Sesión 18 (B) — El ejemplo de la lección 12, en Gretl: regresor concentrado frente a regresor disperso
Índice
Descripción de la práctica
La lección 12 ilustró el intervalo de confianza con una figura de dos paneles: dos ajustes con la misma muestra de doce perturbaciones, los mismos parámetros verdaderos y el mismo residuo, en los que lo único distinto era cuánto se separaban los valores del regresor. En uno el intervalo era \([0{,}08;\,0{,}90]\); en el otro, \([0{,}46;\,0{,}54]\).
Esta práctica rehace esa figura en Gretl, con sus 24 puntos exactos. No es un ejemplo nuevo: es el de la lección, para que pueda reproducir cada número que allí se dio por bueno y ver de dónde sale.
Los datos son simulados con parámetros conocidos: \(\beta_1=10\), \(\beta_2=0{,}5\), y doce perturbaciones normales de desviación típica en torno a \(1{,}1\). Conocer la verdad es lo que permite, en la Actividad 3, contrastar una hipótesis que sabemos cierta —cosa imposible con datos reales— y preparar así la práctica C.
Objetivos
- Reproducir los dos ajustes de la figura de la lección 12 y sus dos intervalos de confianza.
- Verificar que \(\mathrm{ee}(\hat\beta_2)=\mathfrak s/\|\boldsymbol x-\boldsymbol{\mathop{\overline x}}\|_e\) y que, con el mismo residuo, toda la diferencia de precisión está en la longitud del regresor.
- Contrastar \(H_0\!:\beta_2=0{,}5\) —que es cierta— en los dos ajustes.
- Ver qué columnas de la tabla cambian, y cuáles no, al cambiar las unidades del regresor.
Actividad 1 - Regresor concentrado
Los doce valores del regresor van de \(47{,}25\) a \(52{,}75\) en pasos de \(0{,}5\); los del regresando son los del panel izquierdo de la figura.
en línea de comandos:
nulldata 12
setobs 1 1 --cross-section
series x_c = 47.25 + 0.5*(index - 1)
series y_c = {35.045, 33.025, 34.435, 32.415, 35.365, 35.975, \
34.655, 34.055, 36.505, 35.925, 35.495, 37.105}'
ols y_c const x_c scalar tc = critical(t, $df, 0.025) printf "\n||x - xbar|| = %.4f s = %.4f ee = s/||x - xbar|| = %.4f (Gretl: %.4f)\n", sqrt(sum((x_c-mean(x_c))^2)), $sigma, $sigma/sqrt(sum((x_c-mean(x_c))^2)), $stderr(x_c) printf "t = %.2f (t_c al 5%% = %.3f)\n", $coeff(x_c)/$stderr(x_c), tc printf "IC 95%%: [%.2f ; %.2f]\n", $coeff(x_c) - tc*$stderr(x_c), $coeff(x_c) + tc*$stderr(x_c)
Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1-12
Variable dependiente: y_c
coeficiente Desv. típica Estadístico t valor p
---------------------------------------------------------------
const 10,3427 9,20510 1,124 0,2874
x_c 0,493147 0,183992 2,680 0,0231 **
Media de la vble. dep. 35,00000 D.T. de la vble. dep. 1,374994
Suma de cuad. residuos 12,10252 D.T. de la regresión 1,100115
R-cuadrado 0,418056 R-cuadrado corregido 0,359861
F(1, 10) 7,183775 Valor p (de F) 0,023083
Log-verosimilitud -17,07831 Criterio de Akaike 38,15661
Criterio de Schwarz 39,12642 Crit. de Hannan-Quinn 37,79755
||x - xbar|| = 5,9791 s = 1,1001 ee = s/||x - xbar|| = 0,1840 (Gretl: 0,1840)
t = 2,68 (t_c al 5% = 2,228)
IC 95%: [0,08 ; 0,90]
Lo que debe observar
Son los números del panel izquierdo de la lección: \(\hat\beta_2=0{,}4931\), error estándar \(0{,}184\), \(\vert t\vert=2{,}68\) e intervalo \([0{,}08;\,0{,}90]\). El coeficiente es significativo al \(5\%\) —el cero queda fuera— y el intervalo es tan ancho que no dice casi nada sobre cuánto vale la pendiente. Fíjese también en el error estándar reconstruido: \(\mathfrak s\) dividido por una longitud de solo \(5{,}98\).
