Sesión 18 (A) — Leer una tabla de resultados: contrastes \(t\) e intervalos con datos reales

La lección 12 construyó tres herramientas (el error estándar, el intervalo de confianza y el contraste \(t\)) y dedicó su segunda mitad a leer una tabla de resultados. Hoy se trata de hacerlo con datos reales y con el programa delante.

Retomamos hprice2 y la regresión price ~ rooms, el ajuste que arrastramos desde la práctica que siguió a la lección 8 (actividad 2 (html)) y que sirvió de ``mundo verdadero'' en la práctica A de la sesión 16 (actividad 1 (html)). Hoy, además de estimarlo, medimos su precisión.

Trabajamos con datos reales porque el objetivo de esta práctica es la lectura: aprender a distinguir, en una salida de Gretl en español, qué número responde a qué pregunta. La verificación con datos simulados (¿cubre de verdad el intervalo el 95\% de las veces?) es el asunto de la práctica C (html) de esta misma sesión.

Objetivos

1. Leer las cuatro columnas de una tabla de resultados e identificar, en la salida en español, las tres cantidades que Gretl rotula como ``desviación típica''.
2. Reconstruir a mano, con los accesores de Gretl, el error estándar, el estadístico \(t\), el valor \(p\) y el intervalo de confianza, y comprobar que coinciden con la tabla.
3. Verificar sobre datos reales la identidad de la lección 12, \(t^2=(n-k)\,\mathrm{SEC}/\mathrm{SRC}\), y reconocer en ella el \(F\) que Gretl imprime al pie de la tabla.
4. Contrastar una hipótesis distinta de ``el coeficiente es cero'' y ver que el intervalo de confianza ya contenía la respuesta.
5. Repetir la estimación con doce viviendas para ver qué cambia, y qué no, cuando hay pocas observaciones.

Comandos nuevos de esta práctica. Seguimos usando ols y sus accesores $coeff, $ess y $rsq (prácticas de la sesión 11), $nobs (sesiones 7 y 14), $df (sesión 16) y printf con sus formatos (sesión 7). Lo nuevo:

$stderr(x)

error estándar del coeficiente de x en el último modelo estimado. Con el nombre entre paréntesis devuelve un número; sin argumento, el vector con todos, igual que $coeff.

$sigma

la desviación típica de la regresión del último modelo, \(\mathfrak s=\sqrt{\mathrm{SRC}/(n-k)}\).

$Fstat

el estadístico \(F\) que aparece al pie de la tabla del último modelo.

critical(t, gl, p)

el valor de la \(t\) con gl grados de libertad que deja probabilidad p a su derecha. Para un contraste bilateral al \(5\%\) se pide p = 0.025.

pvalue(t, gl, x)

la probabilidad de que una \(t\) con gl grados de libertad supere x. El valor \(p\) bilateral es el doble de la de \(|t|\).

restrict ... end restrict

bloque que contrasta una restricción lineal sobre los coeficientes del último modelo; b[2] es el segundo coeficiente.

smpl n --random y smpl full

elegir al azar n observaciones del conjunto de datos y volver después a la muestra completa (sesión 16).

(condición ? "sí" : "no")

expresión que vale el primer texto si la condición se cumple y el segundo si no; && es la conjunción «y» entre dos condiciones.

%d y %.3g

formatos de printf para un entero y para un número con tres cifras significativas; %% imprime el signo de tanto por ciento.

