Econometría Aplicada. Lección 3

Table of Contents

  • 1. Correlación
  • 2. Cointegración

    • En esta lección se discutirá la posible relación entre correlación y causalidad. Veremos casos de correlación espuria (correlación sin causalidad) y una introducción a la cointegración (con un caso en el la correlación no desaparece al diferenciar las series). Como novedad usaremos R.

    Carga de algunas librerías de R

    Primero cargamos la librería tfarima (Repositorio Cran: https://cran.r-project.org/web/packages/tfarima/index.html; repositorio GitHub: https://github.com/gallegoj/tfarima) 

    library(tfarima)      # librería de José Luis Gallego para Time Series
library(latticeExtra) # para gráficos con doble eje vertical (doubleYScale)
library(readr)        # para leer ficheros CSV
library(ggplot2)      # para el scatterplot (alternaticamente library(tidyverse))
library(jtools)       # para representación resultados estimación
library(zoo)          # para generar objetos ts (time series)

    y además fijamos los parámetros por defecto para las figuras en png del notebook 

    # fijamos el tamaño de las figuras que se generan en el notebook
options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 4, repr.plot.res = 200)

    1. Correlación

    La correlación entre dos muestras de tamaño \(N\) (dos vectores de datos de \(\mathbb{R}^N\)) es el coseno del ángulo formado los vectores de dichos datos en desviaciones respecto a sus correspondientes medias. \[\rho_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}}=\frac{\sigma_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}}}{\sigma_{\boldsymbol{x}}\sigma_{\boldsymbol{y}}}\]

    Por tanto la correlación es algún valor entre \(-1\) y \(1\).

    • Si la correlación es \(1\) significa que \(\;\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\bar{y}}\;\) es \(\;a(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\bar{x}})\;\) para algún \(a\) positivo
    • Si la correlación es \(-1\) significa que \(\;\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\bar{y}}\;\) es \(\;a(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\bar{x}})\;\) para algún \(a\) negativo
    • Cuando la correlación es \(0\) el vector \(\;\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\bar{y}}\;\) es perpendicular al vector \(\;\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\bar{x}}\;\)

    1.1. La causalidad y correlación

    Cuando existe relación causal entre variables sus muestras suelen estar correladas.

    • Número de horas de sol tiene correlación positiva con la temperatura ambiente
    • La altitud de una localidad (o su latitud) tiene una correlación negativa con la temperatura ambiente

    Pero correlaciones significativas no indican la existencia de relaciones causales.

    • En una playa: consumo de helados y ataques de tiburón a los bañistas

    1.2. Correlación espuria

    La correlación entre variables sin relación causal se denomina correlación espuria.

    • Que haya correlación espuria no significa que "en realidad no hay correlación".
    • Que haya correlación espuria significa que es erróneo interpretar que dicha correlación se debe a una relación causal.

    Puede ser que una causa común induzca la correlación entre ambas variables

    • consumo de helados y venta de bañadores

    Puede ser que no exista causa alguna y aún así haya correlación

    1.3. Las series con tendencia suelen presentar elevadas correlaciones.

    1.3.1. Ejemplo de correlación espuria: PNB vs incidencia de melanoma

    data_frame <- read_csv('datos/GNPvsMelanoma.csv',show_col_types = FALSE)
head(data_frame, 3)
    obs GNP Melanoma
    <dbl> <dbl> <dbl>
    1936 193.0 1.0
    1937 203.2 0.8
    1938 192.9 0.8 
    # se pueden graficar dos columnas de un data_frame al mismo tiempo
kk <- xyplot(GNP + Melanoma ~ obs, data_frame, type="l")
# Se agrega dos ejes Y. Se construye cada serie por separado
obj1 <- xyplot(GNP ~ obs, data_frame, type = "l" , lwd=2, ylab="GNP (miles de millones de $)",  xlab="Years")
obj2 <- xyplot(Melanoma ~ obs, data_frame, type = "l", lwd=2, ylab="Casos de melanoma")
# --> se realiza la grafica con el segundo eje Y
doubleYScale(obj1, obj2, add.ylab2 = TRUE)

    Serie anual (1936–1972) del PNB anual USA en miles de millones de dólares corrientes e incidencia de melanoma en la población masculina de Connecticut.

    GNPvsMelanoma.png 

    # transitoriamente cambio el tamaño de la siguiente figura
options(repr.plot.width = 4, repr.plot.height = 4, repr.plot.res = 100)
ggplot(data_frame, aes(x = Melanoma, y = GNP)) + geom_point()
options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 4, repr.plot.res = 200)

    La correlación es \(0.93\) (debido a que ambas series presentan una tendencia creciente)

    Scatter-GNPvsMelanoma.png

    Si regresamos el PNB sobre la incidencia de casos de melanoma obtenemos un excelente ajuste (coef. de determinación de \(0.87\) y coeficientes muy significativos).

    Ello no significa que el modelo tenga alguna capacidad explicativa o predictiva (pues la incidencia de melanoma en Connecticut no hace crecer la economía de EEUU). 

