Lección 2. El lenguaje geométrico del curso (parte I)

En la lección anterior quedó establecido que los datos económicos con los que vamos a trabajar pueden representarse como listas ordenadas de \(n\) números reales, es decir, como vectores de \(\mathbb{R}^n\). Toda la econometría del curso consistirá en hacer operaciones con estos vectores y en interpretar geométricamente esas operaciones. Por eso, antes de seguir, necesitamos asentar el lenguaje en el que vamos a trabajar.

La lección de hoy es enteramente matemática. No veremos econometría, no veremos datos, no veremos regresión. Veremos vectores como listas de números y las operaciones que se hacen con ellos componente a componente. La recompensa de esta inversión inicial llegará pronto: a partir de la lección 4, las fórmulas de la estadística y de la regresión empezarán a aparecer como consecuencias naturales — casi inevitables — de la geometría que hoy introducimos.

Una advertencia sobre el método. A lo largo del curso recurriré con frecuencia a dibujos. Los dibujos serán esquemáticos y necesariamente en \(\mathbb{R}^2\) o \(\mathbb{R}^3\), porque son los únicos espacios que podemos representar fielmente sobre un papel. Pero todo lo que hagamos con ellos seguirá siendo válido en \(\mathbb{R}^n\) para cualquier \(n\), simplemente porque las definiciones y fórmulas en \(\mathbb{R}^n\) son las mismas que en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\). El dibujo es una ayuda para fijar la intuición; el cálculo es lo que sostiene el rigor.

Un vector de \(\mathbb{R}^n\) es una lista ordenada de \(n\) números reales. Lo escribiremos en negrita: \[ \boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n), \] donde cada \(x_i\) es un número real llamado componente i-ésima del vector. Dos vectores son iguales si y solo si tienen la misma dimensión y coinciden componente a componente.

Geométricamente, podemos pensar en \(\boldsymbol{x}\) como un punto del espacio \(\mathbb{R}^n\) cuyas coordenadas son precisamente \(x_1, \dots, x_n\). En los dibujos lo señalaremos mediante una flecha que parte del origen de coordenadas y termina en ese punto. La flecha es una convención visual para identificar el punto, no una entidad con ``módulo'' y ``dirección'' preexistentes: el vector es la lista de números; la flecha es solo el modo cómodo de señalar el punto en su representación gráfica.

Esta visión es importante mantenerla. Quizá le hayan contado en bachillerato que un vector es un ``segmento orientado con módulo, dirección y sentido''. Para nuestros propósitos, esa imagen es poco útil y a veces engañosa. Trabajaremos con vectores como listas de números sobre las que se hacen operaciones componente a componente, y la geometría aparecerá como una manera de visualizar esas operaciones, no como la definición de lo que el vector es.

El vector \(\boldsymbol{y} = (1, 4, 2, 5, 7) \in \mathbb{R}^5\) es la lista \((1, 4, 2, 5, 7)\). No podemos dibujar \(\boldsymbol{y}\) porque no tenemos cómo representar visualmente \(\mathbb{R}^5\) (con sus cinco ejes perpendiculares de coordenadas), pero podemos operar con él igual que con \(\boldsymbol{x}\).

Para profundizar:

• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5ª ed.), sección 1.1. Lectura amable.
• Vídeo: Vectors, what even are they? de 3Blue1Brown (capítulo 1 de Essence of Linear Algebra). Diez minutos.
• Bujosa, M. Curso de Álgebra Lineal: lista de reproducción. Vídeos introductorios sobre vectores y operaciones.

Sobre los vectores de \(\mathbb{R}^n\) se definen dos operaciones básicas, ambas componente a componente. Son las únicas operaciones algebraicas que vamos a necesitar de momento.

