Lección 7. Modelos ARIMA y SARIMA. Identificación y diagnosis
Índice
Repasaremos los instrumentos de identificación y diagnosis del análisis univariante. Extenderemos la notación para incorporar modelos con raíces unitarias y modelos estacionales. Finalmente resumiremos las ideas principales del análisis univariante.
Carga de algunos módulos de python y creación de directorios auxiliares
# Para trabajar con los datos y dibujarlos necesitamos cargar algunos módulos de python
import numpy as np # linear algebra
import pandas as pd # data processing, CSV file I/O (e.g. pd.read_csv)
import matplotlib as mpl
# definimos parámetros para mejorar los gráficos
mpl.rc('text', usetex=False)
import matplotlib.pyplot as plt # data visualization
import dataframe_image as dfi # export tables as .png
- Directorio auxiliar para albergar las figuras de la lección:
para publicar la lección como pdf o página web, necesito los gráficos como ficheros
.pngalojados algún directorio específico:imagenes_leccion = "./img/lecc07" # directorio para las imágenes de la lección import os os.makedirs(imagenes_leccion, exist_ok=True) # crea el directorio si no existe
Gráficos para las ACF, PACF y densidades espectrales teóricas
Cargamos las funciones auxiliares (véase la carpeta src/)
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore", category=UserWarning)
%run -i ./src/analisis_armas.py
Identificación y diagnosis
- Combinando herramientas gráficas y estadísticas, se puede inferir un modelo para los datos.
- Este proceso de especificación empírica de un modelo es conocido como "identificación".
El proceso de identificación puede estructurarse como una secuencia de preguntas:
- ¿Es la serie estacionaria?
- ¿Tiene una media significativa?
- ¿Es persistente la ACF? ¿sigue alguna pauta reconocible?
- ¿Es persistente la PACF? ¿sigue alguna pauta reconocible?
- La identificación se apoya en estadísticos muestrales (media, autocorrelaciones, etc.) cuya representatividad respecto del proceso estocástico subyacente depende de la estacionariedad y la ergodicidad.
- Tras inducir la estacionariedad, especificamos un modelo tentativo decidiendo cuál de las funciones ACF o PACF es finita y cuál es persistente
| ACF finita | ACF persistente | |
|---|---|---|
| PACF finita | Ruido blanco: retardos conjuntamente NO significativos | AR: orden indicado por la PACF |
| PACF persistente | MA: orden indicado por la ACF | ARMA |
La parametrización de mayor orden en modelos ARMA con series económicas suele ser ARMA(\(2,1\))
Instrumentos de identificación
| Instrumento | Objetivo y observaciones | |
|---|---|---|
| Transf. logarítmica | Gráficos rango-media y serie temporal. | Conseguir independizar la variabilidad de los datos de su nivel. Las series económicas necesitan esta transformación frecuentemente. |
| \(d\), orden de diferenciación | Gráfico de la serie temporal. ACF (caída lenta y lineal). Contrastes de raíz unitaria (DF o ADF y KPSS). | Conseguir que los datos fluctúen en torno a una media estable. En series económicas, \(d\) suele ser 0, 1 ó 2. |
| Constante | Media de la serie transformada. Desviación típica de la media. | Si la media de la serie transformada es significativa, el modelo debe incluir un término constante. |
| \(p\), orden AR. | Si PACF cae abruptamente en el retardo \(p\) y la ACF decae lentamente. | En series económicas \(p\) suele ser \(\leq2\). |
| \(q\), orden MA. | Si ACF cae abruptamente en el retardo \(q\) y PACF decae lentamente. | En series económicas q suele ser \(\leq1\). |
Instrumentos de diagnosis
| Instrumento | Posible diagnóstico | |
|---|---|---|
| \(d\), orden de diferenciación | Proximidad a 1 de alguna raíz de los polinomios AR o MA. | Conviene diferenciar si la raíz es AR; o quitar una diferencia si es MA (salvo si hay tendencia determinista). |
| \(d\), orden de diferenciación | Gráfico de los residuos. | Si muestra rachas largas de residuos positivos o negativos, puede ser necesaria una diferencia adicional. |
| Constante | Media de los residuos. | Si es significativa: añadir una constante. |
| Constante | Constante estimada. | Si NO es significativa: el modelo mejorará quitando el término constante. |
| \(p\) y \(q\), | Contrastes de significación de los parámetros estimados. | Pueden sugerir eliminar parámetros irrelevantes. |
| \(p\) y \(q\), | ACF/PACF residuos. Test Q de Ljung-Box. | Indican posibles pautas de autocorrelación no modelizadas. |
| \(p\) y \(q\), | Correlaciones elevadas entre los parámetros estimados. | Puede ser síntoma de sobreparametrización. |
Una vez superadas las pruebas de diagnostico, aún se puede aplicar un análisis exploratorio; consistente en añadir parámetros AR y/o MA para comprobar si resultan significativos y mejoran el modelo.
