Lección 2. Conceptos algebraicos¶
Author: Marcos Bujosa
Secuencias o sucesiones de números¶
El espacio vectorial de las secuencias infinitas $\big({\mathbb{R}}^\mathbb{Z},+,\cdot\big)$¶
Consideremos el conjunto ${\mathbb{R}}^\mathbb{Z}$ de secuencias infinitas de números reales
$$
\boldsymbol{x}
\quad = \quad
(\ldots,\ x_{-2},\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\ldots)
\quad = \quad
(x_t \mid t\in\mathbb{Z})
$$
Estas secuencias se pueden sumar o multiplicar por escalares.
Si $\;\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in{\mathbb{R}}^\mathbb{Z}\;$ y $\;a\in\mathbb{R}$:
$$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=(x_t+y_t \mid t\in\mathbb{Z})$$
$$a\cdot\boldsymbol{x}=\big(a\cdot x_t \mid t\in\mathbb{Z}\big)$$
El conjunto ${\mathbb{R}}^\mathbb{Z}$ junto con la suma elemento a elemento $(+)$ y el producto por escalares $(\cdot)$ constituye un espacio vectorial.
Notación mediante funciones generatrices¶
Como estas secuencias son infinitas (en ambas direcciones), no hay un primer elemento.
Por eso añadimos subíndices que indiquen la posición de los elementos en la secuencia. $$ \boldsymbol{x} \quad = \quad (\ldots,\ x_{-2},\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\ldots) \quad = \quad (x_t \mid t\in\mathbb{Z}) $$
Pero al escribir una secuencia concreta $$\boldsymbol{a} = (\ldots,\ 0,\ 1,\ 4,\ 9,\ 2,\ 0,\ldots)$$ no hay una indicación de la posición absoluta de los elementos (notación poco precisa).
Las funciones generatrices resuelven esta imprecisión. En ellas, los elementos se separan con el símbolo ``$+$'' y la posición es indicada como potencia del símbolo ``$z$''. $$ \boldsymbol{a}(z) \; = \; \cdots + 0z^{-2} + 1z^{-1} + 4z^{0}+ 9z + 2z^{2} + 0z^{3}+\cdots. %\;\equiv\; %1z^{-1} + 4z^{0}+ 9z + 2z^{2}. $$
Así podemos denotar la secuencia $\boldsymbol{x}$ de manera muy compacta del siguiente modo $$ \boldsymbol{x}(z) \quad = \quad \sum_{t=-\infty}^\infty x_t z^t. $$ Nótese que esta expresión no es una suma; solo es un modo de expresar una secuencia. Dicha expresión se denomina función generatriz.
La sucesión $\;\boldsymbol{0}=\sum_{t=-\infty}^\infty 0 z^t\;$ se denomina sucesión nula.
Además, denotaremos con $\boldsymbol{1}$ la secuencia constante uno: $(\ldots,1,1,1,\ldots)=\sum_{t\in\mathbb{Z}}1 z^t.$
Características de algunas secuencias¶
En una sucesión $\boldsymbol{a}$ no nula llamamos:
- Grado: al menor índice entero que verifica la propiedad: $$j > grado(\boldsymbol{a}) \Rightarrow a_j=0.$$ Diremos que el grado de $\boldsymbol{0}$ es menos infinito $\;(grado(\boldsymbol{0}) = -\infty)$.
- Cogrado: al mayor índice entero que verifica la propiedad: $$j < cogrado(\boldsymbol{a}) \Rightarrow a_j=0.$$ Diremos que el cogrado de $\boldsymbol{0}$ es infinito $\;(cogrado(\boldsymbol{0}) = \infty)$.
Una sucesión $\boldsymbol{a}$ es:
- Absolutamente sumable ($\ell^1$): si $\quad\sum_{t=-\infty}^\infty |a_t| < \infty$
- De cuadrado sumable ($\ell^2$): si $\quad\sum_{t=-\infty}^\infty a_t^2 < \infty$
Una sucesión absolutamente sumable siempre es de cuadrado sumable, $\ell^1\subset \ell^2$.