    MODEL INFO:
Observations: 37
Dependent Variable: GNP
Type: OLS linear regression 

MODEL FIT:
F(1,35) = 231.84, p = 0.00
R² = 0.87
Adj. R² = 0.87 

Standard errors: OLS
--------------------------------------------------
                      Est.    S.E.   t val.      p
----------------- -------- ------- -------- ------
(Intercept)         118.57   23.73     5.00   0.00
Melanoma            118.98    7.81    15.23   0.00
--------------------------------------------------

    1.4. Una manera de ver que la correlación es posiblemente espuria (que no hay causalidad)

    Si fuera cierto que \[ \boldsymbol{y}=\beta_1 \boldsymbol{1} + \beta_2 \boldsymbol{x} + \boldsymbol{u} \] Entonces también sería cierto que \[ \nabla\boldsymbol{y}= \beta_2 \nabla\boldsymbol{x} + \nabla\boldsymbol{u} \] 

    # creamos un objeto ts ("time series")
datos_ts <- as.ts( read.zoo( data_frame ) )
# creamos dos nuevas series temporales con las primeras diferencias de las columnas "GNP" y "Melanoma" de datos_ts
d_GNP      = diff(datos_ts[,"GNP"])
d_Melanoma = diff(datos_ts[,"Melanoma"])

    # creamos un nuevo data frame con las primeras diferencias
DF.diferencias = data.frame(date = zoo::as.Date(time(d_GNP)),
                            d_GNP = as.matrix(d_GNP),
                            d_Melanoma = as.matrix(d_Melanoma))
head(DF.diferencias, 2)
      date d_GNP d_Melanoma
      <date> <dbl> <dbl>
    1 1937-01-01 10.2 -0.2
    2 1938-01-01 -10.3 0.0 
    # gráfico conjunto con dos columnas del data frame DF.diferencias
kk <- xyplot(d_GNP + d_Melanoma ~ date, DF.diferencias, type="l")
obj1 <- xyplot(d_GNP ~ date, DF.diferencias, type = "l" , lwd=2, ylab="Incremento GNP",  xlab="Years")
obj2 <- xyplot(d_Melanoma ~ date, DF.diferencias, type = "l", lwd=2, ylab="Incremento casos de melanoma")
doubleYScale(obj1, obj2, add.ylab2 = TRUE)

    d_GNPvsd_Melanoma.png

    Sin embargo, al realizar la regresión de la primera diferencia de GNP sobre la primera diferencia de Melanoma obtenemos un ajuste pésimo (tan solo la constante es significativa… ¡cuando en teoría \(\beta_1=0\)!). 

    # resultados del ajuste MCO entre d_GNP y d_Melanoma
summ( lm(d_GNP ~ d_Melanoma) )

    MODEL INFO:
Observations: 36
Dependent Variable: d_GNP
Type: OLS linear regression 

MODEL FIT:
F(1,34) = 0.01, p = 0.92
R² = 0.00
Adj. R² = -0.03 

Standard errors: OLS
------------------------------------------------
                     Est.   S.E.   t val.      p
----------------- ------- ------ -------- ------
(Intercept)         16.57   3.18     5.21   0.00
d_Melanoma           0.71   6.59     0.11   0.92
------------------------------------------------

    2. Cointegración

    • Informalmente, una serie temporal es integrada de orden \(d\), (ó \(I(d)\)) si \(d\) es el mínimo número de diferencias ordinarias necesarias para lograr la estacionariedad en media.
      • Consecuentemente, una serie estacionaria en media es \(I(0)\).

    • En ocasiones una combinación lineal de series \(I(d)\) (i.e., series con el mismo orden de integración) resulta ser integrada con un orden menor a \(d\); entonces se dice que están cointegradas:

      \(\boldsymbol{x}\), \(\boldsymbol{y}\) y \(\boldsymbol{z}\) están cointegradas si son \(I(d)\) y existen \(a\), \(b\), \(c\) tales que \[a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{y}+c\boldsymbol{z}\quad\text{es cointegrada de orden $d-m$},\] con \(m>0\;\) (se dice que tienen \(m\) relaciones de integración).

    Para estimar la relación de cointegración, se ajusta una regresión lineal entre las variables potencialmente cointegradas y se evalúa la estacionariedad o el orden de integración de los residuos

    • La situación más habitual es tener dos series \(\boldsymbol{x}\) e \(\boldsymbol{y}\) que son \(I(1)\) y encontrar por MCO un \(\hat{\alpha}\) tal que \(\boldsymbol{y}-\hat{\alpha}\boldsymbol{x}\) es \(I(0)\).

