Lección 15. Formas funcionales con logaritmos: qué dice cada coeficiente¶
Author: Marcos Bujosa
Las lecciones 13 y 14 usaron nox y su logaritmo como dos regresores casi alineados. Hoy los leemos como dos formas funcionales de una misma variable explicativa. El modelo sigue siendo lineal en los regresores y la geometría del curso se aplica sin cambios; lo que cambia es qué significa cada coeficiente: un cambio absoluto, un cambio porcentual o una elasticidad. Cierran la función de producción de Cobb–Douglas y la previsión en niveles desde un modelo en logaritmos.
``La geometría opera sobre los regresores; la lectura, sobre las variables.''
De dónde venimos: nox y lnox eran dos formas funcionales¶
Las lecciones 13 y 14 pusieron nox y lnox juntos en un modelo para ver qué pasa con dos regresores casi alineados. Hoy los separamos: cada uno, con rooms, es un modelo distinto del precio (hprice2, $n=506$).
| Regresando | Contaminación | coef. | $\mathrm{ee}$ | $t$ | $R^2$ |
|---|---|---|---|---|---|
price |
nox |
$-1884{,}7$ | $253{,}6$ | $-7{,}43$ | $0{,}535$ |
price |
lnox |
$-10951{,}4$ | $1457{,}9$ | $-7{,}51$ | $0{,}536$ |
lprice |
nox |
$-0{,}1233$ | $0{,}0116$ | $-10{,}67$ | $0{,}511$ |
lprice |
lnox |
$-0{,}7177$ | $0{,}0663$ | $-10{,}82$ | $0{,}514$ |
Cuatro modelos, cuatro coeficientes de distinto tamaño y las mismas conclusiones estadísticas: la contaminación acompaña precios menores, con $t$ entre $-7{,}4$ y $-10{,}8$. Los cuatro números dicen cosas distintas.
Hoy: qué significa cada coeficiente, por qué el logaritmo convierte cambios absolutos en porcentuales, y cómo se prevé en niveles con un modelo en logaritmos. Sin geometría nueva.
Variable explicativa y regresor: lineal en los regresores¶
Variable explicativa: una magnitud observada (nox, educ, el capital). Regresor: una columna del modelo, función de una o varias variables explicativas: nox, $\log(\text{nox})$, $\text{nox}^2$, además de la constante.
El modelo es lineal en los regresores: $\boldsymbol y=\beta_1\boldsymbol 1+\beta_2\boldsymbol x_2+\cdots+\beta_k\boldsymbol x_k+\boldsymbol u$. Esa linealidad en las columnas es lo único que mínimos cuadrados y la inferencia necesitan; toda la geometría del curso opera sobre las columnas.
Puede no ser lineal en las variables explicativas: $\log(\text{price})$ sobre $\log(\text{nox})$ describe una curva entre precio y contaminación. La lectura del coeficiente habla de la variable, y por eso depende de la forma funcional.
Mínimos cuadrados ve columnas. El economista lee variables.
Cuatro formas, cuatro lecturas del coeficiente¶
Para leer un coeficiente que multiplica o acompaña a un logaritmo basta una aproximación: para un cambio relativo pequeño $p$, $\log(1+p)\approx p$. Una variación absoluta de $\log y$ de magnitud $\Delta$ es una variación relativa de $y$ de aproximadamente $\Delta$, en tanto por uno. Como variación pequeña es usual tomar $p=0{,}01$, un 1 %.
| Forma | Modelo | $\beta_2$ es… | Lectura de $\beta_2$ (con lo demás fijo) |
|---|---|---|---|
| nivel-nivel | $y=\beta_1+\beta_2x+\cdots$ | cambio absoluto | una unidad más de $x$, $\beta_2$ unidades más de $y$ |
| log-nivel | $\log y=\beta_1+\beta_2x+\cdots$ | semielasticidad | una unidad más de $x$, $y$ varía en la fracción $\beta_2$ |
| nivel-log | $y=\beta_1+\beta_2\log x+\cdots$ | efecto por fracción | $x$ varía en la fracción $p$, $y$ varía $\beta_2\,p$ unidades |
| log-log | $\log y=\beta_1+\beta_2\log x+\cdots$ | elasticidad | $x$ varía en la fracción $p$, $y$ varía en la fracción $\beta_2\,p$ |
Las cuatro lecturas con hprice2, con rooms fijo (los cuatro modelos de ``De dónde venimos: nox y lnox eran dos formas funcionales''):
| Forma | Modelo | $\hat\beta$ de la contaminación | Lectura |
|---|---|---|---|
| nivel-nivel | price sobre rooms y nox |
$-1884{,}7$ | una unidad más de nox, $1885$ dólares menos |
| log-nivel | lprice sobre rooms y nox |
$-0{,}1233$ | una unidad más de nox, fracción $-0{,}123$: un $12{,}3$ % menos |
| nivel-log | price sobre rooms y lnox |
$-10951{,}4$ | nox varía en la fracción $p=0{,}01$, $-10951\cdot0{,}01=-109{,}5$: $109{,}5$ dólares menos |
| log-log | lprice sobre rooms y lnox |
$-0{,}7177$ | nox varía en la fracción $p=0{,}01$, fracción $-0{,}718\cdot0{,}01=-0{,}0072$: un $0{,}72$ % menos |
Como variación pequeña es usual tomar $p=0{,}01$, un 1 %.
