Lección 2. Conceptos algebraicos¶
Author: Marcos Bujosa
Secuencias o sucesiones de números¶
El espacio vectorial de las secuencias infinitas $\big({\mathbb{R}}^\mathbb{Z},+,\cdot\big)$¶
Consideremos el conjunto ${\mathbb{R}}^\mathbb{Z}$ de secuencias infinitas de números reales: $$ \boldsymbol{x} \quad = \quad (\ldots,\ x_{-2},\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\ldots) \quad = \quad (x_t \mid t\in\mathbb{Z}). $$ Podemos sumar secuencias, o multiplicarlas por escalares. Si $\;\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in{\mathbb{R}}^\mathbb{Z}\;$ y $\;a\in\mathbb{R}$: $$ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=(x_t+y_t \mid t\in\mathbb{Z}) $$ $$ a\cdot\boldsymbol{x}=\big(a\cdot x_t \mid t\in\mathbb{Z}\big) $$ El conjunto ${\mathbb{R}}^\mathbb{Z}$, con la suma elemento a elemento $(+)$ y el producto por escalares $(\cdot)$, constituye un espacio vectorial.
Notación mediante funciones generatrices¶
Como estas secuencias son infinitas en ambas direcciones, no hay un primer elemento.
Por esta razón, se utilizan subíndices que indiquen la posición de sus elementos genéricos: $$ \boldsymbol{x} \quad = \quad (\ldots,\ x_{-2},\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\ldots) \quad = \quad (x_t \mid t\in\mathbb{Z}). $$
Pero cuando escribimos una secuencia numérica concreta, por ejemplo $$\boldsymbol{a} = (\ldots,\ 0,\ 1,\ 4,\ 9,\ 2,\ 0,\ldots),$$ no tenemos indicación de la posición absoluta de cada número.
Las funciones generatrices resuelven esta imprecisión. En ellas, los elementos se separan con el símbolo ``$+$'' y la posición es indicada como potencia del símbolo ``$z$''. $$ \boldsymbol{a}(z) \; = \; \cdots + 0z^{-2} + 1z^{-1} + 4z^{0}+ 9z + 2z^{2} + 0z^{3}+\cdots. %\;\equiv\; %1z^{-1} + 4z^{0}+ 9z + 2z^{2}. $$
Así, podemos denotar una secuencia $\boldsymbol{x}$ de manera muy compacta del siguiente modo: $$ \boldsymbol{x}(z) \quad = \quad \sum_{t=-\infty}^\infty x_t z^t. $$ Nótese que esta expresión no es una suma; solo es un modo de expresar una secuencia. Dicha expresión se denomina función generatriz.
La sucesión $\;\boldsymbol{0}=\sum_{t=-\infty}^\infty 0 z^t\;$ se denomina sucesión nula.
Además, denotaremos con $\boldsymbol{1}$ la secuencia constante uno: $(\ldots,1,1,1,\ldots)=\sum_{t\in\mathbb{Z}}1 z^t.$
Características de algunas secuencias¶
En una sucesión $\boldsymbol{c}$ no nula llamamos:
- Grado: al menor índice entero que verifica la propiedad: $$j > grado(\boldsymbol{c}) \Rightarrow c_j=0.$$
- Cogrado: al mayor índice entero que verifica la propiedad: $$j < cogrado(\boldsymbol{c}) \Rightarrow c_j=0.$$
Para $\boldsymbol{0}$ diremos que: $\;grado(\boldsymbol{0}) = -\infty\;$ y $\;cogrado(\boldsymbol{0}) = \infty$.
Una sucesión $\boldsymbol{c}$ es:
- Absolutamente sumable ($\ell^1$): si $\quad\sum_{t=-\infty}^\infty |c_t| < \infty$
- De cuadrado sumable ($\ell^2$): si $\quad\sum_{t=-\infty}^\infty c_t^2 < \infty$.
