Lección 4. ACF, PACF y densidad espectral de modelos MA

Índice

Funciones de autocovarianzas y de autocorrelación (ACF)
Función de autocorrelación parcial (PACF)
Densidad espectral
ACF, PACF y densidad espectral de algunos modelos lineales
(Resumen) características de procesos MA(\(q\))

Veremos tres funciones que describen las características correspondientes a los momentos de segundo orden de los procesos lineales: la función de autocorrelación (ACF), la función de autocorrelación parcial (PACF) y la densidad espectral (estas tres funciones son transformaciones de la función de autocovarianzas del proceso). Veremos la estructura de estas funciones en procesos lineales genéricos. Primero para ruido blanco. Luego nos centraremos en los procesos de media móvil, o procesos MA; que caracterizan series con ``memoria muy corta''. Estos procesos son funciones de un número finito, y generalmente pequeño, de las innovaciones pasadas. A diferencia de los modelos autorregresivos, los procesos MA solo están correlados con un reducido número de valores anteriores, lo que permite que su función de autocorrelación simple tenga únicamente unas pocas autocorrelaciones distintas de cero.

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- programas análisis modelos arma: (slides) — (html) — (mybinder)

Carga de algunos módulos de python y creación de directorios auxiliares

# Para trabajar con los datos y dibujarlos necesitamos cargar algunos módulos de python
import numpy as np # linear algebra
import pandas as pd # data processing, CSV file I/O (e.g. pd.read_csv)
import matplotlib as mpl
# definimos parámetros para mejorar los gráficos
mpl.rc('text', usetex=False)
import matplotlib.pyplot as plt   # data visualization
import dataframe_image as dfi   # export tables as .png

Directorio auxiliar para albergar las figuras de la lección:
para publicar la lección como pdf o página web, necesito los gráficos como ficheros .png alojados algún directorio específico:
```
imagenes_leccion = "./img/lecc04" # directorio para las imágenes de la lección
import os
os.makedirs(imagenes_leccion, exist_ok=True) # crea el directorio si no existe
```

Gráficos para las ACF, PACF y densidades espectrales teóricas

Cargamos las funciones auxiliares (véase la carpeta src/)

import warnings
warnings.filterwarnings("ignore", category=UserWarning)
%run -i ./src/analisis_armas.py

Funciones de autocovarianzas y de autocorrelación (ACF)

Si un proceso estocástico es estacionario, la covarianza entre \(X_t\) y \(X_{t+k}\) no depende de \(t\); tan solo depende de la distancia temporal \(k\) entre ambas variables aleatorias: \(\;Cov(X_t,X_{t-k})=\gamma_k.\;\)

La secuencia \(\boldsymbol{\gamma}=(\gamma_k\mid k\in\mathbb{Z})\) se denomina función de autocovarianzas
Dividiendo \(\boldsymbol{\gamma}\) por \(\gamma_0\) obtenemos la secuencia \(\boldsymbol{\rho}=(\rho_k\mid k\in\mathbb{Z})\) donde \[\rho_k=\frac{Cov(X_t,X_{t-k})}{\sqrt{Var(X_t)Var(X_{t-k})}}=\frac{\gamma_k}{\gamma_0},\]

que se denomina función de autocorrelación (ACF).

Veamos otras transformaciones de \(\boldsymbol{\gamma}\) que subrayan diferentes características de la interdependencia temporal en un proceso estocástico.

Función de autocorrelación parcial (PACF)

La correlación parcial entre dos variables \(X_t\) y \(X_{t-k}\) de un proceso estacionario \(\boldsymbol{X}\) mide su correlación una vez descontado el efecto de las variables \(X_{t-1},\ldots X_{t-(k-1)}\) que median entre ambas. \[X_t,\ \overbrace{X_{t-1},\ldots X_{t-(k-1)},}\ X_{t-k}\]

Si denotamos con \(\widehat{X_t}\) y \(\widetilde{X_{t-k}}\) los ajustes de las respectivas regresiones de \(X_t\) y \(X_{t-k}\) sobre \(X_{t-1},\ldots X_{t-(k-1)};\;\) la correlación parcial \(\pi_k\) entre \(X_t\) y \(X_{t+k}\) es la correlación entre los residuos de sendas regresiones: \[\pi_k=Corr\Big((X_t-\widehat{X_t}),\ (X_{t-k}-\widetilde{X_{t-k}})\Big)\]

En un proceso débilmente estacionario las correlaciones parciales solo dependen de la distancia \(k\), lo que permite definir la siguiente secuencia.