Raíces unitarias
Notación: operadores retardo y diferencia y modelos ARIMA
El operador diferencia \(\nabla\) se define a partir del operador retardo como \(\nabla=(1 - \mathsf{B})\): \[ \nabla Y_t = (1 - \mathsf{B})Y_t = Y_t - Y_{t-1}. \] El operador diferencia estacional es \({\nabla}_{_S} = (1 - \mathsf{B}^S)\): \[ \nabla_{_S}Y_t = (1 - \mathsf{B}^S)Y_t = Y_t - Y_{t-S}. \]
Notación: ARIMA
Extendemos la notación a procesos con raíces autorregresivas unitarias con ``ARIMA(\(p,d,q\))''; donde \(d\) indica el número de diferencias que la serie necesita para ser \(I(0)\), \[ \boldsymbol{\phi}_p*\nabla^d*\boldsymbol{Y} = \boldsymbol{\theta}_q* \boldsymbol{U}; \] es decir \[ \boldsymbol{\phi}_p(\mathsf{B})\nabla^d Y_t = \boldsymbol{\theta}_q(\mathsf{B}) U_t; \quad t\in\mathbb{Z}. \]
Raíces unitarias en los polinomios AR y MA
Cuando un polinomio tiene alguna raíz igual a uno se dice que tiene ``raíces unitarias''.
Si el polinomio AR estimado tiene alguna raíz ``próxima a uno'' es síntoma de infradiferenciación.
Si el polinomio MA estimado tiene alguna raíz ``próxima a uno'' es síntoma de sobrediferenciación.
Ejemplos:
| Modelo expresado con raíces unitarias en \(\boldsymbol{\phi}\) o \(\boldsymbol{\theta}\) | Modelo equivalente sin raíces unitarias en \(\boldsymbol{\phi}\) o \(\boldsymbol{\theta}\) |
|---|---|
| \((1-1.5\mathsf{B}+.5\mathsf{B}^2) Y_t = U_t\) | \({\color{blue}{(1-0.5\mathsf{B})\nabla Y_t=U_t}}\) |
| \((1-.5\mathsf{B}+0.7\mathsf{B}^2)\nabla^2Y_t=(1-\mathsf{B})U_t\) | \({\color{blue}{(1-.5\mathsf{B}+0.7\mathsf{B}^2)\nabla Y_t = U_t}}\) |
| \(\nabla Y_t = \beta+ (1-\mathsf{B}) U_t\) | \({\color{blue}{Y_t = \beta t + U_t}}\quad\) (¡no estacionario!) |
Paseos aleatorios
Un paseo aleatorio representa una variable cuyos incrementos son ruido blanco: \[Y_t = \mu + Y_{t-1} + U_t.\]
Cuando \(\mu\ne0\) se denomina paseo aleatorio con deriva: \(\;\nabla Y_t = \mu + U_t\).
fig = plot_paseo_aleatorio_analysis(trend="t", pendiente=0.25, n=400, semilla=2025)
fig.savefig('./img/lecc07/ACF-RWcd.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
El proceso tiene mayor inercia cuanto mayor es \(|\mu|\). El signo de \(\mu\) determina el signo de la pendiente global.
Cuando \(\mu=0\) se denomina sencillamente paseo aleatorio: \(\;\nabla Y_t = U_t\)
fig = plot_paseo_aleatorio_analysis(n=400, semilla=2026)
fig.savefig('./img/lecc07/ACF-RW.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
Modelos ARIMA estacionales (SARIMA)
El período estacional \(S\) es el número mínimo de observaciones necesarias para recorrer un ciclo estacional completo. Por ejemplo, \(S=12\) para datos mensuales, \(S=4\) para datos trimestrales, \(S=24\) para datos horarios, etc.