Abra hprice2 y estime la regresión de price sobre rooms: en la ventana principal, Modelo -> Mínimos cuadrados ordinarios, con price como variable dependiente y rooms como regresor.

open abre hprice2 y ols price const rooms estima por mínimos cuadrados la regresión de price sobre la constante y rooms, como en la práctica B de la sesión 11 (actividad 2 (html)), e imprime la tabla completa.

o bien teclee en línea de comandos:

open hprice2.gdt --quiet

ols price const rooms

Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1-506
Variable dependiente: price

             coeficiente   Desv. típica   Estadístico t   valor p 
  ----------------------------------------------------------------
  const       -34796,2       2651,53         -13,12       4,74e-34 ***
  rooms         9119,55       419,339         21,75       1,87e-74 ***

Media de la vble. dep.  22511,51   D.T. de la vble. dep.   9208,856
Suma de cuad. residuos  2,21e+10   D.T. de la regresión    6620,865
R-cuadrado              0,484110   R-cuadrado corregido    0,483086
F(1, 504)               472,9521   Valor p (de F)          1,87e-74
Log-verosimilitud      -5168,759   Criterio de Akaike      10341,52
Criterio de Schwarz     10349,97   Crit. de Hannan-Quinn   10344,83

Todos los números de la tabla salen de las fórmulas de la lección 12 y de cantidades que ya sabíamos calcular. Vamos a rehacerlos uno a uno con los accesores de Gretl (los objetos que empiezan por $ y que conocemos desde la práctica (html) que siguió a la lección 8) y a comprobar que coinciden.

El bloque guarda en escalares las piezas de la lección 12 y las compara con lo que imprime Gretl: n y k; SRC con el accesor $ess; STC, despejada de \(R^2=1-\mathrm{SRC}/\mathrm{STC}\) con $rsq; SEC por diferencia; s, la raíz de la cuasivarianza; Lx, la longitud euclídea del regresor en desviaciones (raíz de la suma de cuadrados, sesión 7); ee, su cociente; b2 con $coeff(rooms); el estadístico tst; el valor crítico con critical y el valor \(p\) con pvalue. Los printf imprimen cada pieza junto a la de Gretl ($sigma y $stderr(rooms)), y el último construye el intervalo con sus dos extremos, \(\hat\beta_2\mp t_c\,\mathrm{ee}\).

en línea de comandos:

scalar n   = $nobs
scalar k   = 2                                   # regresores, constante incluida
scalar SRC = $ess                                # suma de cuadrados de los residuos
scalar STC = SRC/(1 - $rsq)                      # Gretl no da STC directamente; R^2 = 1 - SRC/STC
scalar SEC = STC - SRC
scalar s   = sqrt(SRC/(n-k))                     # raiz de la cuasivarianza de los residuos
scalar Lx  = sqrt(sum((rooms - mean(rooms))^2))  # longitud euclidea de x - xbar
scalar ee  = s/Lx                                # error estandar: ruido por unidad de longitud
scalar b2  = $coeff(rooms)
scalar tst = b2/ee
scalar tc  = critical(t, n-k, 0.025)             # valor critico al 5%, dos colas
scalar p   = 2*pvalue(t, n-k, abs(tst))          # valor p bilateral

printf "n - k                        = %d\n", n-k
printf "s  (D.T. de la regresion)    = %.4f   Gretl: %.4f\n", s, $sigma
printf "||x - xbar||                 = %.4f\n", Lx
printf "ee(b2) = s/||x - xbar||      = %.4f   Gretl: %.4f\n", ee, $stderr(rooms)
printf "t = b2/ee                    = %.4f\n", tst
printf "valor critico t_c (5%%)       = %.4f\n", tc
printf "valor p                      = %.3g\n", p
printf "IC 95%%: [%.2f ; %.2f]\n", b2 - tc*ee, b2 + tc*ee

n - k                        = 504
s  (D.T. de la regresion)    = 6620,8652   Gretl: 6620,8652
||x - xbar||                 = 15,7888
ee(b2) = s/||x - xbar||      = 419,3385   Gretl: 419,3385
t = b2/ee                    = 21,7475
valor critico t_c (5%)       = 1,9647
valor p                      = 1,87e-74
IC 95%: [8295,68 ; 9943,42]

La lección 12 demostró que el estadístico \(t\) no contiene nada que no estuviera ya en el triángulo de la lección 8: \[ t^2=(n-k)\,\frac{\mathrm{SEC}}{\mathrm{SRC}}=(n-k)\,\frac{R^2}{1-R^2}. \] Comprobémoslo con los tres números que acabamos de calcular. Que el \(F\) de Gretl sea exactamente \(t^2\), y no solo un número parecido, es una identidad entre estadísticos: apéndice, secciones 5.4 (html) y 10.

