficie (las casas con más dormitorios suelen tener también más superficie): está, en cierto sentido, ``contaminado'' por esa variable omitida. En el modelo múltiple, al incluir sqft como regresor, el coeficiente de bedrms mide únicamente lo que aporta un dormitorio adicional una vez fijada la superficie —dos viviendas de igual tamaño, pero con distinto reparto en habitaciones—. No es sorprendente que ambos números difieran, incluso en signo: están respondiendo a preguntas distintas, aunque provengan de los mismos datos.
2. Interpretación del coeficiente de sqft en el modelo price~sqft+bedrms+baths. Sí cabe la lectura ceteris paribus: ``manteniendo fijos bedrms y baths, un pie cuadrado adicional se asocia, en promedio, con ese cambio en el precio''. Lo que no cabe, sin más, es la lectura causal (``un pie cuadrado más causa ese cambio''): como se insistió en la lección 8 y en la lección 9 (``El puente''), la descomposición de MCO es puramente algebraica y no certifica, por sí sola, ninguna relación de causa a efecto, sea cual sea el número de regresores. Aquí, además, con solo 14 observaciones, cualquier lectura —causal o no— debe tomarse con mucha cautela.
3. Cautela con solo 14 observaciones. Una muestra tan pequeña es extremadamente sensible a la presencia de una única vivienda atípica (un precio inusualmente alto o bajo, una combinación poco común de dormitorios y superficie) y ofrece muy poco margen para distinguir el efecto de sqft del de bedrms si ambas variables están, en esta muestra concreta, bastante correlacionadas entre sí. Generalizar cualquier coeficiente obtenido aquí a ``el mercado de la vivienda'' sin más matices sería, cuando menos, precipitado: 14 viviendas de un único barrio y un único año no permiten inferir nada sobre otros mercados o épocas.
4. ¿Por qué el \(R^2\) nunca baja al añadir un regresor? Porque MCO elige siempre los coeficientes que minimizan la suma de residuos al cuadrado (SRC) dentro del subespacio disponible; al añadir un regresor, ese subespacio se amplía (contiene, como caso particular, la solución que ya teníamos antes de incluir el regresor nuevo), así que el mínimo de SRC en el subespacio ampliado nunca puede ser más grande que el mínimo anterior. Como \(R^2=1-\mathrm{SRC}/\mathrm{STC}\) y STC no cambia, \(R^2\) no puede bajar. Esto es válido incluso si el regresor añadido no tiene ninguna relación real con la variable dependiente —una propiedad puramente mecánica, no una señal de que el nuevo regresor "importe". Si hubiéramos añadido como regresor adicional el número de hermanos del arquitecto que diseñó cada una de las casas, el \(R^2\) probablemente aumentaría; lo que es seguro es que no disminuiría.
5. Explicar la diferencia sin jerga técnica. Una posible formulación: ``si comparo, sin más, viviendas con distinto número de habitaciones, estoy comparando peras con manzanas, porque esas viviendas probablemente también difieren en su tamaño; en cambio, si comparo únicamente viviendas del mismo tamaño pero con distinto número de habitaciones, estoy aislando el efecto de repartir ese mismo espacio de una forma u otra''. Esa segunda comparación es lo que mide el coeficiente en el modelo con varios regresores a la vez.