Toda sucesión absolutamente sumable también es de cuadrado sumable, $\ell^1\subset \ell^2$
Algunos subespacios vectoriales de $\big({\mathbb{R}}^\mathbb{Z},+,\cdot\big)$¶
- Secuencias con final: aquellas con grado (a partir de cierto índice son cero): $$\boldsymbol{a}(z) = (\ldots,\ a_{p-3},\ a_{p-2},\ a_{p-1},\ a_{p},\ 0,\ 0,\ 0,\ldots) = \sum_{t=-\infty}^p a_t z^t;\qquad p\in\mathbb{Z}.$$
- Secuencias con principio: tienen cogrado (antes de cierto índice son cero):
$$\boldsymbol{a}(z) = (\ldots,\ 0,\ 0,\ 0,\ a_{k},\ a_{k+1},\ a_{k+2},\ a_{k+3},\ldots) = \sum_{t=k}^\infty a_t z^t;\qquad k\in\mathbb{Z}.$$
- Series formales: aquellas con cogrado $\geq 0$: $$\boldsymbol{a}(z) = (\ldots,\ 0,\ 0,\ 0,\ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ldots) = \sum_{t=k}^\infty a_t z^t;\qquad k\geq0.$$
Los polinomios son series formales con grado finito: $\quad\sum_{t=k}^p a_t z^t;\qquad k\geq0$.
- Por ejemplo $\;2z-4z^2\;$ es un polinomio de grado 2 y cogrado 1.
Producto convolución¶
Sean $\boldsymbol{a}$ y $\boldsymbol{b}$ sucesiones con principio (con cogrado). Su producto convolución es la sucesión cuyo elemento t-ésimo es: $$ (\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})_t=\sum_{r+s=t} a_rb_s; \qquad r,s,t\in\mathbb{Z}. $$
El cogrado de $\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b}$ es la suma de los respectivos cogrados.
La convolución también está definida entre sucesiones
con final (con grado); y el grado es la suma de los respectivos grados
absolutamente sumables ($\ell^1$); $\quad\sum\limits_{t\in\mathbb{Z}} |a_t| < \infty$
Anillos conmutativos¶
Anillo conmutativo es un conjunto $\mathsf{S}$ equipado con dos operaciones binarias (suma, $+$, y producto, $*$) que satisfacen tres conjuntos de axiomas (familiares para usted).
En cuanto a la suma:
- $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})\;$ para todo $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ en $\mathsf{S}\qquad$ (i.e. $+$ es asociativa).
- $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\;$ para todo $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ en $\mathsf{S}\qquad$ (i.e. $+$ es conmutativa).
- Existe un elemento $\boldsymbol{0}$ tal que $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{a}$ para todo $\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}$.
- Para cada $\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}$ existe $-\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}$ tal que $\boldsymbol{a} + (-\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{0}$.
En cuanto al producto:
- $(\boldsymbol{a} * \boldsymbol{b}) * \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} * (\boldsymbol{b} * \boldsymbol{c})\;$ para todo $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ en $\mathsf{S}\qquad$ (i.e. $*$ es asociativo).
- $\boldsymbol{a} * \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} * \boldsymbol{a}\;$ para todo $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ en $\mathsf{S}\qquad$ (i.e. $*$ es conmutativo).
- Existe un elemento ${{1}}$ tal que $\boldsymbol{a} * {{1}} = \boldsymbol{a}$ para todo $\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}$.
El producto es distributivo respecto de la suma: Para todo $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ en $\mathsf{S}$:
- $\boldsymbol{a}*(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{c}).$
- $(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})*\boldsymbol{a}=(\boldsymbol{b}*\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{c}*\boldsymbol{a}).$
Cuerpos¶
Cuerpo es un anillo conmutativo tal que:
Para cada $\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}$ no nulo ($\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}$), existe $\boldsymbol{b}\in \mathsf{S}$ tal que $\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b}={{1}}$.
(Todo elemento no nulo del conjunto tiene una inversa en dicho conjunto).
Entonces se dice que $\boldsymbol{b}$ es el inverso de $\boldsymbol{a}$; y que $\boldsymbol{a}$ es el inverso de $\boldsymbol{b}$.
Clasificación de subconjuntos de sucesiones¶
Son anillos el conjunto de: series formales (cogrado $\geq0$), polinomios y $\ell^1$
(En estos conjuntos las operaciones funcionan como usted está acostumbrado).
Pero estas sucesiones o no tienen inversa; o sus inversas son de otro tipo (p.e. generalmente las inversas de polinomios no son polinomios).
Son cuerpos el conjunto de: secuencias con principio , las secuencias con final y las fracciones de polinomios.
Con $\boldsymbol{a}^{-\triangleright}\equiv\frac{1}{\boldsymbol{a}}{\scriptstyle{\triangleright}}$ denotamos la inversa de $\boldsymbol{a}$ con principio (con cogrado).