Log-nivel: salarios y educación¶
wage1 (Wooldridge; $526$ trabajadores, salario por hora en dólares de 1976):
| Modelo | coef. de educ |
$\mathrm{ee}$ | $R^2$ |
|---|---|---|---|
wage sobre educ |
$0{,}541$ | $0{,}053$ | $0{,}165$ |
lwage sobre educ |
$0{,}0827$ | $0{,}0076$ | $0{,}186$ |
En niveles: un año más de educación, $54$ centavos más por hora, igual para quien gana $3$ que para quien gana $20$ dólares. En log-nivel: un año más, el salario varía en la fracción $0{,}083$, un $8{,}3$ % más. El rendimiento de la educación se enuncia así, en porcentaje.
Exacto: $e^{\hat\beta_2}-1=0{,}0863$, un $8{,}63$ %. Con cuatro años más: aproximado $4\cdot0{,}0827=0{,}33$, un $33$ %; exacto $e^{4\cdot0{,}0827}-1=0{,}392$, un $39{,}2$ %. La aproximación sirve para cambios pequeños.
Los dos $R^2$ no son comparables: miden el ajuste a variables distintas, wage y lwage.
Nivel-log y log-log: la superficie de la vivienda¶
hprice1 (Wooldridge; $88$ viviendas; precio en miles de dólares; sqrft en pies cuadrados, de $1171$ a $3880$):
| Modelo | coef. de la superficie | $\mathrm{ee}$ | $R^2$ |
|---|---|---|---|
price sobre sqrft |
$0{,}1402$ | $0{,}0118$ | $0{,}621$ |
price sobre lsqrft |
$297{,}9$ | $28{,}3$ | $0{,}563$ |
lprice sobre sqrft |
$0{,}000402$ | $0{,}000037$ | $0{,}584$ |
lprice sobre lsqrft |
$0{,}873$ | $0{,}085$ | $0{,}553$ |
Nivel-nivel: $100$ pies más, $14{,}0$ mil dólares más, en una casa de $1200$ pies y en una de $3800$. Nivel-log: si la superficie varía en la fracción $p$, el precio varía en $297{,}9\,p$ mil; $100$ pies más son un 10 % en una casa de $1000$ pies (unos $28$ mil más) y un 2,5 % en una de $4000$ (unos $7$ mil): el pie adicional vale menos cuanto mayor es la casa. Log-log: elasticidad $0{,}87$; en dólares por pie, $0{,}87\,\hat y/x$, también decreciente.
El $R^2$ más alto es el del modelo en niveles, que predice un pie cuadrado del mismo valor en todas las casas. La forma se elige por lo que el modelo predice, no por el $R^2$.
Con la contaminación (hprice2), el modelo de Wooldridge (ejemplo 4.5): lprice sobre lnox, $\log(\text{dist})$, rooms y stratio. Elasticidad $-0{,}954$ ($\mathrm{ee}$ $0{,}117$), intervalo al 95 % de $-1{,}18$ a $-0{,}72$; rooms: $0{,}255$, fracción $0{,}255$ más por habitación, un $25{,}5$ % (exacto $e^{0{,}255}-1=0{,}290$, un $29{,}0$ %).
La pregunta económica es $H_0\!:\beta_{\text{lnox}}=-1$ (elasticidad unitaria), no $\beta_{\text{lnox}}=0$: $t=\dfrac{-0{,}954-(-1)}{0{,}117}=0{,}40$. Datos como estos no serían raros si la elasticidad fuese $-1$.
La elasticidad: una decisión del modelo¶
En el modelo en niveles la elasticidad existe, pero cambia con $x$: $\eta=\beta_2\,x/\hat y$. Con price sobre nox (regresión simple): $-0{,}47$ en un barrio con nox $3{,}9$; $-0{,}82$ con $5{,}5$; $-2{,}5$ con $8{,}7$. En el modelo log-log es la misma en todos los barrios: $-1{,}04$.
Qué forma elegir lo decide la pregunta económica y el comportamiento esperado fuera de lo habitual, no el $R^2$: los ajustes son casi iguales donde hay datos.
