Lección 16. Variables indicadoras e interacciones: leer las diferencias entre grupos¶

Hoy el suceso es pertenecer a un grupo: ser mujer, que el barrio limite con el río Charles. Su indicadora es un regresor más del modelo de la lección 10: $$\log(\text{wage})=\beta_1\,\mathit 1+\beta_2\,{\mathsf{1}\mkern-3.5mu\mathsf{l}}_{\text{mujer}}+\beta_3\,\text{educ}+\cdots+U.$$ En la muestra, la columna $\boldsymbol d_{\text{mujer}}$ de ceros y unos, como $\boldsymbol x_j$ es la columna de los $n$ valores de $X_j$. En los ficheros: female, chas.

Se llama también variable dicotómica, binaria, ficticia o dummy. Mínimos cuadrados no la distingue de otra columna; lo que cambia es la lectura de $\beta_2$.

Las dos indicadoras son ortogonales, $\langle\boldsymbol d_{\text{río}},\boldsymbol d_{\text{no río}}\rangle_s=0$, porque ningún barrio está en los dos grupos. Como en la familia ortogonal de la lección 10, cada coeficiente se calcula por separado con la fórmula de la proyección sobre un generador, $\langle\boldsymbol y,\boldsymbol d\rangle_s/\langle\boldsymbol d,\boldsymbol d\rangle_s$, que aquí es la media de su grupo: $$\boldsymbol{\mathop{\widehat y}}=28{,}44\,\boldsymbol d_{\text{río}}+22{,}09\,\boldsymbol d_{\text{no río}}=22{,}09\,\boldsymbol 1+6{,}35\,\boldsymbol d_{\text{río}}.$$

Con más regresores, medv sobre rm y chas: el coeficiente de chas pasa a $4{,}08$ ($\mathrm{ee}$ $1{,}15$). Ya no es una diferencia de medias, sino la diferencia entre barrios con el mismo número de habitaciones.

Lectura: entre un hombre y una mujer con la misma educación, experiencia y antigüedad, el salario de la mujer es $1{,}81$ dólares por hora menor, en promedio. De la diferencia bruta de $2{,}51$, los $0{,}70$ restantes corresponden a diferencias en esas tres variables (antigüedad media: $6{,}5$ años los hombres, $3{,}6$ las mujeres).

Aproximación (lección 15): con lo demás fijo, el salario de una mujer es menor en la fracción $0{,}30$, un $30$ %. Cálculo exacto: $e^{-0{,}301}-1=-0{,}260$, un $26$ % menor; para un cambio grande, la aproximación se queda lejos. Intervalo al 95 %: $\beta_{\text{female}}\in[-0{,}374,\,-0{,}228]$, del $-31$ % al $-20$ % en diferencia exacta.

La lectura depende de la base: un hombre respecto de una mujer comparable cobra más en $e^{0{,}301}-1=0{,}351$, un $35$ %. El mismo coeficiente, dos porcentajes, porque las bases son distintas.

Poner las tres columnas en $\boldsymbol{\mathsf X}$ es la colinealidad exacta de la lección 10: tres columnas que generan un subespacio de dimensión dos. Gretl avisa: «Omitidas debido a colinealidad exacta: =male=».

Tres escrituras del mismo modelo, lwage sobre el sexo (sin otros regresores):

Lectura: con lo demás fijo, un hombre casado cobra un $34$ % más que un hombre soltero; una mujer casada, un $11$ % menos; una mujer soltera, un $9$ % menos.

Comparar dos grupos que no son la base: mujeres casadas frente a solteras, $-0{,}120-(-0{,}097)=-0{,}024$. Su $\mathrm{ee}$ se obtiene cambiando la base a mujeres solteras: $-0{,}024$ con $\mathrm{ee}$ $0{,}053$ y $t=-0{,}45$. Datos como estos no serían raros si las dos cobrasen lo mismo.

Lectura: un año más de experiencia se acompaña de un salario mayor en un $0{,}84$ % para los hombres y en un $0{,}17$ % para las mujeres. La diferencia entre sexos, en logaritmos, es $-0{,}19$ sin experiencia y crece $0{,}0067$ por año: $-0{,}26$ a los diez años y $-0{,}32$ a los veinte (del $17$ % al $23$ % y al $28$ % en diferencia exacta). Con $t=-2{,}44$, datos como estos serían raros si las dos pendientes fuesen iguales.

lwage sobre educ, exper y tenure: modelo común, $\mathrm{SRC}_r=101{,}46$; hombres ($n=274$), $49{,}55$; mujeres ($n=252$), $39{,}04$. Así, $F=\dfrac{(101{,}46-88{,}58)/4}{88{,}58/518}=18{,}8$, frente a $F_c=2{,}39$ al 5 %.

Lectura: por dimensión, el cateto que ganan las cuatro columnas nuevas es $18{,}8$ veces más largo al cuadrado que el residuo; con una ecuación común rondaría $1$. Datos como estos serían muy raros si hombres y mujeres compartiesen la ecuación. El contraste dice que algo difiere, no qué: en el modelo con las ocho columnas ningún $t$ supera $2$, porque la indicadora y sus interacciones están casi alineadas (lección 14).

Casos particulares: con $q=1$, solo el intercepto, el $F$ es el $t$ de female al cuadrado, $8{,}09^2=65{,}4$. Con --limit-to=lista solo se interaccionan los regresores de la lista. Para dejar libre el intercepto y contrastar solo las pendientes, restrict sobre las tres interacciones: $F(3,518)=3{,}05$, valor $p$ $0{,}029$.

El uso original: datos ordenados en el tiempo y la pregunta de si la relación cambia a partir de una fecha, un cambio estructural; los dos grupos son el antes y el después (chow 1982 con una serie anual).

Lo que no dice. No hay ``una unidad más'' de una indicadora: es un salto entre grupos. Cuál de los dos grupos vale $1$ es una decisión de quien codifica: cambiarla cambia el signo y la base, no el ajuste. Una indicadora nunca se transforma: $\log 0$ no existe (lección 15).

Geometría nueva: solo la ortogonalidad de dos indicadoras complementarias. Nada enunciado sin demostrar. Lección 17: los residuos de wage tienen desviación típica $3{,}42$ entre los hombres y $2{,}32$ entre las mujeres; con lwage, $0{,}43$ y $0{,}40$. Una varianza que cambia con el grupo es heterocedasticidad.