Esta actividad usa el estadístico \(F\) y el comando restrict, que la lección 13 presentará con detalle; aquí basta con leerlos como una segunda forma del mismo contraste. Tres printf con los escalares del bloque anterior: la raíz de \((n-k)\,\mathrm{SEC}/\mathrm{SRC}\) frente a \(t\); la versión con \(R^2\) frente a \(t^2\); y el \(F\) que Gretl guarda en $Fstat.

en línea de comandos:

printf "sqrt((n-k)*SEC/SRC)   = %.4f    t   = %.4f\n", sqrt((n-k)*SEC/SRC), tst
printf "(n-k)*R2/(1-R2)       = %.4f    t^2 = %.4f\n", (n-k)*$rsq/(1-$rsq), tst^2
printf "F(1, %d) del pie de la tabla = %.4f\n", n-k, $Fstat

sqrt((n-k)*SEC/SRC)   = 21,7475    t   = 21,7475
(n-k)*R2/(1-R2)       = 472,9521    t^2 = 472,9521
F(1, 504) del pie de la tabla = 472,9521

Que datos como estos serían muy raros con \(\beta_2=0\) ya lo sabíamos. Otra pregunta es, por ejemplo: si una habitación valiese diez mil dólares, ¿serían datos como estos demasiado raros? Es decir, \(H_0\!:\beta_2=10\,000\) frente a \(H_1\!:\beta_2\neq10\,000\).

Fijamos el valor hipotético c, calculamos el estadístico \(t\) restándolo al coeficiente y dividiendo por el error estándar, su valor \(p\) bilateral, y un segundo valor crítico al \(1\%\) (0.005 en cada cola). Los printf usan una expresión condicional, (condición ? "se rechaza" : "no se rechaza"), que imprime un texto u otro según se cumpla la condición; && une las dos desigualdades que definen «estar dentro del intervalo».

en línea de comandos:

scalar c    = 10000
scalar t_c0 = (b2 - c)/ee
scalar p_c0 = 2*pvalue(t, n-k, abs(t_c0))
scalar tc1  = critical(t, n-k, 0.005)            # valor critico al 1%, dos colas

printf "H0: beta_2 = %d\n", c
printf "t = (b2 - c)/ee        = %.4f\n", t_c0
printf "valor p                = %.4f\n", p_c0
printf "t_c al 5%%              = %.4f   ->  %s\n", tc,  (abs(t_c0) > tc  ? "se rechaza" : "no se rechaza")
printf "t_c al 1%%              = %.4f   ->  %s\n", tc1, (abs(t_c0) > tc1 ? "se rechaza" : "no se rechaza")
printf "IC 95%%: [%.2f ; %.2f]   ¿contiene a %d?  %s\n", b2 - tc*ee,  b2 + tc*ee,  c, (b2 - tc*ee  <= c && c <= b2 + tc*ee  ? "si" : "no")
printf "IC 99%%: [%.2f ; %.2f]   ¿contiene a %d?  %s\n", b2 - tc1*ee, b2 + tc1*ee, c, (b2 - tc1*ee <= c && c <= b2 + tc1*ee ? "si" : "no")

H0: beta_2 = 10000
t = (b2 - c)/ee        = -2,0996
valor p                = 0,0363
t_c al 5%              = 1,9647   ->  se rechaza
t_c al 1%              = 2,5856   ->  no se rechaza
IC 95%: [8295,68 ; 9943,42]   ¿contiene a 10000?  no
IC 99%: [8035,30 ; 10203,80]   ¿contiene a 10000?  si