Algunos subespacios vectoriales de $\big({\mathbb{R}}^\mathbb{Z},+,\cdot\big)$¶
- Secuencias con final: aquellas con grado (a partir de cierto índice son cero). $$\boldsymbol{a}(z) = (\ldots,\ a_{p-3},\ a_{p-2},\ a_{p-1},\ a_{p},\ 0,\ 0,\ 0,\ldots) = \sum_{t=-\infty}^p a_t z^t;\qquad p\in\mathbb{Z}$$
- Secuencias con principio: tienen cogrado (antes de cierto índice son cero).
$$\boldsymbol{a}(z) = (\ldots,\ 0,\ 0,\ 0,\ a_{k},\ a_{k+1},\ a_{k+2},\ a_{k+3},\ldots) = \sum_{t=k}^\infty a_t z^t;\qquad k\in\mathbb{Z}$$- Series formales: aquellas con cogrado $\geq 0$. $$\boldsymbol{a}(z) = (\ldots,\ 0,\ 0,\ 0,\ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ldots) = \sum_{t=k}^\infty a_t z^t;\qquad k\geq0$$
Los polinomios son series formales con grado finito: $\quad\sum_{t=k}^p a_t z^t;\qquad k\geq0$.
- Por ejemplo $\;a_0+a_1z+a_2z^2\;$ es un polinomio de grado 2.
Producto convolución¶
Sean $\boldsymbol{a}$ y $\boldsymbol{b}$ sucesiones con principio (con cogrado). Su producto convolución es la sucesión cuyo elemento t-ésimo es: $$(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})_t=\sum_{r+s=t} a_rb_s; \qquad r,s,t\in\mathbb{Z}$$
El cogrado de $\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b}$ es la suma de los respectivos cogrados.
La convolución también está definida entre sucesiones:
con final (con grado); y el grado es la suma de los respectivos grados.
absolutamente sumables ($\ell^1$). $\quad\sum\limits_{t\in\mathbb{Z}} |a_t| < \infty$
Anillos conmutativos¶
Un anillo conmutativo es un conjunto $\mathsf{S}$ equipado con dos operaciones binarias, la suma $+$ y el producto $*$ que satisfacen tres conjuntos de axiomas (todos familiares).
En cuanto a la suma
- $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})\;$ para todo $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ en $\mathsf{S}\qquad$ (i.e. $+$ es asociativa).
- $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\;$ para todo $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ en $\mathsf{S}\qquad$ (i.e. $+$ es conmutativa).
- Existe un elemento $\boldsymbol{0}$ tal que $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{a}$ para todo $\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}$.
- Para cada $\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}$ existe $-\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}$ tal que $\boldsymbol{a} + (-\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{0}$.
En cuanto al producto
- $(\boldsymbol{a} * \boldsymbol{b}) * \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} * (\boldsymbol{b} * \boldsymbol{c})\;$ para todo $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ en $\mathsf{S}\qquad$ (i.e. $*$ es asociativo).
- $\boldsymbol{a} * \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} * \boldsymbol{a}\;$ para todo $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ en $\mathsf{S}\qquad$ (i.e. $*$ es conmutativo).
- Existe un elemento ${{1}}$ tal que $\boldsymbol{a} * {{1}} = \boldsymbol{a}$ para todo $\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}$.
El producto es distributivo respecto de la suma: Para todo $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ en $\mathsf{S}$
- $\boldsymbol{a}*(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{c})\;$
- $(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})*\boldsymbol{a}=(\boldsymbol{b}*\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{c}*\boldsymbol{a})\;$
Cuerpos¶
Un cuerpo es un anillo conmutativo que adicionalmente satisface:
Para cada $\boldsymbol{a}\in \mathsf{S}$ no nulo ($\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}$), existe $\boldsymbol{b}\in \mathsf{S}$ tal que $\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b}={{1}}$.
(Todo elemento no nulo del conjunto tiene una inversa en dicho conjunto)
Entonces se dice que $\boldsymbol{b}$ es el inverso de $\boldsymbol{a}$; y que $\boldsymbol{a}$ es el inverso de $\boldsymbol{b}$.
Clasificación de subconjuntos de sucesiones¶
Son anillos el conjunto de: series formales (cogrado $\geq0$), polinomios y $\ell^1$
(En estos conjuntos las operaciones funcionan tal y como está acostumbrado).
Pero estas sucesiones o no tienen inversa; o son sucesiones de otro tipo (p.e. las inversas de polinomios no son polinomios en general).
Son cuerpos el conjunto de: secuencias con principio , las secuencias con final y las fracciones de polinomios.
Con $\boldsymbol{a}^{-\triangleright}\equiv\frac{1}{\boldsymbol{a}}{\scriptstyle{\triangleright}}$ denotamos la inversa de $\boldsymbol{a}$ con principio (con cogrado).
Con $\boldsymbol{a}^{\blacktriangleleft-}\equiv{\scriptstyle{\blacktriangleleft}}\frac{1}{\boldsymbol{a}}$ denotamos la inversa de $\boldsymbol{a}$ con final (con grado).