Usaremos la notación \(\mathcal{L}(\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k)\) para designar el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores \(\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k\): \[ \mathcal{L}(\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k) = \{\alpha_1\boldsymbol{v}_1 + \cdots + \alpha_k\boldsymbol{v}_k : \alpha_1, \dots, \alpha_k \in \mathbb{R}\}. \] En general, este conjunto es infinito (hay infinitas elecciones posibles de los escalares). Por ejemplo, \(\mathcal{L}(\boldsymbol{v})\), el conjunto de todos los múltiplos de un único vector \(\boldsymbol{v}\), es geométricamente una recta en \(\mathbb{R}^n\) que pasa por el origen. En la lección 4 veremos que la media aritmética se obtiene proyectando sobre \(\mathcal{L}(\boldsymbol{1})\), la recta de los vectores constantes.

Para profundizar:

• Strang, G. (2016), sección 1.1.
• Vídeo: Linear combinations, span, and basis vectors de 3Blue1Brown (capítulo 2). 12 minutos.
• Bujosa, M. Curso de Álgebra Lineal: vídeos sobre operaciones con vectores y combinaciones lineales en la lista de reproducción.

Las operaciones que acabamos de ver — suma y producto por escalar — permiten combinar vectores, pero no nos dicen nada sobre las relaciones geométricas entre ellos: cuánto miden, qué ángulo forman, si son perpendiculares. Para abordar estas cuestiones necesitamos una operación nueva, el producto escalar.

El producto escalar usual¹, \({\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle}_e\), de dos vectores \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n\) (también llamado producto punto, producto interior estándar o, en inglés, dot product) es el número real que se obtiene multiplicando sus componentes correspondientes y sumando todos los productos: \[ {\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle}_e = \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n = \sum_{i=1}^n x_i y_i. \] Atención a un punto importante de notación: aunque el símbolo ``\(\cdot\)'' se parece al de la multiplicación de números, el producto escalar de dos vectores es un número real, no un vector. Toma como entrada dos listas de números y devuelve un único número. Por eso se llama ``escalar'' (de escala, número): el resultado vive en \(\mathbb{R}\), no en \(\mathbb{R}^n\). Un último aviso sobre el punto: lo nombro aquí, y solo aquí, porque es la notación que encontrará en la mayoría de los textos; pero la notación de trabajo de este curso será siempre \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) con su subíndice. El motivo es que el subíndice recuerda con qué convenio estamos midiendo, y esa será la clave de todo el curso: la misma estructura geométrica reaparecerá en el espacio euclídeo usual (subíndice \(e\)), al operar como en estadística dividiendo por \(n\) (subíndice \(s\)) y, más adelante (lección 9), al trabajar con variables aleatorias.

Definición a partir del producto escalar.²

La norma (o longitud) de un vector \(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n\) se define como la raíz cuadrada del producto escalar de \(\boldsymbol{x}\) consigo mismo: \[ \|\boldsymbol{x}\| = \sqrt{\langle\boldsymbol{x},\, \boldsymbol{x}\rangle}. \] La raíz cuadrada está bien definida porque, por la propiedad de positividad, \(\langle\boldsymbol{x},\, \boldsymbol{x}\rangle \geq 0\).

En el caso particular del producto escalar usual tenemos: \[ \|\boldsymbol{x}\|_e = \sqrt{{\langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{x}\rangle}_e} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}. \]

¿Por qué llamamos a esto ``longitud''? La razón es el teorema de Pitágoras, que usted conoce tanto para \(\mathbb{R}^2\) como para \(\mathbb{R}^3\).

En \(\mathbb{R}^2\)

un vector \(\boldsymbol{x} = (x_1, x_2)\) corresponde al punto del plano cuyas coordenadas son \((x_1, x_2)\). Sus componentes son los catetos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa va del origen a ese punto. Por Pitágoras: \[ \|\boldsymbol{x}\|_e^2 = x_1^2 + x_2^2 \quad\Longrightarrow\quad \|\boldsymbol{x}\|_e = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} = \sqrt{{\langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{x}\rangle}_e}. \]