Todo lo anterior descansa sobre \(506\) observaciones. ¿Qué cambia si solo tuviéramos una docena? Tomamos doce viviendas al azar¹ y repetimos.

set seed fija la semilla para que las doce viviendas sean las mismas para todos. smpl 12 --random reduce la muestra a doce observaciones elegidas al azar; a partir de ahí, ols y los accesores trabajan solo con ellas, y $nobs y $df valen \(12\) y \(10\). Los printf comparan el valor crítico y el intervalo con los de la muestra completa, guardados en tc, b2 y ee. smpl full devuelve la muestra completa al terminar.

en línea de comandos:

set seed 20261107                                # para que todos obtengamos las mismas doce
smpl 12 --random
ols price const rooms
scalar tc12 = critical(t, $df, 0.025)
printf "\nn = %d,  grados de libertad = %d,  t_c al 5%% = %.3f  (con 506 viviendas era %.3f)\n", $nobs, $df, tc12, tc
printf "IC 95%% con 12 viviendas : [%.1f ; %.1f]\n", $coeff(rooms) - tc12*$stderr(rooms), $coeff(rooms) + tc12*$stderr(rooms)
printf "IC 95%% con 506 viviendas: [%.1f ; %.1f]\n", b2 - tc*ee, b2 + tc*ee
smpl full

Modelo 2: MCO, usando las observaciones 1-12
Variable dependiente: price

             coeficiente   Desv. típica   Estadístico t   valor p
  ---------------------------------------------------------------
  const       -46925,4       25791,1         -1,819       0,0989  *
  rooms        10927,6        4056,86         2,694       0,0226  **

Media de la vble. dep.  22291,75   D.T. de la vble. dep.   9560,430
Suma de cuad. residuos  5,83e+08   D.T. de la regresión    7633,254
R-cuadrado              0,420475   R-cuadrado corregido    0,362523
F(1, 10)                7,255519   Valor p (de F)          0,022560
Log-verosimilitud      -123,2166   Criterio de Akaike      250,4331
Criterio de Schwarz     251,4029   Crit. de Hannan-Quinn   250,0741


n = 12,  grados de libertad = 10,  t_c al 5% = 2,228  (con 506 viviendas era 1,965)
IC 95% con 12 viviendas : [1888,3 ; 19966,8]
IC 95% con 506 viviendas: [8295,7 ; 9943,4]

1. En la salida de la Actividad 1 aparecen tres cantidades rotuladas como ``desviación típica''. ¿Cuál de ellas cambiaría si dispusiéramos de más viviendas con la misma relación entre precio y habitaciones, y cuáles no? Razónelo con las fórmulas.
2. En la Actividad 2 el error estándar resultó ser \(\mathfrak s/\|\boldsymbol x-\boldsymbol{\mathop{\overline x}}\|_e\). Si en lugar de rooms usáramos rooms medido en decenas de habitaciones, ¿qué le pasaría a cada uno de los dos factores? ¿Y al estadístico \(t\)?
3. La Actividad 3 mostró que \(t^2\) coincide con el \(F\) del pie de la tabla. ¿Qué hay en ese \(F\) que no estuviera ya en el \(R^2\)?
4. En la Actividad 4 el mismo dato lleva a ``rechazar'' al \(5\%\) y a ``no rechazar'' al \(1\%\). ¿Es eso una contradicción? ¿Qué diría un lector que solo conociera el intervalo al \(95\%\), y qué le faltaría por saber?
5. En la Actividad 5 el coeficiente sigue siendo significativo con doce viviendas. Un compañero concluye que ``entonces con doce viviendas basta''. ¿Qué le respondería, con el intervalo en la mano?

