Lección 2. El lenguaje geométrico del curso (parte I)¶
Author: Marcos Bujosa
Qué haremos en la lección de hoy y por qué¶
- Lección enteramente matemática: ni datos, ni regresión, ni econometría.
- Objetivo: fijar el lenguaje en el que se formulará todo el curso.
- Tres ideas a fijar:
- Vector $=$ lista ordenada de números reales.
- Operaciones componente a componente.
- Producto escalar $\to$ norma $\to$ ``longitud'' del vector.
- Los dibujos serán esquemáticos, en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$; los cálculos valen en $\mathbb{R}^n$ para cualquier $n$.
Vectores como listas de números¶
Un vector de $\mathbb{R}^n$ es una lista ordenada de $n$ números reales: $$ \boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n). $$
- Cada $x_i$ es su i-ésima componente.
- Dos vectores son iguales si y solo si sus listas son idénticas.
- En los dibujos: flecha desde el origen al punto de coordenadas $(x_1, \dots, x_n)$.
Recuerde: El vector es la lista de números. La flecha es solo un modo de representar el vector como un punto en el espacio.
Suma y producto por escalar¶
Para $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$ y $\alpha \in \mathbb{R}$:
$$ \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} = (x_1 + y_1,\ \dots,\ x_n + y_n), \qquad \alpha \boldsymbol{x} = (\alpha x_1,\ \dots,\ \alpha x_n). $$- Solo se suman vectores con la misma cantidad de componentes.
- Propiedades: conmutativa, asociativa, neutro $\boldsymbol{0}$, opuesto $-\boldsymbol{x}$.
- Visualización en $\mathbb{R}^2$:
- suma $\to$ regla del paralelogramo (truco visual);
- producto por escalar $\to$ alargar/acortar/invertir la flecha.
Combinación lineal¶
Para vectores $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k \in \mathbb{R}^n$ y escalares $\alpha_1, \dots, \alpha_k \in \mathbb{R}$:
$$ \alpha_1 \boldsymbol{v}_1 + \alpha_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + \alpha_k \boldsymbol{v}_k. $$- Es el objeto central del curso.
- Avance: el ajuste por regresión será una combinación lineal de los regresores; los $\alpha_j$ serán los coeficientes estimados por MCO (mínimos cuadrados ordinarios).
Usaremos $\mathcal{L}(\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k)$ para denotar el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales que se pueden formar con los $k$ vectores $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k$. En general, dicho conjunto es infinito.
Producto escalar: $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle$¶
Para $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$ (espacio euclídeo) el producto escalar usual es: $$ {\langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{y}\rangle}_e \; = \; \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y} \; = \; \sum_{i=1}^n x_i y_i. $$
- Entrada: dos vectores, $\boldsymbol{x}$ e $\boldsymbol{y}.\quad$ Salida: un número real.
- Propiedades:
- Simetría: $\langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{y}\rangle = \langle\boldsymbol{y},\,\boldsymbol{x}\rangle$.
- Linealidad en cada argumento.
- Definido positivo: $\langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{x}\rangle \geq 0$, con igualdad solo si $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$.
Ejemplo: $\boldsymbol{x} = (3, -1, 2),\; \boldsymbol{y} = (1, 2, \frac{1}{2})$ $\implies$ $\langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{y}\rangle_e = 2$.
Norma de un vector: $\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle}$¶
$ \|\boldsymbol{x}\|_e = \sqrt{{\langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{x}\rangle}_e} = \sqrt{\sum x_i^2}.\quad $
En $\mathbb{R}^3$: Pitágoras dos veces (plano + altura) $\;\Rightarrow\;$ $\|\boldsymbol{y}\|_e^2 = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$.
En $\mathbb{R}^n$: la misma expresión, por analogía. Ejemplo: $\|(1, -2, 2, 4)\|_e = \sqrt{25} = 5$.
Hay más de una forma de medir¶
¿Cómo medir la distancia entre dos ciudades? $\to$ ¿km en línea recta? ¿km carretera? ¿duración del viaje? ¿coste?…
En matemáticas:
- Productos escalares distintos dan medidas diferentes, pues: $\quad\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle}$
En estadística: ${\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle}_s=\frac{1}{n}{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle}_e$:
- Norma euclídea: $\|\boldsymbol{x}\|_e = \sqrt{{\langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{x}\rangle}_e} = \sqrt{\sum x_i^2}\;$ (la norma más habitual).
- Norma ``estadística'': $\|\boldsymbol{x}\|_{s} = \sqrt{{\langle\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{x}\rangle}_s} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum x_i^2}$.
¿Por qué dos normas? Llamaremos $\boldsymbol{1} = (1, 1, \dots, 1) \in \mathbb{R}^n$ al vector cuyas $n$ componentes son todas iguales a $1$. Con la norma euclídea, $\|\boldsymbol{1}\|_e = \sqrt{n}$, depende de $n$. En estadística querremos que $\|\boldsymbol{1}\|_{s} = 1$ siempre.
- Volveremos sobre esto en la lección 4.
Recapitulación¶
Conceptos de espacio vectorial
| Idea | Fórmula matemática / expresión algebraica |
|---|---|
| Vector | $\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ |
| Suma | $(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})_i=x_i+y_i$ |
| Producto por escalar | $(\alpha\boldsymbol{x})_i=\alpha{x_i}$ |
Conceptos de espacio euclídeo
| Idea | Fórmula matemática / expresión algebraica |
|---|---|
| Producto escalar usual | ${\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle}_e = \sum{x_i}{y_i}$ |
| Producto escalar en estadística | ${\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle}_s = \frac{1}{n}{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle}_e=\frac{1}{n}\sum{x_i}{y_i}$ |
| Norma euclídea | $\Vert\boldsymbol{x}\Vert_e=\sqrt{{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle}_e}$ |
| Norma en estadística | $\Vert\boldsymbol{x}\Vert_s=\sqrt{{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle}_s}$ |
Próxima lección: ángulo entre vectores, ortogonalidad y —con demostración— el teorema de Pitágoras en $\mathbb{R}^n$. Con esto quedará completo el lenguaje geométrico del curso.