Actividad 2 - Regresor disperso
Ahora los valores del regresor van de \(22{,}5\) a \(77{,}5\) en pasos de \(5\) —diez veces más separados, alrededor del mismo centro—, y el regresando es el del panel derecho.
en línea de comandos:
series x_d = 22.5 + 5*(index - 1)
series y_d = {22.670, 22.900, 26.560, 26.790, 31.990, 34.850, \
35.780, 37.430, 42.130, 43.800, 45.620, 49.480}'
ols y_d const x_d printf "\n||x - xbar|| = %.4f s = %.4f ee = s/||x - xbar|| = %.4f (Gretl: %.4f)\n", sqrt(sum((x_d-mean(x_d))^2)), $sigma, $sigma/sqrt(sum((x_d-mean(x_d))^2)), $stderr(x_d) printf "t = %.2f (t_c al 5%% = %.3f)\n", $coeff(x_d)/$stderr(x_d), tc printf "IC 95%%: [%.2f ; %.2f]\n", $coeff(x_d) - tc*$stderr(x_d), $coeff(x_d) + tc*$stderr(x_d)
series u_c = y_c - 10 - 0.5*x_c # perturbacion del panel concentrado series u_d = y_d - 10 - 0.5*x_d # perturbacion del panel disperso printf "\nmayor diferencia entre las dos series de perturbaciones: %.6f\n", max(abs(u_c - u_d))
Modelo 2: MCO, usando las observaciones 1-12
Variable dependiente: y_d
coeficiente Desv. típica Estadístico t valor p
----------------------------------------------------------------
const 10,0343 0,973234 10,31 1,20e-06 ***
x_d 0,499315 0,0183992 27,14 1,07e-10 ***
Media de la vble. dep. 35,00000 D.T. de la vble. dep. 9,062431
Suma de cuad. residuos 12,10252 D.T. de la regresión 1,100115
R-cuadrado 0,986603 R-cuadrado corregido 0,985264
F(1, 10) 736,4595 Valor p (de F) 1,07e-10
Log-verosimilitud -17,07831 Criterio de Akaike 38,15661
Criterio de Schwarz 39,12642 Crit. de Hannan-Quinn 37,79755
||x - xbar|| = 59,7913 s = 1,1001 ee = s/||x - xbar|| = 0,0184 (Gretl: 0,0184)
t = 27,14 (t_c al 5% = 2,228)
IC 95%: [0,46 ; 0,54]
mayor diferencia entre las dos series de perturbaciones: 0,000000
Lo que debe observar
La \(\mathfrak s\) es la misma que en la Actividad 1, \(1{,}1001\), hasta la cuarta cifra. Y la última línea lo explica: las doce perturbaciones —lo que queda al restar de cada \(y_i\) la parte verdadera \(10+0{,}5x_i\)— son idénticas en los dos paneles. Como el regresor en desviaciones apunta en la misma dirección en ambos casos (es el mismo patrón, multiplicado por diez), la proyección del ruido sobre esa dirección, y con ella el residuo, coincide.
Toda la diferencia está, por tanto, en el denominador del error estándar: la longitud del regresor en desviaciones es \(59{,}79\) en vez de \(5{,}98\). Diez veces más largo el regresor, diez veces más pequeño el error estándar (\(0{,}018\) frente a \(0{,}184\)), diez veces más estrecho el intervalo (\([0{,}46;\,0{,}54]\)). El ruido no ha cambiado; lo que ha cambiado es cuánto varía la variable cuyo efecto queremos medir. Para estimar bien el efecto de una variable hace falta que esa variable varíe.
