Sesión 21 (A) — El contraste \(F\) con datos reales: tres restricciones sobre hprice2

La lección 13 construyó el contraste \(F\) comparando dos ajustes anidados: el del modelo completo y el del modelo que respeta \(H_0\). La diferencia \(\mathrm{SRC}_r-\mathrm{SRC}\) es lo que la restricción cuesta en longitud al cuadrado; dividida por el número de restricciones \(q\) y por \(\mathrm{SRC}/(n-k)\) da el \(F\). Hoy hacemos esa cuenta con datos reales, restricción por restricción, y después dejamos que Gretl la haga con restrict.

Retomamos hprice2 con el modelo de la lección 13, price ~ rooms + nox + stratio, y sus tres restricciones: excluir nox y stratio a la vez, excluir solo stratio, e imponer que los coeficientes de nox y stratio sean iguales. La primera es un \(F\) con \(q=2\); la segunda, un \(F\) con \(q=1\), que debe coincidir con el cuadrado de un \(t\); la tercera no es una exclusión, y obliga a construir el modelo restringido a mano.

Objetivos

1. Estimar el modelo completo y el restringido, y construir el \(F\) con las dos \(\mathrm{SRC}\), \(q\) y \(n-k\).
2. Comprobar que restrict devuelve el mismo \(F\) y leer su salida: el estadístico, el valor \(p\) y las estimaciones restringidas.
3. Ver que con \(q=1\) el \(F\) es el cuadrado del \(t\), y el valor crítico \(F_c\) el cuadrado de \(t_c\).
4. Imponer una igualdad entre dos coeficientes construyendo la suma de los regresores como regresor único.
5. Reencontrar el caso nox y lnox de la lección 13, que la práctica B de la sesión 22 explicará.

Abra hprice2 y estime price sobre rooms, nox y stratio: Modelo -> Mínimos cuadrados ordinarios. Anote la suma de cuadrados de los residuos y los grados de libertad, \(n-k=506-4=502\).

o bien teclee en línea de comandos:

open hprice2.gdt --quiet
ols price const rooms nox stratio
scalar n   = $nobs
scalar k   = 4
scalar SRC = $ess
scalar s2  = SRC/(n-k)

Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1-506
Variable dependiente: price

             coeficiente   Desv. típica   Estadístico t   valor p 
  ----------------------------------------------------------------
  const        9458,01       4371,41          2,164       0,0310   **
  rooms        7000,63        409,150        17,11        4,83e-52 ***
  nox         -1693,33        236,250        -7,168       2,75e-12 ***
  stratio     -1166,96        128,764        -9,063       2,85e-18 ***

Media de la vble. dep.  22511,51   D.T. de la vble. dep.   9208,856
Suma de cuad. residuos  1,71e+10   D.T. de la regresión    5837,767
R-cuadrado              0,600521   R-cuadrado corregido    0,598133
F(3, 502)               251,5451   Valor p (de F)          1,31e-99
Log-verosimilitud      -5104,059   Criterio de Akaike      10216,12
Criterio de Schwarz     10233,02   Crit. de Hannan-Quinn   10222,75


SRC = 1,7108e+10    n-k = 502    s^2 = SRC/(n-k) = 3,4080e+07

La hipótesis \(H_0\!:\beta_{\text{nox}}=\beta_{\text{stratio}}=0\) dice que el modelo es price ~ rooms. Estime ese modelo restringido, anote su \(\mathrm{SRC}_r\) y construya el \(F\) con \(q=2\).

en línea de comandos:

ols price const rooms --quiet
scalar SRCr = $ess
scalar q    = 2
scalar F    = ((SRCr - SRC)/q)/s2
printf "F = %.3f   F_c(2,502) = %.3f   valor p = %.3g\n", F, critical(F, q, n-k, 0.05), pvalue(F, q, n-k, F)

Modelo restringido (price ~ rooms):  SRC_r = 2,2093e+10
Subida de la SRC:                   SRC_r - SRC = 4,9854e+09
F = ((SRC_r - SRC)/2)/(SRC/(n-k)) = 73,143
F_c(2,502) al 5% = 3,014    valor p = 1,33e-28

Ahora pida a Gretl el mismo contraste. Vuelva a estimar el modelo completo y, en la ventana del modelo, Contrastes -> Restricciones lineales; escriba las dos restricciones b[nox] = 0 y b[stratio] = 0, una por línea.