Describiremos comportamientos estacionales con modelos ARIMA\((p,d,q)\times(P,D,Q)_S\) \[ \boldsymbol{\phi}_p(\mathsf{B})\boldsymbol{\Phi}_P(\mathsf{B}^S)\nabla^d\nabla_{_S}^D Y_t = \boldsymbol{\theta}_q(\mathsf{B})\boldsymbol{\Theta}_q(\mathsf{B}^S) U_t; \quad t\in\mathbb{Z} \] donde
\begin{align*} \boldsymbol{\Phi}_P(\mathsf{B}^S) = & 1-\Phi_1\mathsf{B}^{1\cdot S}-\Phi_2\mathsf{B}^{2\cdot S}-\cdots-\Phi_P\mathsf{B}^{P\cdot S}\\ \boldsymbol{\Theta}_Q(\mathsf{B}^S) = & 1-\Theta_1\mathsf{B}^{1\cdot S}-\Theta_2\mathsf{B}^{2\cdot S}-\cdots-\Theta_Q\mathsf{B}^{Q\cdot S}\\ {\nabla}_{_S}^D = & (1 - \mathsf{B}^S)^D \end{align*}Es decir, el modelo consta de polinomios autorregresivos y de media móvil tanto regulares (en minúsculas) como estacionales (en mayúsculas).
Veamos un ejemplo de un modelo MA(\(1\)) estacional y otro de un modelo AR(\(1\)) estacional…
MA(1) estacional con raíz positiva
MA(\(1\)) estacional: \(\quad\boldsymbol{\Theta}=1-0.9z^{12}\quad\Rightarrow\quad X_t= (1-0.9 \mathsf{B}^{12})U_t\)
SMA1 = [1, -0.9]
fig = plot_arma_seasonal_parametric_diagnostics(seasonal_ma_params=SMA1, s=12)
fig.savefig('./img/lecc07/ACF-SMA1p.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
fig = plot_sarima_analysis(seasonal_ma_params=SMA1, s=12, seed=2025)
fig.savefig('./img/lecc07/Sim-SMA1p.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
AR(1) estacional con raíz positiva
AR(\(1\)) estacional: \(\quad\boldsymbol{\Phi}=1-0.9z^{12}\quad\Rightarrow\quad (1-0.9 \mathsf{B}^{12})X_t= U_t\)
SAR1 = [1, -0.9]
fig = plot_arma_seasonal_parametric_diagnostics(seasonal_ar_params=SAR1, s=12)
fig.savefig('./img/lecc07/ACF-SAR1p.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
Evidentemente las raíces son iguales a las del caso anterior (aunque ahora corresponden al polinomio autorregresivo).
fig = plot_sarima_analysis(seasonal_ar_params=SAR1, s=12, seed=2025)
fig.savefig('./img/lecc07/Sim-SAR1p.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
Con estos dos ejemplos hemos podido apreciar que:
- las pautas de autocorrelación son análogas a las de los MA(1) y AR(2), pero ahora los retardos significativos corresponden a los retardos estacionales, es decir, a múltiplos del período estacional \(S\).
- En estos ejemplos, en los que \(S=12\), los retardos estacionales son: 12, 24, 36, 48, 60,…
- las correlaciones correspondientes a los “retardos regulares” (es decir, todos menos menos los estacionales) son no significativas en general.
Veamos ahora un par de ejemplos de modelos estacionales multiplicativos (i.e., con parte regular y parte estacional).