Actividad 3 - Contrastar la hipótesis verdadera
Con datos reales no sabemos cuánto vale \(\beta_2\). Aquí sí: vale \(0{,}5\), porque lo hemos elegido nosotros. Podemos entonces contrastar \(H_0\!:\beta_2=0{,}5\) sabiendo que es cierta, y ver qué hace el contraste con ella; y de paso, contrastar \(H_0\!:\beta_2=0\), que sabemos falsa.
en línea de comandos:
ols y_c const x_c --quiet scalar t_cierta_c = ($coeff(x_c) - 0.5)/$stderr(x_c) scalar t_falsa_c = ($coeff(x_c) - 0.0)/$stderr(x_c) ols y_d const x_d --quiet scalar t_cierta_d = ($coeff(x_d) - 0.5)/$stderr(x_d) scalar t_falsa_d = ($coeff(x_d) - 0.0)/$stderr(x_d) printf "t_c al 5%% con %d grados de libertad = %.3f\n\n", $df, tc printf " concentrado disperso\n" printf "H0: beta_2 = 0,5 (cierta) t = %6.2f t = %6.2f\n", t_cierta_c, t_cierta_d printf "H0: beta_2 = 0 (falsa) t = %6.2f t = %6.2f\n", t_falsa_c, t_falsa_d
t_c al 5% con 10 grados de libertad = 2,228
concentrado disperso
H0: beta_2 = 0,5 (cierta) t = -0,04 t = -0,04
H0: beta_2 = 0 (falsa) t = 2,68 t = 27,14
Lo que debe observar
La hipótesis cierta no se rechaza en ningún panel —los dos estadísticos están cerca de cero—, y el \(0{,}5\) verdadero está dentro de los dos intervalos: dentro del ancho y dentro del estrecho. La hipótesis falsa se rechaza en los dos, pero con evidencias muy desiguales: \(2{,}68\) frente a \(27{,}14\).
Aquí conviene resistir una tentación. Que el intervalo contenga al verdadero \(\beta_2\) esta vez no es la garantía del intervalo: la garantía, según la lección 12, es sobre el procedimiento —``el \(95\%\) de las muestras dan un intervalo que contiene a \(\beta_2\)''—, y con una sola muestra no se puede comprobar una frecuencia. Para eso hay que repetir el experimento muchas veces, con nuevas perturbaciones cada vez, y contar. Eso es la práctica C.
Actividad 4 - Cambiar las unidades del regresor
Midamos el regresor disperso en centésimas (multiplicamos x_d por cien) y reestimemos.
en línea de comandos:
series x_d100 = 100*x_d ols y_d const x_d --quiet printf "x en unidades originales : coef = %.6f ee = %.6f t = %.2f p = %.3g\n", $coeff(x_d), $stderr(x_d), $coeff(x_d)/$stderr(x_d), 2*pvalue(t, $df, abs($coeff(x_d)/$stderr(x_d))) ols y_d const x_d100 --quiet printf "x multiplicado por 100 : coef = %.6f ee = %.6f t = %.2f p = %.3g\n", $coeff(x_d100), $stderr(x_d100), $coeff(x_d100)/$stderr(x_d100), 2*pvalue(t, $df, abs($coeff(x_d100)/$stderr(x_d100))) printf "R2 en ambos casos : %.4f\n", $rsq
x en unidades originales : coef = 0,499315 ee = 0,018399 t = 27,14 p = 1,07e-10 x multiplicado por 100 : coef = 0,004993 ee = 0,000184 t = 27,14 p = 1,07e-10 R2 en ambos casos : 0,9866
Lo que debe observar
El coeficiente y su error estándar se dividen los dos por cien; el estadístico \(t\), el valor \(p\) y el \(R^2\) no se mueven. Es la pregunta 10 de la lección 12 con números: las dos primeras columnas de la tabla están en las unidades del problema y las dos últimas son adimensionales. Por eso \(t\) y \(p\) sirven para comparar y no sirven para valorar la magnitud de un efecto, y por eso el coeficiente hay que leerlo siempre sabiendo en qué unidades está.
Preguntas de interpretación para la clase
- Los dos paneles tienen el mismo residuo. ¿Por qué? ¿Seguiría siendo así si, en lugar de multiplicar por diez los valores del regresor, los hubiéramos sorteado de nuevo?
- En la Actividad 1, el intervalo \([0{,}08;\,0{,}90]\) no contiene al cero. ¿Diría usted que ese ajuste ``demuestra'' que la pendiente es positiva? ¿Y que ``demuestra'' que vale \(0{,}5\)?