En \(\mathbb{R}^3\)

el vector \(\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, y_3)\) se proyecta primero sobre el plano horizontal: esa proyección tiene longitud \(\sqrt{y_1^2 + y_2^2}\). La proyección de \(\boldsymbol{y}\) en el plano horizontal y la componente vertical \(y_3\) forman un nuevo triángulo rectángulo cuya hipotenusa es \(\boldsymbol{y}\). Aplicando Pitágoras dos veces: \[ \|\boldsymbol{y}\|_e^2 = \Big(\sqrt{y_1^2 + y_2^2}\Big)^2 + y_3^2 = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 \quad\Longrightarrow\quad \|\boldsymbol{y}\|_e = \sqrt{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2} = \sqrt{{\langle\boldsymbol{y},\,\boldsymbol{y}\rangle}_e}. \]

En \(\mathbb{R}^n\)

para \(n > 3\) no podemos dibujar, pero extendemos la definición por analogía: la misma expresión \(\sqrt{{\langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{x}\rangle}_e}=\sqrt{\sum x_i^2}\) vale en cualquier dimensión. Esta extensión no es arbitraria: es la única que preserva las propiedades de la longitud en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\) (positividad, escalado, desigualdad triangular).

Una nota sobre el rigor matemático seguido en esta segunda lección. En la lección 3, una vez introducida la ortogonalidad, demostraremos el teorema de Pitágoras en \(\mathbb{R}^n\) sin necesidad de ningún dibujo. Aquí lo usamos como andamio intuitivo —dado por conocido en bajas dimensiones—; allí lo probaremos con plena generalidad.

A partir de las propiedades del producto escalar se deducen las propiedades fundamentales de la norma:

1. No negatividad: \(\|\boldsymbol{x}\| \geq 0\), con igualdad si y solo si \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\).
2. Homogeneidad: \(\|\alpha \boldsymbol{x}\| = |\alpha| \cdot \|\boldsymbol{x}\|\) para todo \(\alpha \in \mathbb{R}\). Multiplicar un vector por un escalar multiplica su longitud por el valor absoluto del escalar.
3. Desigualdad triangular: \(\|\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}\| \leq \|\boldsymbol{x}\| + \|\boldsymbol{y}\|\). La longitud de la suma no supera la suma de las longitudes. La demostraremos cuando dispongamos de la desigualdad de Cauchy–Schwarz, en la lección 3.

Ejemplo numérico

Para el vector \(\boldsymbol{x} = (1, -2, 2, 4)\) y el producto escalar usual: \[ \|\boldsymbol{x}\|_e = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 4 + 16} = \sqrt{25} = 5. \] La longitud de este vector de \(\mathbb{R}^4\) es exactamente \(5\). No podemos visualizarla, pero podemos calcularla con la misma soltura que en \(\mathbb{R}^2\).

Para profundizar:

• Strang, G. (2016), sección 1.2.
• Bujosa, M. Curso de Álgebra Lineal, capítulo 11, sección ``Longitud de un vector en \(\mathbb{R}^2\) y en \(\mathbb{R}^3\)'': libro online.

Conviene, ya en esta lección, plantar una idea que reaparecerá más adelante: la longitud que acabamos de definir no es la única forma sensata de medir un vector.

Para entenderlo, piense por un momento en cómo medimos distancias en la vida real. Entre dos puntos de una ciudad podemos hablar de:

• la distancia en línea recta, que un pájaro recorrería volando;
• la distancia por carretera, sumando los tramos de la ruta más corta;
• el tiempo necesario para ir andando, en coche o en transporte público;
• el coste económico del trayecto.

Todas son maneras legítimas de medir ``cuán separados'' están dos puntos, y cada una es apropiada para un propósito distinto. En \(\mathbb{R}^n\) ocurre algo análogo: existen varias normas, todas con las mismas propiedades formales (no negatividad, homogeneidad, desigualdad triangular), y la elección depende de lo que se quiera enfatizar.