    La cointegración entre series temporales suele tener dos interpretaciones relacionadas entre sí:

    1. Las series poseen una tendencia común (pues hay una combinación lineal entre ellas que cancela dicha tendencia)
    2. Existe un equilibrio a largo plazo entre dichas series, de manera que las desviaciones del equilibrio tienden a desaparecer a corto plazo

    2.1. Ejemplo de series cointegradas: tipos de interes en UK a corto y largo plazo

    # leemos los datos cuartrimestales como un objeto zoo
UK_zoo <- read.csv.zoo("datos/UK_Interest_rates.csv", FUN = as.yearqtr, format = "%YQ%q",
  strip.white = TRUE)
head(UK_zoo,3)

            Long Short
1952 Q2 4.23  2.32
1952 Q3 4.36  2.47
1952 Q4 4.19  2.42

    # creamos un data frame a partir de UK_zoo (data frame para la figura de doble eje)
UK_df = fortify.zoo(UK_zoo)
head(UK_df,3)
      Index Long Short
      <yearqtr> <dbl> <dbl>
    1 1952 Q2 4.23 2.32
    2 1952 Q3 4.36 2.47
    3 1952 Q4 4.19 2.42 
    # creamos un ts (time series) a partir de UK_zoo por conveniencia
UK_ts = as.ts(UK_zoo)
head(UK_ts,3)
    Long Short
    4.23 2.32
    4.36 2.47
    4.19 2.42 
    kk <- xyplot(Long + Short ~ Index, UK_df, type="l")
obj1 <- xyplot(Long ~ Index, UK_df, type = "l" , lwd=2, ylab="Long",  xlab="Years")
obj2 <- xyplot(Short ~ Index, UK_df, type = "l", lwd=2, ylab="Short")
doubleYScale(obj1, obj2, add.ylab2 = TRUE)
    Long
    rendimiento porcentual a 20 años de los bonos soberanos del Reino Unido
    Short
    rendimiento de las letras del tesoro a 91 días

    (Muestra: 1952Q2–1979Q4)

    UK_Interest_rates.png

    La correlación es \(0.898\) (ambas series poseen una tendencia creciente… veamos si dicha tendencia es común a ambas) 

    cor(UK_df$Long, UK_df$Short)

    0.89764827721203 

    # creamos dos nuevas series temporales con las primeras diferencias
d_Long  = diff(UK_ts[,"Long"])
d_Short = diff(UK_ts[,"Short"])

    # creamos un nuevo data frame con las primeras diferencias
UK_df.diferencias = data.frame(date = zoo::as.Date(time(d_Long)),
                            d_Long  = as.matrix(d_Long),
                            d_Short = as.matrix(d_Short))
head(UK_df.diferencias, 2)
      date d_Long d_Short
      <date> <dbl> <dbl>
    1 1952-07-01 0.13 0.15
    2 1952-10-01 -0.17 -0.05 
    # gráfico con las primeras diferencias de los tipos de interésframe DF.diferencias
kk <- xyplot(d_Long + d_Short ~ date, UK_df.diferencias, type="l")
obj1 <- xyplot(d_Long ~ date, UK_df.diferencias, type = "l" , lwd=2, ylab="First diff. Long",  xlab="Quarters")
obj2 <- xyplot(d_Short ~ date, UK_df.diferencias, type = "l", lwd=2, ylab="First diff. Short")
doubleYScale(obj1, obj2, add.ylab2 = TRUE)

    UK_Interest_ratesFirstDiff.png

    La regresión de la primera diferencia de Short sobre la primera diferencia de Long NO sugiere que la correlación sea espuria: obtenemos un ajuste razonable con una pendiente muy significativa y una constante NO significativa. 

    # resultados del ajuste MCO
summ( lm(d_Short ~ d_Long) )

    MODEL INFO:
Observations: 74
Dependent Variable: d_Short
Type: OLS linear regression 

MODEL FIT:
F(1,72) = 20.11, p = 0.00
R² = 0.22
Adj. R² = 0.21 

Standard errors: OLS
------------------------------------------------
                     Est.   S.E.   t val.      p
----------------- ------- ------ -------- ------
(Intercept)         -0.03   0.08    -0.35   0.72
d_Long               1.26   0.28     4.48   0.00
------------------------------------------------

    Hagamos la regresión de los tipos a corto plazo sobre los tipos a largo plazo (en niveles) 

    modelo <- lm(UK_df$Short ~ UK_df$Long) # ajuste MCO
summ( modelo )                         # resultados del ajuste

    MODEL INFO:
Observations: 75
Dependent Variable: UK_df$Short
Type: OLS linear regression 

MODEL FIT:
F(1,73) = 302.85, p = 0.00
R² = 0.81
Adj. R² = 0.80 

Standard errors: OLS
------------------------------------------------
                     Est.   S.E.   t val.      p
----------------- ------- ------ -------- ------
(Intercept)         -1.17   0.35    -3.34   0.00
UK_df$Long           1.00   0.06    17.40   0.00
------------------------------------------------

    El ajuste es muy bueno, y los parámetros muy significativos. Veamos si los residuos parecen la realización de un proceso estacionario (en la jerga habitual… "veamos si los residuos son estacionarios") 

    plot(as.ts(resid(modelo)))
abline(0,0)

    UK_Interest_ratesResiduals.png

    Aparentan ser "estacionarios en media" (i.e., no se aprecia una tendencia evidente); por lo que los tipos de interés a corto y largo plazo podrían estar cointegrados.

    Más adelante veremos test estadísticos (Dickey-Fuller y KPSS) que contrastan la estacionariedad (si son \(I(1)\) o \(I(0)\)).

    Author: Marcos Bujosa

    Created: 2024-10-21 lun 10:17

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