Cuando una de estas dos inversas es una secuencia absolutamente sumable, dicha inversa se denota habitualmente con $\boldsymbol{a}^{-1}\equiv\frac{1}{\boldsymbol{a}}$.
Inversas de polinomios¶
Todo polinomio
- por tener cogrado: tiene una inversa con cogrado (con principio)
- por tener grado: tiene una inversa con grado (con final)
Para el polinomio $\;1-az\;$ estas inversas son:
$(1-az)^{-\triangleright}=\sum\limits_{j=0}^\infty a^j z^j \quad=\quad (\ldots,0,\ \fbox{${\color{blue}{1}}$},\ a,\ a^2,\ a^3,\ldots)$
$(1-az)^{\blacktriangleleft-}=\sum\limits_{j=-\infty}^{-1} -a^j z^j \quad=\quad (\ldots,\ \frac{-1}{a^3},\ \frac{-1}{a^2},\ \frac{-1}{a},\fbox{${\color{blue}{0}}$},\ldots)$
Es evidente que si $|a|\ne1$ una de las inversas está en $\ell^1$ y la otra no.
Pero si $|a|=1$ ninguna de las inversas pertenece a $\ell^1$ (hay infinitos unos).
Podemos factorizar un polinomio $\boldsymbol{a}$ sin raíces de módulo $1$ como $$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}*\boldsymbol{c}$$
- donde $\boldsymbol{b}$ es un polinomio con las raíces de módulo menor que $1$ y
- donde $\boldsymbol{c}$ es un polinomio con las raíces de módulo mayor que $1$
Como tanto los polinomios $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ y $\boldsymbol{c}$ como las inversas $\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}$ y $\boldsymbol{c}^{-\triangleright}$ pertenecen al anillo $\ell^1$, $$\boldsymbol{a}*(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}) =(\boldsymbol{b}*\boldsymbol{c})*(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}) =\boldsymbol{b}*\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright}={{1}}*{{1}}={{1}}.$$ La secuencia $\;(\boldsymbol{b}^{\blacktriangleleft-}*\boldsymbol{c}^{-\triangleright})\;$ es la inversa de $\boldsymbol{a}$ en $\ell^1$.
En general, dicha inversa no tiene grado ni cogrado finitos y se
denota con $\boldsymbol{a}^{-1}=\frac{1}{\boldsymbol{a}}$.
(es la inversa que aparece en los libros de
series temporales)
Evidentemente dicha inversa no existe si $\boldsymbol{a}$ tiene alguna raíz de módulo $1$.
En los manuales de series temporales se dice que un polinomio $\boldsymbol{a}$ es invertible si
$$\text{(la inversa con principio) }\;\boldsymbol{a}^{-\triangleright}=\boldsymbol{a}^{-1}\; \text{ (la inversa absolutamente sumable)}.$$ (y solo es posible si sus raíces están fuera del círculo unidad).
%run -i ./src/implementacion_series_formales.py
from sympy import symbols
a = symbols('a')
p=SerieConPrincipio([1,-a],0)
p
$1 - az$
p.inversa(10)
$1 + az + a^{2}z^{2} + a^{3}z^{3} + a^{4}z^{4} + a^{5}z^{5} + a^{6}z^{6} + a^{7}z^{7} + a^{8}z^{8} + a^{9}z^{9} + \cdots$
Cuerpo de fracciones de polinomios¶
El cuerpo de fracciones de polinomios $$\left\{\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright} \mid \boldsymbol{p} \text{ y } \boldsymbol{q} \text{ son polinomios y } \boldsymbol{q}\ne\boldsymbol{0} \right\};$$ es un subcuerpo del cuerpo de las sucesiones con principio (i.e., con cogrado finito)
Cuando las raíces del polinomio $\boldsymbol{q}$ están fuera del circulo unidad (i.e., $\;\boldsymbol{q}^{-\triangleright}=\boldsymbol{q}^{-1}$) es habitual denotar la secuencia $\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright}$ así $\frac{\boldsymbol{p}}{\boldsymbol{q}}$ $$(\boldsymbol{p}*\boldsymbol{q}^{-\triangleright})(z)=\frac{\boldsymbol{p}(z)}{\boldsymbol{q}(z)}$$
Este conjunto de sucesiones es uno de los pilares en la modelización ARIMA.