La norma que hemos definido — la norma euclídea, derivada del producto escalar usual — es la elección por defecto. Pero en estadística aparece de manera natural otra forma de medir, que difiere de la euclídea por un factor de \(1/n\): \[ \|\boldsymbol{x}\|_s= \sqrt{{\langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{x}\rangle}_s} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2}. \] La motivación es importante. Si tomamos el vector constante \(\boldsymbol{1} = (1, 1, \dots, 1) \in \mathbb{R}^n\), su norma euclídea es \(\sqrt{n}\), que depende del tamaño de la muestra. Esto es un inconveniente en estadística, donde queremos que magnitudes como la media o la varianza tengan un valor independiente de cuántas observaciones tengamos. Con la norma ``estadística'' anterior, el vector \(\boldsymbol{1}\) tiene siempre norma \(1\), sea cual sea \(n\).

No vamos a usar esta segunda norma de manera sistemática hasta la lección 4, cuando hagamos el puente entre la geometría y los conceptos estadísticos (media, varianza, covarianza). Pero conviene saber, desde ahora, que la dualidad existe. Explica, por ejemplo, una rareza que algún día le llamará la atención: en los textos de econometría, el coeficiente \(R^2\) se escribe a veces como un cociente de sumas de cuadrados (\(\mathrm{SEC}/\mathrm{STC}\)) y otras veces como un cociente de varianzas. La equivalencia entre ambas formulaciones se debe precisamente a que las dos normas (la euclídea y la estadística) difieren solo en un factor multiplicativo que se cancela al hacer el cociente.

Quédese con la idea de fondo: medir no es algo único; es una elección que se hace en función del problema. La euclídea es la opción natural en geometría; la estadística, con su factor \(1/n\), es la opción natural cuando los componentes del vector son observaciones que queremos resumir en promedio.

Para profundizar:

• Strang, G. (2016), sección 1.2, ejercicios sobre normas alternativas.
• Sobre normas en general, una introducción accesible: artículo de Wikipedia (en inglés; el equivalente en castellano es menos completo).

Lo que conviene retener de esta lección es modesto pero esencial:

1. Un vector de \(\mathbb{R}^n\) es una lista ordenada de \(n\) números reales. Lo escribimos en negrita y lo identificamos geométricamente con el punto del espacio cuyas coordenadas son los números de la lista.
2. Sobre vectores se opera componente a componente: la suma y el producto por escalar se definen sumando o multiplicando componente a componente. Una combinación lineal es la mezcla de ambas operaciones.
3. El producto escalar de dos vectores es el número que resulta de multiplicar componente a componente y luego sumar dichos productos. Es simétrico, lineal en cada argumento y no negativo cuando se aplica a un vector consigo mismo.
4. La norma euclídea de un vector es la raíz cuadrada del producto escalar del vector consigo mismo. Coincide en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\) con la longitud que da el teorema de Pitágoras —dado aquí por conocido— y la extiende, por la misma fórmula, a \(\mathbb{R}^n\). En la lección 3 demostraremos ese teorema en \(\mathbb{R}^n\) con rigor.
5. Existen otras normas además de la euclídea. En estadística usaremos una norma con un factor \(1/n\) que hace que el vector constante \(\boldsymbol{1}\) tenga siempre norma \(1\). Las dos normas son equivalentes para los cocientes (como el \(R^2\)), pero difieren en la magnitud de los valores.

En la próxima lección añadiremos a este aparato dos conceptos nuevos — el ángulo entre vectores y la ortogonalidad — y demostraremos el teorema de Pitágoras en \(\mathbb{R}^n\). Con ellos quedará completo el lenguaje geométrico que necesitamos para empezar a hablar de regresión.

Las preguntas más valiosas pedagógicamente son la 6 (fuerza a recordar que el producto escalar no es un vector), la 8 (norma del vector \(\boldsymbol{1}\), que prepara la lección 4), la 11 (justificación de la doble norma) y la 12 (combinación lineal, que se usará constantemente a partir de la lección 6). Conviene repasarlas con cuidado, especialmente la 11, que conecta la matemática con la motivación estadística que veremos más adelante.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor un vector de \(\mathbb{R}^n\) tal como lo usamos en este curso?