ARIMA (0,0,1)x(0,0,1)
ARIMA\((0,0,1)\times(0,0,1)_{12}\): \(\quad X_t= (1-0.9 \mathsf{B})(1-0.9 \mathsf{B}^{12})U_t\)
MA1 = [1, -0.8]
SMA1 = [1, -0.9]
fig = plot_arma_seasonal_parametric_diagnostics(ma_params=MA1, seasonal_ma_params=SMA1, s=12)
fig.savefig('./img/lecc07/ACF-MA1SMA1.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
fig = plot_sarima_analysis(ma_params=MA1, seasonal_ma_params=SMA1, s=12, seed=2025)
fig.savefig('./img/lecc07/Sim-MA1SMA1.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
ARIMA (1,0,0)x(0,0,1)
ARIMA\((1,0,0)\times(0,0,1)_{12}\): \(\quad (1-0.9 \mathsf{B})X_t= (1-0.9 \mathsf{B}^{12})U_t\)
AR1 = [1, -0.8]
SMA1 = [1, -0.9]
fig = plot_arma_seasonal_parametric_diagnostics(ar_params=AR1, seasonal_ma_params=SMA1, s=12)
fig.savefig('./img/lecc07/ACF-AR1SMA1.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
fig = plot_sarima_analysis(ar_params=AR1, seasonal_ma_params=SMA1, s=12, seed=2025)
fig.savefig('./img/lecc07/Sim-AR1SMA1.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
ARIMA (1,0,0)x(1,0,0)
ARIMA\((1,0,0)\times(1,0,0)_{12}\): \(\quad (1-0.9 \mathsf{B})(1-0.9 \mathsf{B}^{12})X_t= U_t\)
AR1 = [1, -0.8]
SAR1 = [1, -0.9]
fig = plot_arma_seasonal_parametric_diagnostics(ar_params=AR1, seasonal_ar_params=SAR1, s=12, logs=True)
fig.savefig('./img/lecc07/ACF-AR1SAR1.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
fig = plot_sarima_analysis(ar_params=AR1, seasonal_ar_params=SAR1, s=12, seed=2025)
fig.savefig('./img/lecc07/Sim-AR1SAR1.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
ARIMA (0,0,1)x(1,0,0)
ARIMA\((0,0,1)\times(1,0,0)_{12}\): \(\quad (1-0.9 \mathsf{B}^{12})X_t= (1-0.9 \mathsf{B})U_t\)
MA1 = [1, -0.8]
SAR1 = [1, -0.9]
fig = plot_arma_seasonal_parametric_diagnostics(ma_params=MA1, seasonal_ar_params=SAR1, s=12)
fig.savefig('./img/lecc07/ACF-MA1SAR1.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
fig = plot_sarima_analysis(ma_params=MA1, seasonal_ar_params=SAR1, s=12, seed=2025)
fig.savefig('./img/lecc07/Sim-MA1SAR1.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
En estos cuatro ejemplos hemos podido apreciar que
- en el entorno de los retardos estacionales surgen una serie de coeficientes significativos (“satélites”) que proceden de la interacción entre las estructuras regular y estacional
- Estos satélites son útiles para identificar en qué retardos estacionales hay autocorrelaciones no nulas, pero no requieren una parametrización especial.
Resumen del análisis univariante de series temporales
Ideas principales respecto a la modelización univariante
- Es una modelización sin variables exógenas
- Modelizan la interdependencia temporal con polinomios de órdenes reducidos.
- Está especialmente indicada para hacer predicción.
- Parte de dos supuestos sobre el proceso estocástico subyacente:
- es débilmente estacionario
- tiene representación como proceso lineal: \(\; Y_t=\mu+\sum_{j=0}^\infty a_j U_{t-j};\quad\) con \(\quad\mu\in\mathbb{R},\;\) \(\quad\boldsymbol{a}\in\ell^2\quad\) y \(\quad\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\)
- Utiliza múltiples instrumentos: (a) gráficos (b) función de autocorrelación (c) función de autocorrelación parcial, (d) estadístico Q de Ljung-Box, etc…
- Si la serie original no "parece" débilmente estacionaria, se induce esta propiedad mediante las transformaciones adecuadas
| ACF finita | ACF persistente | |
|---|---|---|
| PACF finita | Ruido blanco: retardos conjuntamente NO significativos | AR: orden indicado por la PACF |
| PACF persistente | MA: orden indicado por la ACF | ARMA |
Metodología
Tres fases:
- Identificación
- Se elige una especificación provisional para el proceso estocástico subyacente en función de las características medibles de los datos (``dejar que los datos hablen'')
- Estimación
- suele requerir métodos iterativos (Gretl se encarga de esto)
- Diagnosis
- de la calidad estadística del modelo ajustado. Algunos controles estándar son:
- Significatividad de los parámetros estimados
- Estacionariedad y homocedasticidad de los residuos
- ¿Existe un patrón de autocorrelación residual que podría ser modelado? ¿O hemos logrado que los residuos sean "ruido blanco"?
Si la diagnosis no es satisfactoria, se vuelve a la primera fase.
Si la diagnosis es satisfactoria… ¡hemos logrado un modelo aceptable!… que podremos usar para realizar pronósticos.