Con $\boldsymbol{a}^{\blacktriangleleft-}\equiv{\scriptstyle{\blacktriangleleft}}\frac{1}{\boldsymbol{a}}$ denotamos la inversa de $\boldsymbol{a}$ con final (con grado).
Por otra parte, si alguna inversa resulta ser absolutamente sumable (si pertenece a $\ell^1$), este hecho se indica denotando dicha inversa con $\boldsymbol{a}^{-1}\equiv\frac{1}{\boldsymbol{a}}$.
Inversas de polinomios¶
Todo polinomio:
- por tener cogrado: tiene una inversa con cogrado (con principio).
- por tener grado: tiene una inversa con grado (con final).
Para el polinomio $\;1-az\;$ estas inversas son:
$(1-az)^{-\triangleright}=\sum\limits_{j={\color{blue}{0}}}^\infty a^j z^j \quad=\quad (\ldots,0,\ \fbox{${\color{blue}{1}}$},\ a,\ a^2,\ a^3,\ldots)$.
$(1-az)^{\blacktriangleleft-}=\sum\limits_{j=-\infty}^{{\color{blue}{-1}}} -a^j z^j \quad=\quad (\ldots,\ \frac{-1}{a^3},\ \frac{-1}{a^2},\ \frac{-1}{a},\fbox{${\color{blue}{0}}$},\ldots)$.
Es evidente que si $|a|\ne1$ una de las inversas está en $\ell^1$ y la otra no.
Pero si $|a|=1$ ninguna de las inversas pertenece a $\ell^1$ (ninguna es sumable).
Si alguna inversa es absolutamente sumable, se denota con $\boldsymbol{a}^{-1}\equiv\frac{1}{\boldsymbol{a}}$.
(Implementación en Python —enlace al Notebook).
Podemos factorizar un polinomio $\boldsymbol{a}$ sin raíces de módulo $1$ como: $ \quad\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}*\boldsymbol{c}, $
- donde $\boldsymbol{b}$ es un polinomio con las raíces de módulo menor que $1$, y
- donde $\boldsymbol{c}$ es un polinomio con las raíces de módulo mayor que $1$
Como los polinomios $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ y $\boldsymbol{c}$, y las inversas $\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}$ y $\boldsymbol{c}^{-\triangleright}$, pertenecen al anillo $\ell^1$, $$ \boldsymbol{a}*(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}) =(\boldsymbol{b}*\boldsymbol{c})*(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}) =\boldsymbol{b}*\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}={{1}}*{{1}}={{1}}. $$ La secuencia $\;(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright})\;$ es la inversa de $\boldsymbol{a}$ en $\ell^1$.
Dicha inversa (generalmente con grado y cogrado no finitos) se denota con $\boldsymbol{a}^{-1}=\frac{1}{\boldsymbol{a}}$.
(y no existe si $\boldsymbol{a}$ tiene alguna raíz de módulo $1$).
En los manuales de series temporales se dice que un polinomio $\boldsymbol{a}$ es invertible cuando
$$\text{(la inversa con principio) }\;\boldsymbol{a}^{-\triangleright}=\boldsymbol{a}^{-1}\; \text{ (la inversa absolutamente sumable)}.$$ (y solo es posible si sus raíces están fuera del círculo unidad).
Cuerpo de fracciones de polinomios¶
El cuerpo de fracciones de polinomios: $$\left\{\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright} \mid \boldsymbol{p} \text{ y } \boldsymbol{q} \text{ son polinomios y } \boldsymbol{q}\ne\boldsymbol{0} \right\}$$ es un subcuerpo del cuerpo de las sucesiones con principio (i.e., con cogrado finito).
Cuando las raíces del polinomio $\boldsymbol{q}$ están fuera del circulo unidad (i.e., $\;\boldsymbol{q}^{-\triangleright}=\boldsymbol{q}^{-1}$) es habitual denotar la secuencia $\;\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright}\;$ así $\;\frac{\boldsymbol{p}}{\boldsymbol{q}}.\;$ Es decir: $$ (\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright})(z)=\frac{\boldsymbol{p}(z)}{\boldsymbol{q}(z)}. $$ Este conjunto de sucesiones es uno de los pilares en la modelización ARIMA.