o bien teclee en línea de comandos:

ols price const rooms nox stratio --quiet
restrict
    b[nox] = 0
    b[stratio] = 0
end restrict

Conjunto de restricciones
 1: b[nox] = 0
 2: b[stratio] = 0

Estadístico de contraste: F(2, 502) = 73,1429, con valor p = 1,32811e-28

Estimaciones restringidas:

            coeficiente   Desv. típica  Estadístico t   valor p 
  --------------------------------------------------------------
  const     -34796,2       2651,53         -13,12       4,74e-34 ***
  rooms       9119,55       419,339         21,75       1,87e-74 ***
  nox            0,00000      0,00000       NA         NA       
  stratio        0,00000      0,00000       NA         NA       

  Desviación típica de la regresión = 6620,87

Con \(q=1\) la restricción \(\beta_{\text{stratio}}=0\) se puede contrastar de dos maneras: con el \(F\) de los dos ajustes anidados o con el \(t\) de la tabla del modelo completo. La lección 13 dijo que son el mismo contraste. Compruébelo.

en línea de comandos:

ols price const rooms nox --quiet
scalar SRCr1 = $ess
scalar F1 = ((SRCr1 - SRC)/1)/s2
ols price const rooms nox stratio --quiet
scalar t_st = $coeff(stratio)/$stderr(stratio)
printf "F = %.3f   t^2 = %.3f\n", F1, t_st^2

Modelo restringido (price ~ rooms + nox): SRC_r = 1,9907e+10
F = (SRC_r - SRC)/(SRC/(n-k)) = 82,133
t de stratio en el modelo completo = -9,063 ;  t^2 = 82,133
F_c(1,502) al 5% = 3,860 ;  t_c^2 = 3,860

La hipótesis \(H_0\!:\beta_{\text{nox}}=\beta_{\text{stratio}}\) no excluye ningún regresor, así que el modelo restringido no se obtiene borrando una variable. Si los dos coeficientes son iguales a un mismo \(\beta\), entonces \(\beta_{\text{nox}}\,\text{nox}+\beta_{\text{stratio}}\,\text{stratio}=\beta\,(\text{nox}+\text{stratio})\): el modelo restringido tiene como regresor la suma nox + stratio. Constrúyala (Añadir -> Definir nueva variable), estime el modelo con rooms y la suma, y calcule el \(F\) con \(q=1\).

en línea de comandos:

series nox_mas_stratio = nox + stratio
ols price const rooms nox_mas_stratio --quiet
scalar SRCr2 = $ess
scalar F2 = ((SRCr2 - SRC)/1)/s2
printf "F = %.3f   F_c(1,502) = %.3f   valor p = %.4f\n", F2, critical(F, 1, n-k, 0.05), pvalue(F, 1, n-k, F2)

Modelo restringido (price ~ rooms + (nox + stratio)): SRC_r = 1,7229e+10
Subida de la SRC = 1,2131e+08
F = 3,560    F_c(1,502) al 5% = 3,860    valor p = 0,0598

Y de nuevo con restrict, escribiendo la restricción como b[nox] - b[stratio] = 0.

en línea de comandos:

ols price const rooms nox stratio --quiet
restrict
    b[nox] - b[stratio] = 0
end restrict

Restricción:
 b[nox] - b[stratio] = 0

Estadístico de contraste: F(1, 502) = 3,55973, con valor p = 0,059774

Estimaciones restringidas:

             coeficiente   Desv. típica   Estadístico t   valor p 
  ----------------------------------------------------------------
  const        9323,41       4381,94           2,128      0,0338   **
  rooms        7055,85        409,139         17,25       1,06e-52 ***
  nox         -1297,48        108,880        -11,92       5,20e-29 ***
  stratio     -1297,48        108,880        -11,92       5,20e-29 ***

  Desviación típica de la regresión = 5852,6

Sustituya stratio por lnox, el logaritmo de nox, y compare el \(F\) de excluir las dos medidas de contaminación con los \(t\) de cada una.

en línea de comandos:

ols price const rooms nox lnox
restrict
    b[nox] = 0
    b[lnox] = 0
end restrict

price ~ rooms + nox + lnox:  t(nox) = 0,18   t(lnox) = -1,05   SRC = 1,9864e+10
F de excluir nox y lnox a la vez = 28,18   F_c(2,502) = 3,014   valor p = 2,53e-12