1. Un segmento orientado con módulo, dirección y sentido.
2. Una lista ordenada de \(n\) números reales.
3. Una matriz cuadrada de orden \(n\).
4. Una función definida en \(\{1, 2, \dots, n\}\) con valores complejos.

Sean \(\boldsymbol{x} = (2, -1, 3)\) y \(\boldsymbol{y} = (0, 4, -2)\). La suma \(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}\) es:

1. \((2, 3, 1)\).
2. \((0, -4, -6)\).
3. \((2, -5, 5)\).
4. \(-2\).

Si \(\boldsymbol{x} = (1, -2, 4)\) y \(\alpha = -3\), entonces \(\alpha \boldsymbol{x}\) es:

1. \((-3, 6, -12)\).
2. \((-3, -6, -12)\).
3. \((3, -6, 12)\).
4. \(-3\).

¿Cuál de las siguientes operaciones no está definida?

1. Sumar dos vectores de \(\mathbb{R}^5\).
2. Multiplicar un vector de \(\mathbb{R}^7\) por el escalar \(\sqrt{2}\).
3. Sumar un vector de \(\mathbb{R}^3\) con uno de \(\mathbb{R}^4\).
4. Calcular el producto escalar de dos vectores de \(\mathbb{R}^{100}\).

Sean \(\boldsymbol{x} = (1, 2, 3)\) e \(\boldsymbol{y} = (4, 0, -1)\). Su producto escalar usual es:

1. \(7\).
2. \(1\).
3. \(0\).
4. \(-4\).

El producto escalar de dos vectores de \(\mathbb{R}^n\) es:

1. Un vector de \(\mathbb{R}^n\).
2. Un vector de \(\mathbb{R}^{2n}\).
3. Un número real.
4. Una matriz \(n \times n\).

La norma euclídea del vector \(\boldsymbol{x} = (3, 4)\) es:

1. \(7\).
2. \(5\).
3. \(25\).
4. \(\sqrt{7}\).

Sea \(\boldsymbol{1} = (1, 1, \dots, 1) \in \mathbb{R}^n\). Su norma euclídea es:

1. \(1\) siempre, independientemente de \(n\).
2. \(n\).
3. \(\sqrt{n}\).
4. \(n^2\).

Si \(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n\) y \(\|\boldsymbol{x}\| = 5\), ¿cuánto vale \(\|-2 \boldsymbol{x}\|\)?

1. \(-10\).
2. \(10\).
3. \(25\).
4. Depende de la dimensión \(n\).

¿Cuál de las siguientes igualdades es siempre cierta para \(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n\)?

1. \(\|\boldsymbol{x}\| = \langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{x}\rangle\).
2. \(\|\boldsymbol{x}\|^2 = \langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{x}\rangle\).
3. \(\|\boldsymbol{x}\| = \sum x_i\).
4. \(\|\boldsymbol{x}\|^2 = \sum |x_i|\).

Para el vector constante \(\boldsymbol{1} = (1, 1, \dots, 1) \in \mathbb{R}^n\), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

1. Su norma euclídea vale \(1\) y su norma estadística depende de \(n\).
2. Su norma euclídea vale \(\sqrt{n}\) y su norma estadística vale \(1\), independientemente de \(n\).
3. Ambas normas valen \(n\).
4. Ambas normas valen \(1\).

Sean \(\boldsymbol{v}_1 = (1, 0, 2)\) y \(\boldsymbol{v}_2 = (0, 1, -1)\). El vector \(\boldsymbol{w} = 3 \boldsymbol{v}_1 - 2 \boldsymbol{v}_2\) es:

1. \((3, -2, 4)\).
2. \((3, -2, 8)\).
3. \((1, -1, 1)\).
4. \((3, 2, 4)\).