Operador retardo $\mathsf{B}{}$ y secuencias sumables.¶
Es habitual usar el operador retardo $\mathsf{B}$: $$\mathsf{B} x_t = x_{t-1},\quad \text{para } t\in\mathbb{Z}.$$
Aplicando el operador $\mathsf{B}{}$ repetidamente tenemos $$\mathsf{B}^k x_t = x_{t-k},\quad \text{para } t,z\in\mathbb{Z}.$$
Así, si la secuencia $\boldsymbol{x}(z)=\sum_{t=-\infty}^\infty x_t z^t$ es sumable, entonces la expresión $$\boldsymbol{x}(\mathsf{B})=\sum_{t=-\infty}^\infty x_t \mathsf{B}^t\;=\;\cdots+x_{-2}+x_{-1}+x_{0}+x_{1}+\cdots$$ tiene sentido como suma.
Polinomios y secuencias en el operador retardo $\boldsymbol{a}(\mathsf{B}{})$ actuando sobre secuencias¶
Así, para el polinomio $\boldsymbol{a}(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3$, y la secuencia $\boldsymbol{y}$, tenemos
\begin{align*} \boldsymbol{a}(\mathsf{B})y_t & = (a_0+a_1\mathsf{B}+a_2\mathsf{B}^2+a_3\mathsf{B}^3) y_t \\ & = a_0 y_t + a_1 \mathsf{B}^1 y_t + a_2 \mathsf{B}^2 y_t + a_3 \mathsf{B}^3 y_t \\ & = a_0y_t+a_1y_{t-1}+a_2y_{t-2}+a_3y_{t-3} \\ & =\sum\nolimits_{r=0}^3 a_r y_{t-r} \\ & =(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{y})_t \end{align*}
Y en general, si $\boldsymbol{a}$ e $\boldsymbol{y}$ son secuencias sumables, entonces
\begin{align*} \boldsymbol{a}(\mathsf{B})y_t & = (\cdots+a_{-2}\mathsf{B}^{-2}+a_{-1}\mathsf{B}^{-1}+a_0+a_1\mathsf{B}+a_2\mathsf{B}^2+\cdots) y_t \\ % & = a_0 y_t + a_1 \mathsf{B}^1 y_t + a_2 \mathsf{B}^2 y_t + a_3 \mathsf{B}^3 y_t \\ & = \cdots+a_{-2}y_{t+2}+a_{-1}y_{t+1}+a_0y_t+a_1y_{t-1}+a_2y_{t-2}+\cdots \\ % & =\sum\nolimits_{r=0}^3 a_r y_{t-r} \\ & =(\boldsymbol{a}*\boldsymbol{y})_t \end{align*}
Convolución de una serie formal con el "reverso" de otra¶
Por último, si $\boldsymbol{a}$ y $\boldsymbol{b}$ son series sumables; y recordando que la función \emph{reverso} entre secuencias $R:\mathbb{R}^\mathbb{Z}\to\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ es tal que $R(b_j)=b_{-j}$, es decir: $$ R\big(\boldsymbol{b}(z)\big)=\boldsymbol{b}(z^{-1}); $$ donde $R\big(\boldsymbol{b}\big)$ es sumable por serlo $\boldsymbol{b}$. Tenemos que $\boldsymbol{a}(z)*\boldsymbol{b}(z^{-1})$ es la siguiente secuencia sumable:
\begin{align*} \boldsymbol{a}(z)*\boldsymbol{b}(z^{-1}) =&(a_0z^0+a_1z^1+a_2z^2+\cdots)(\cdots+b_2z^{-2}+b_1z^{-1}+b_0z^0)\\ =&\Big(\ldots, \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+2}b_j,\; \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j-1}b_j,\; \fbox{\({\color{blue}{\sum_{j\in\mathbb{Z}}a_jb_j}}\)},\; \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+1}b_j,\; \sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+2}b_j,\ldots\Big)\\ =&\Big(\sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+k}b_j\mid k\in\mathbb{Z}\Big). %\;=\;\Big(\sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+k}R(b_{-j})\mid k\in\mathbb{Z}\Big) %\;=\;\boldsymbol{a}(z)*R\big(\boldsymbol{b}(z)\big). \end{align*}
Por tanto:
\begin{equation} \label{eqConvolucionConSuReverso} \Big(\boldsymbol{a}(z)*\boldsymbol{b}(z^{-1})\Big)_k=\sum_{j\in\mathbb{Z}}a_{j+k}b_{j}. \end{equation}
Resultados preliminares sobre series sumables¶
Esta sección contiene las demostraciones de los resultados empleados en la lección; y solo se puede ver de manera completa en la versión pdf de la lección.