1. En la Actividad 2, \(\mathrm{SRC}_r-\mathrm{SRC}\) vale \(4{,}99\cdot10^9\). ¿Qué longitud al cuadrado es esa, en la figura de la proyección en dos pasos de la lección 13? ¿Por qué no puede ser negativa?
2. El coeficiente de rooms pasa de \(7000{,}6\) en el modelo completo a \(9119{,}6\) en el restringido de la Actividad 2. ¿Qué ha cambiado, si rooms es el mismo vector?
3. En la Actividad 3 el \(F\) y el \(t^2\) coinciden. ¿Qué información tiene el \(t\) que el \(F\) no tiene? ¿Y en qué situación el \(t\) no sirve y el \(F\) sí?
4. En la Actividad 4 el valor \(p\) es \(0{,}060\). Un compañero concluye ``queda demostrado que los dos coeficientes son iguales''. Diga dos razones por las que esa frase es incorrecta.
5. Con la restricción de la Actividad 4, ¿cuánto vale el error estándar del coeficiente común, y por qué es menor que los errores estándar de nox y stratio en el modelo completo?

• Lección 13 (lección 13), en especial ``Restricciones lineales: modelos anidados'' (con la figura de la proyección en dos pasos) y ``Tres restricciones sobre hprice2''.
• Wooldridge, J. M. (2020). Introductory Econometrics, cap. 4, sección 4.5 (contraste de restricciones lineales múltiples) y el ejemplo 4.9.
• Manual de Gretl: comandos restrict y omit; accesores $ess, $df, $test y $pvalue.

1. La subida de la \(\mathrm{SRC}\). Es \(\Vert\boldsymbol{\mathop{\widehat y}}-\boldsymbol{\mathop{\widehat y}}_r\Vert_e^2\), el cuadrado de la distancia entre el ajuste completo y el restringido: el cateto que separa las dos proyecciones en la figura de la lección 13. Por Pitágoras anidado, \(\mathrm{SRC}_r=\mathrm{SRC}+\Vert\boldsymbol{\mathop{\widehat y}}-\boldsymbol{\mathop{\widehat y}}_r\Vert_e^2\), y un cuadrado no es negativo: el residuo restringido nunca es más corto que el libre, porque se proyecta sobre un subespacio contenido en el otro.
2. El coeficiente de rooms cambia. El vector rooms es el mismo, pero la coordenada de un vector en una base depende de toda la base. En el modelo completo, el coeficiente de rooms es la coordenada de \(\boldsymbol{\mathop{\widehat y}}\) en la base \(\{\boldsymbol 1,\text{rooms},\text{nox},\text{stratio}\}\); en el restringido, la de \(\boldsymbol{\mathop{\widehat y}}_r\) en la base \(\{\boldsymbol 1,\text{rooms}\}\). Son dos puntos distintos descritos en bases distintas. La lección 14 lo dijo con la parte propia: en el modelo completo, rooms se mide con lo que no comparte con nox y stratio.
3. Qué tiene el \(t\) que no tiene el \(F\). El signo, y con él la dirección del efecto: \(t=-9{,}06\) dice que stratio reduce el precio; \(F=82{,}1\) solo dice que quitarla cuesta mucho. El \(t\) no sirve cuando la hipótesis involucra más de un coeficiente a la vez, como en las Actividades 2 y 5: dos \(t\) pequeños no equivalen a un \(F\) pequeño, y la Actividad 5 lo muestra.
4. ``Queda demostrado que son iguales''. Primera razón: no rechazar no es demostrar; con estos datos la igualdad es compatible con la evidencia, igual que lo son muchas otras diferencias entre los dos coeficientes, y \(p=0{,}060\) está a un pelo del umbral. Segunda razón: la igualdad que se contrasta es entre coeficientes de variables medidas en unidades sin relación, así que ni siquiera tiene contenido económico que demostrar. Un intervalo para \(\beta_{\text{nox}}-\beta_{\text{stratio}}\) sería más honesto que el veredicto.
5. El error estándar del coeficiente común. Es \(108{,}9\) en la salida de restrict, frente a \(236{,}3\) y \(128{,}8\) en el modelo completo. Al fundir los dos regresores en uno, la parte propia de la suma es más larga que la de cada sumando: la dirección que nox y stratio compartían deja de restar longitud. Es el segundo remedio de la lección 14, imponer una restricción que la muestra no rechaza, visto en acción.