Lección 16. Variables indicadoras e interacciones: leer las diferencias entre grupos¶

Hoy la indicadora señala una característica de la unidad observada. Si $A$ es el suceso formado por los $\omega$ en los que la persona observada es mujer, ${\mathsf{1}\mkern-3.5mu\mathsf{l}}_{\text{mujer}}={\mathsf{1}\mkern-3.5mu\mathsf{l}}_A$ vale $1$ si es mujer y $0$ si es hombre, y entra como un regresor más del modelo de la lección 10: $$\log(\text{wage})=\beta_1\,\mathit 1+\beta_2\,{\mathsf{1}\mkern-3.5mu\mathsf{l}}_{\text{mujer}}+\beta_3\,\text{educ}+\cdots+U.$$ En la muestra es la columna $\boldsymbol d_{\text{mujer}}$, con un $1$ en las filas de las mujeres y un $0$ en las de los hombres. En los ficheros: female, chas.

Se llama también variable dicotómica, binaria, ficticia o dummy. Lo nuevo de hoy es la interpretación del parámetro que la acompaña, $\beta_2$.

Las dos indicadoras son ortogonales, $\langle\boldsymbol d_{\text{río}},\boldsymbol d_{\text{no río}}\rangle_s=0$, porque ningún barrio está en los dos grupos a la vez. Como en la familia ortogonal de la lección 10, cada coeficiente se calcula por separado con la fórmula de la proyección sobre un generador, $\langle\boldsymbol y,\boldsymbol d\rangle_s/\langle\boldsymbol d,\boldsymbol d\rangle_s$, que aquí es la media de su grupo: $$\boldsymbol{\mathop{\widehat y}}=28{,}44\,\boldsymbol d_{\text{río}}+22{,}09\,\boldsymbol d_{\text{no río}}=22{,}09\,\boldsymbol 1+6{,}35\,\boldsymbol d_{\text{río}}.$$

Con más regresores, medv sobre rm y chas: $$\widehat{\text{medv}}=\underset{(2{,}62)}{-34{,}11}+\underset{(0{,}42)}{8{,}97}\,\text{rm}+\underset{(1{,}15)}{4{,}08}\,\text{chas},\qquad t=3{,}55.$$ El coeficiente de chas ya no es una diferencia de medias, sino la diferencia de precio entre barrios con el mismo número medio de habitaciones por vivienda.

Lectura: entre un hombre y una mujer con la misma educación, experiencia y antigüedad, el salario de la mujer es $1{,}81$ dólares por hora menor, en promedio. De la diferencia bruta de $2{,}51$, los $0{,}70$ restantes corresponden a diferencias en esas tres variables (antigüedad media: $6{,}5$ años los hombres, $3{,}6$ las mujeres).

Aproximación (lección 15): con lo demás fijo, el salario de una mujer es menor en la fracción $0{,}30$, un $30$ %. Cálculo exacto: $e^{-0{,}301}-1=-0{,}260$, un $26$ % menor; para un cambio grande, la aproximación se aleja del valor exacto. Intervalo al 95 % para el coeficiente de female: $[-0{,}374,\,-0{,}228]$, del $-31$ % al $-20$ % en diferencia exacta.

La lectura depende de la categoría base: el salario de un hombre es un $35$ % mayor que el de una mujer con la misma educación, experiencia y antigüedad, porque $e^{0{,}301}-1=0{,}351$. El mismo coeficiente da dos porcentajes, porque cada uno se calcula sobre el salario de un grupo distinto.

Poner las tres columnas en $\boldsymbol{\mathsf X}$ es la colinealidad exacta de la lección 10: tres columnas que generan un subespacio de dimensión dos. Gretl avisa: «Omitidas debido a colinealidad exacta: =male=».

Tres escrituras del mismo modelo, lwage sobre el sexo (sin otros regresores):

Lectura: con la misma educación, experiencia y antigüedad, y respecto de lo que cobra un hombre soltero, un hombre casado cobra un $34$ % más, una mujer casada un $11$ % menos y una mujer soltera un $9$ % menos.

Comparar dos grupos que no son la categoría base: una mujer casada frente a una soltera. La diferencia es la resta de sus coeficientes, $-0{,}120-(-0{,}097)=-0{,}023$: la casada cobra un $2$ % menos. Su $\mathrm{ee}$ no está en la tabla. Se obtiene estimando de nuevo con las mujeres solteras como categoría base: $\mathrm{ee}=0{,}053$ y $t=-0{,}45$. Datos como estos no serían raros si casadas y solteras cobrasen lo mismo.

Lectura, con la misma educación y antigüedad: un año más de experiencia se acompaña de un salario un $0{,}84$ % mayor para los hombres y un $0{,}84+(-0{,}67)=0{,}17$ % para las mujeres. Con la misma experiencia, la diferencia de la mujer respecto del hombre es $-0{,}190-0{,}0067\,\text{exper}$ en logaritmos, y $e^{-0{,}190-0{,}0067\,\text{exper}}-1$ en porcentaje exacto. Con $t=-2{,}44$, datos como estos serían raros si las dos pendientes fuesen iguales.

Modelo común, $\mathrm{SRC}_r=101{,}46$; hombres ($n=274$), $49{,}55$; mujeres ($n=252$), $39{,}04$. Así, $F=\dfrac{(101{,}46-88{,}58)/4}{88{,}58/518}=18{,}8$, frente a $F_c=2{,}39$ al 5 %.

Lectura: datos como estos serían muy raros si hombres y mujeres compartiesen la ecuación. El contraste dice que algo difiere, no qué: con las ocho columnas ningún $t$ supera $2$, porque female y female*educ tienen correlación $0{,}96$ (lección 14).

El uso original: con datos ordenados en el tiempo, si la relación cambia a partir de una fecha (cambio estructural); los grupos son el antes y el después.

Lo que no dice. Una indicadora no tiene unidades: su coeficiente no es el efecto de ``una unidad más'', sino la diferencia entre dos grupos. Qué grupo vale $1$ lo decide quien codifica los datos; cambiarlo cambia el signo y la categoría base, no el ajuste. Una indicadora no se transforma logarítmicamente: su logaritmo no existe en $0$.

Geometría nueva: solo la ortogonalidad de dos indicadoras complementarias. Nada enunciado sin demostrar. Lección 17: residuos de wage sobre female, educ, exper y tenure: desviación típica $3{,}42$ en los hombres y $2{,}32$ en las mujeres; con lwage, $0{,}43$ y $0{,}40$. Varianza de la perturbación distinta por grupo: heterocedasticidad.