Operador retardo $\mathsf{B}{}$ y secuencias sumables.¶
En Series Temporales es habitual el uso del operador de retardo $\mathsf{B}$ en la notación: $$\mathsf{B} x_t = x_{t-1},\quad \text{para } t\in\mathbb{Z}.$$
Aplicando el operador $\mathsf{B}{}$ repetidamente tenemos $$\mathsf{B}^k x_t = x_{t-k},\quad \text{para } t,z\in\mathbb{Z}.$$
Así, si la secuencia $\boldsymbol{x}(z)=\sum_{t=-\infty}^\infty x_t z^t$ es absolutamente sumable, entonces la expresión $$\boldsymbol{x}(\mathsf{B})=\sum_{t=-\infty}^\infty x_t \mathsf{B}^t\;=\;\cdots+x_{-2}+x_{-1}+x_{0}+x_{1}+\cdots$$ tiene sentido como suma (donde hemos sustituido $z$ por $\mathsf{B}$).
El operador retardo y el producto convolución¶
Secuencias en el operador retardo $\boldsymbol{a}(\mathsf{B}{})$ actuando sobre secuencias¶
Así, para el polinomio $\boldsymbol{a}(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3$, y la secuencia $\boldsymbol{y}$, tenemos
\begin{align*} \boldsymbol{a}(\mathsf{B})y_t & = (a_0+a_1\mathsf{B}+a_2\mathsf{B}^2+a_3\mathsf{B}^3) y_t \\ & = a_0 y_t + a_1 \mathsf{B}^1 y_t + a_2 \mathsf{B}^2 y_t + a_3 \mathsf{B}^3 y_t \\ & = a_0y_t+a_1y_{t-1}+a_2y_{t-2}+a_3y_{t-3} \\ & =\sum\nolimits_{r=0}^3 a_r y_{t-r} \\ & =(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{y})_t. \end{align*}
Y en general, si $\boldsymbol{a}$ e $\boldsymbol{y}$ son secuencias absolutamente sumables, entonces
\begin{align*} \boldsymbol{a}(\mathsf{B})y_t & = (\cdots+a_{-2}\mathsf{B}^{-2}+a_{-1}\mathsf{B}^{-1}+a_0+a_1\mathsf{B}+a_2\mathsf{B}^2+\cdots) y_t \\ % & = a_0 y_t + a_1 \mathsf{B}^1 y_t + a_2 \mathsf{B}^2 y_t + a_3 \mathsf{B}^3 y_t \\ & = \cdots+a_{-2}y_{t+2}+a_{-1}y_{t+1}+a_0y_t+a_1y_{t-1}+a_2y_{t-2}+\cdots \\ % & =\sum\nolimits_{r=0}^3 a_r y_{t-r} \\ & =(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{y})_t. \end{align*}
Convolución de una serie formal con el "reverso" de otra¶
Por último, si $\boldsymbol{a}$ y $\boldsymbol{b}$ son series sumables, y la función reverso entre secuencias $R:\mathbb{R}^\mathbb{Z}\to\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ es aquella función tal que $\;R(b_j)=b_{-j};\;$ es decir: $$ R\big(\boldsymbol{b}(z)\big)=\boldsymbol{b}(z^{-1}); $$ donde $R\big(\boldsymbol{b}\big)$ es sumable por serlo $\boldsymbol{b}$. Tenemos que $\boldsymbol{a}(z)*\boldsymbol{b}(z^{-1})$ es la siguiente secuencia sumable:
\begin{align*} \boldsymbol{a}(z)*\boldsymbol{b}(z^{-1}) =&(a_0z^0+a_1z^1+a_2z^2+\cdots)(\cdots+b_2z^{-2}+b_1z^{-1}+b_0z^0)\\ =&\Big(\ldots, \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+2}b_j,\; \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j-1}b_j,\; \fbox{\({\color{blue}{\sum_{j\in\mathbb{Z}}a_jb_j}}\)},\; \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+1}b_j,\; \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+2}b_j,\ldots\Big)\\ =&\Big(\sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+k}b_j\mid k\in\mathbb{Z}\Big). %\;=\;\Big(\sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+k}R(b_{-j})\mid k\in\mathbb{Z}\Big) %\;=\;\boldsymbol{a}(z)*R\big(\boldsymbol{b}(z)\big). \end{align*}
Por tanto:
\begin{equation} \label{eqConvolucionConSuReverso} \Big(\boldsymbol{a}(z)*\boldsymbol{b}(z^{-1})\Big)_k=\sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+k}b_{j}. \end{equation}
Resultados preliminares sobre series sumables¶
Esta sección contiene las demostraciones de los resultados empleados en la lección; y solo se puede ver de manera completa en la versión pdf de la lección.