- Los dos ajustes tienen el mismo \(\mathfrak s\) y errores estándar que difieren en un factor diez. Escriba la fórmula que lo explica y diga qué cantidad de la lección 4 aparece en ella.
- En la Actividad 3 la hipótesis cierta no se rechaza. ¿Podría haberse rechazado? ¿Con qué frecuencia cabría esperar que eso ocurriera si repitiéramos el experimento con nuevas perturbaciones?
- Tras la Actividad 4, ¿qué columnas de una tabla de resultados usaría para comparar la precisión relativa con que se han estimado dos coeficientes medidos en unidades distintas? ¿Y para comparar sus magnitudes?
Para profundizar
- Lección 12 (lección 12), secciones ``El error estándar, y el precio de estimar \(\sigma\)'' y ``El intervalo de confianza'', cuya figura se ha reproducido aquí.
- Wooldridge, J. M. (2020). Introductory Econometrics, cap. 2, sección 2.5 (varianza de los estimadores MCO: el papel de la variación del regresor) y cap. 4, sección 4.3.
Código completo de la práctica
| Enlace al guión: | S18-Prct-B-regresor-disperso.inp |
Respuestas
- El mismo residuo. El residuo es lo que queda de \(\boldsymbol y\) tras quitarle su proyección sobre \(\mathcal L(\boldsymbol 1,\boldsymbol x)\) (lección 6), y ese subespacio es el mismo en los dos paneles: multiplicar \(\boldsymbol x\) por diez no cambia el plano que \(\boldsymbol 1\) y \(\boldsymbol x\) generan, solo el nombre de sus generadores. Como además \(\boldsymbol y\) se construyó con las mismas perturbaciones, la parte de \(\boldsymbol y\) ortogonal a ese plano —el residuo— es idéntica. Si hubiéramos sorteado de nuevo los valores del regresor, el plano sería otro y el residuo, en general, distinto.
- Qué ``demuestra'' el intervalo ancho. Ni una cosa ni la otra, en sentido estricto. Que el cero quede fuera dice que los datos son poco compatibles con una pendiente nula, con un \(5\%\) de riesgo de equivocarse: no es una demostración, es un veredicto probabilístico. Y sobre el valor \(0{,}5\) no dice nada especial: el intervalo lo contiene, pero contiene también al \(0{,}2\) y al \(0{,}8\). Un intervalo ancho es compatible con muchas verdades distintas, y esa es su información: que los datos no permiten precisar más.
- La fórmula. \(\mathrm{ee}(\hat\beta_2)=\mathfrak s/\|\boldsymbol x-\boldsymbol{\mathop{\overline x}}\|_e\). El denominador es la norma del vector en desviaciones del regresor, el objeto que la lección 4 definió al construir la desviación típica (allí con el producto escalar estadístico; aquí con el euclídeo, sin el factor \(1/n\), porque así es como aparece en la varianza de \(\hat\beta_2\) de la lección 11). Con el mismo \(\mathfrak s\) en el numerador, dos regresores cuyas longitudes en desviaciones están en razón \(1:10\) dan errores estándar en razón \(10:1\).
- ¿Podría haberse rechazado la hipótesis cierta? Sí. El contraste al \(5\%\) rechaza una hipótesis cierta, por construcción, el \(5\%\) de las veces: es lo que significa el nivel de significación. En esta muestra concreta no ha ocurrido —los estadísticos son \(-0{,}04\)—, pero en una de cada veinte muestras del mismo mundo el \(0{,}5\) quedaría fuera del intervalo. Esa frecuencia no se puede ver con una muestra; se ve repitiendo, y eso hace la práctica C.
- Precisión relativa y magnitud. Para la precisión relativa, el estadístico \(t\) (o el valor \(p\)), porque son adimensionales: dicen a cuántos errores estándar está cada coeficiente de cero, sea cual sea su unidad. Para la magnitud, solo sirve el coeficiente en las unidades del problema —y para compararla entre variables medidas en unidades distintas hay que reexpresarlas en una escala común (por ejemplo, el efecto de un cambio de una desviación típica en cada regresor), cosa que las columnas de la tabla no hacen por sí solas.