• Lección 12 (lección 12), en especial las secciones ``Cómo se lee una tabla de resultados'' y ``Significación estadística \(\neq\) relevancia económica''.
• Wooldridge, J. M. (2020). Introductory Econometrics, cap. 4, secciones 4.2 (contraste \(t\)), 4.3 (intervalos de confianza) y 4.6 (cómo se informan los resultados).
• Manual de Gretl: funciones critical y pvalue; comando restrict.

1. Las tres ``desviaciones típicas'' y el tamaño muestral. La desviación típica de la variable dependiente (\(\sqrt{\mathrm{STC}/(n-1)}\)) y la de la regresión (\(\mathfrak s=\sqrt{\mathrm{SRC}/(n-k)}\)) describen la dispersión de los datos y del ruido: con más viviendas de la misma ciudad, ambas se estabilizarían en torno a un valor, sin tender a cero, porque miden algo que existe en la población (cuánto varían los precios; cuánto ruido hay alrededor de la recta). El error estándar del coeficiente, en cambio, es \(\mathfrak s/\|\boldsymbol x-\boldsymbol{\mathop{\overline x}}\|_e\), y su denominador crece con el número de observaciones (más sumandos en \(\sum_i(x_i-\mu_{\boldsymbol x})^2\)): con más datos, el error estándar se reduce hacia cero. Esa es la diferencia entre una dispersión de datos y una dispersión de un estimador, y es la razón por la que compartir etiqueta confunde.
2. Cambio de unidades en el regresor. Si \(\boldsymbol x\) se mide en decenas de habitaciones, el vector es \(\boldsymbol x/10\) y su longitud en desviaciones se divide por diez (homogeneidad de la norma, lección 2). \(\mathfrak s\) no cambia, porque el ajuste, y por tanto el residuo, es el mismo: solo cambia el nombre de la pendiente, que pasa a ser \(10\hat\beta_2\). Así que el error estándar se multiplica por diez, igual que el coeficiente, y el cociente \(t\) se conserva. Es la pregunta 10 de la lección 12, y la actividad 4 (html) de la práctica B de hoy la ejecuta con números.
3. Qué hay en \(F\) que no esté en \(R^2\). El factor \(n-k\), y nada más. El \(F\) de una regresión simple es \((n-k)\,R^2/(1-R^2)\): el mismo cociente de catetos, multiplicado por el número de dimensiones disponibles para el residuo. Por eso un \(R^2\) de \(0{,}48\), modesto, viene acompañado de un \(F\) de \(473\): con quinientas observaciones, un ángulo modesto da un \(F\) grande. La lección 13 explotará el \(F\) para juzgar varios regresores a la vez, donde el \(R^2\) por sí solo ya no basta.
4. Rechazar al \(5\%\) y no al \(1\%\). No es una contradicción: son dos exigencias distintas ante los mismos datos, y el valor \(p=0{,}036\) las resume a las dos: es más pequeño que \(0{,}05\) y más grande que \(0{,}01\). Quien solo tuviera el intervalo al \(95\%\) vería que \(10\,000\) queda fuera y concluiría correctamente ``se rechaza al \(5\%\)''; lo que no podría saber es por cuánto: si \(10\,000\) está justo fuera o muy lejos. Para eso necesitaría el valor \(p\), o bien el intervalo al \(99\%\), que aquí sí lo contiene. El intervalo y el contraste son el mismo objeto, pero un intervalo a un solo nivel es una única rebanada de esa información.
5. ``Con doce viviendas basta''. Basta para rechazar que el efecto sea cero, que es una hipótesis poco informativa: nadie discutía que las casas con más habitaciones valgan más. No basta para nada más: el intervalo, de unos \(1\,900\) a casi \(20\,000\) dólares por habitación, no descarta que una habitación valga la mitad que en la estimación completa ni que valga el doble. Significación no es precisión. Si la pregunta es ``¿cuánto vale una habitación?'', doce viviendas responden ``entre poco y mucho'', y eso es no responder.