Cobb–Douglas: elasticidades y rendimientos a escala¶
$Q=A\,L^{\alpha}K^{\gamma}e^{u}$ no es lineal en nada. En logaritmos sí: $\log Q=\beta_1+\alpha\log L+\gamma\log K+u$, con $\beta_1=\log A$. Es un modelo log-log con dos regresores: $\alpha$ y $\gamma$ son las elasticidades parciales del producto; $\alpha+\gamma$ mide los rendimientos a escala.
Datos de Zellner y Revankar (greene9_1): valor añadido, trabajo y capital de la industria del equipo de transporte en $25$ estados de EE. UU., 1957.
| Regresor | coef. | $\mathrm{ee}$ | $t$ |
|---|---|---|---|
| constante | $1{,}844$ | $0{,}234$ | $7{,}90$ |
| $\log(\text{labor})$ | $0{,}805$ | $0{,}126$ | $6{,}37$ |
| $\log(\text{capital})$ | $0{,}245$ | $0{,}107$ | $2{,}30$ |
$R^2=0{,}973$; $\hat\alpha+\hat\gamma=1{,}051$. $H_0\!:\alpha+\gamma=1$ es una restricción lineal (lección 13): $F(1,22)=1{,}54$, valor $p=0{,}23$. Datos como estos no serían raros con rendimientos constantes.
Previsión con y sin logaritmos¶
Con lprice sobre rooms y lnox, un barrio con $6$ habitaciones y nox $5{,}5$ tiene $\widehat{\log(\text{price})}=9{,}846$. Deshacer el logaritmo, $e^{9{,}846}=18879$ dólares, subestima el precio medio: $e^{\hat y}$ predice la mediana, no la media.
Con perturbación normal (lección 12), $\mathrm{E}(y\mid\text{regresores})=e^{\boldsymbol x^\top\boldsymbol\beta}\,e^{\sigma^2/2}$. Previsión corregida: $e^{\hat y}\,e^{\mathfrak s^2/2}$; aquí $\mathfrak s=0{,}286$ y el factor es $1{,}042$: $19667$ dólares. Enunciado, no demostrado.
En toda la muestra: la media de price es $22512$; la media de $e^{\hat y}$, $21672$; la de la previsión corregida, $22576$.
Para comparar con un modelo en niveles hay que medir sobre la misma variable: el cuadrado de la correlación entre price y la previsión en niveles del modelo log-log es $0{,}595$; el $R^2$ de price sobre rooms y lnox, $0{,}536$.
Lo que cambia y lo que no¶
Unidades: si price pasa a miles de dólares, $\log(\text{price}/1000)=\log(\text{price})-6{,}908$: solo cambia la constante ($9{,}234\to2{,}326$); pendientes, $R^2$ y $\mathfrak s$, iguales. En niveles, cambiar las unidades de $y$ o de $x$ reescala los coeficientes (lección 5).
Solo variables positivas: el logaritmo no admite ceros ni negativos. Con ceros, se deja la variable en niveles o se usa $\log(1+x)$ para $x\ge0$. Las variables que ya son porcentajes o tasas suelen entrar en niveles; las dicotómicas, siempre (lección 16).
La forma de la perturbación: los precios y los salarios tienen asimetría a la derecha y una dispersión que crece con el nivel; el logaritmo los simetriza y estabiliza su varianza. Esa es la razón estadística para preferir lprice y lwage, y vuelve en la lección 17.
Lo que no cambia nunca: la geometría. Columnas, proyección, residuos, $t$ y $F$ son los mismos para cualquier forma funcional lineal en los regresores.
Recapitulación y guiño a la lección siguiente¶
| Pieza | Fórmula | Lectura |
|---|---|---|
| Regresor frente a variable | $\boldsymbol x_j$ es función de las variables | la geometría ve columnas; la lectura, variables |
| Aproximación | $\log(1+p)\approx p$ | un $\Delta$ en $\log y$ es una fracción $\Delta$ en $y$ |
| Las tres lecturas | $\beta_2$; $\beta_2\,p$; $\beta_2\,p$ | semielasticidad; efecto por fracción; elasticidad |
| Cobb–Douglas | $\log Q=\beta_1+\alpha\log L+\gamma\log K+u$ | elasticidades parciales; $\alpha+\gamma=1$ es un restrict |
| Previsión en niveles | $e^{\hat y}\,e^{\mathfrak s^2/2}$ | $e^{\hat y}$ es la mediana; el factor corrige la media |
Demostrado: las lecturas, a partir de $\log(1+p)\approx p$. Enunciado: $\mathrm{E}(e^{u})=e^{\sigma^2/2}$ con $u$ normal. Sin geometría nueva.
Lección 16: variables dicotómicas e interacciones; en log-nivel, el coeficiente de una dicotómica es una diferencia porcentual.