La función de autocorrelación parcial (PACF) de un proceso estocástico estacionario \(\boldsymbol{X}\) es la siguiente secuencia \(\boldsymbol{\pi}\) simétrica (\(\pi_{-k}=\pi_k\)):

\[\boldsymbol{\pi}=(\pi_k\mid k\in\mathbb{Z})= \begin{cases} \pi_0 & = \rho_0 ={\color{blue}{1}}\\\\ \pi_1 &=Corr(X_t,\ X_{t-1})=\rho_1=\frac{\gamma_1}{\gamma_0}\\\\ \pi_k &=Corr\Big((X_t-\widehat{X_t}),\ (X_{t-k}-\widetilde{X_{t-k}})\Big) \end{cases},\] donde \(\widehat{X_t}\) y \(\widetilde{X_{t-k}}\) son los ajustes de las respectivas regresiones de \(X_t\) y \(X_{t-k}\) sobre \(X_{t-1},\ldots X_{t-(k-1)};\;\) i.e., las proyecciones ortogonales sobre \(\bar{sp}(1,X_{t-1},\ldots X_{t-(k-1)})\).

La magnitud de la correlación parcial \(\;\pi_k\;\) refleja la mejora en la predicción de \(\widehat{X_t}\) si en lugar de usar una combinación lineal con solo los \(k-1\) primeros retardos, \(\widehat{X_t}=\widehat{\alpha_0}+\sum_{j=1}^{k-1}\widehat{\alpha_j} X_{t-j}\), empleamos \(k\) retardos (i.e., un retardo más).

Así, la PACF nos ayudará a identificar el orden de procesos autoregresivos.

Hay una correspondencia uno-a-uno entre la función de autocovarianzas \(\boldsymbol{\gamma}\) y la PACF \(\boldsymbol{\pi}\).

Es decir, es posible reconstruir una de las secuencias a partir de la otra (por ejemplo resolviendo las ecuaciones de Yule-Walker recursivamente con el algoritmo Levinson-Durbin; véase Pourahmadi, M. (2001, Capítulo 7) o Brockwell & Davis (1991, Capítulo 5))

Así, la PACF \(\boldsymbol{\pi}\) puede verse como una reparametrización de la función de autocovarianzas \(\boldsymbol{\gamma}\).

Veamos otra transformación de \(\boldsymbol{\gamma}\) que también arrojará luz sobre las propiedades de un proceso estocástico.

Densidad espectral

Si \(\boldsymbol{X}\) es un proceso estocástico con función de autocovarianzas \(\boldsymbol{\gamma}\in\ell^1\), es decir, con función de autocovarianzas absolutamente sumable, \[\sum_{k\in\mathbb{Z}}|\gamma_k|<\infty,\] entonces definimos la densidad espectral de \(\boldsymbol{X}\) como \[f(\omega) \quad=\quad\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\gamma_k e^{-i k\omega} \quad=\quad{\color{blue}{\frac{1}{2\pi}\sum_{k\geq0}\gamma_k \cos(k\omega)}},\qquad \omega\in[-\pi,\pi],\] (donde \(w\) son las frecuencias de oscilación de la serie).

La densidad espectral \(f(\omega)\) satisface las siguientes propiedades:

\(f(\omega)=f(-\omega)\)
\(f(\omega)\geq0\)
\(\int_{-\pi}^\pi f(\omega)d\omega<\infty\)

Es más, partiendo de la densidad espectral se pueden calcular las covarianzas \[\gamma_k=\int_{-\pi}^\pi f(\omega)e^{-i k\omega}d\omega;\quad k\in\mathbb{Z}\]

Consecuentemente, para \(k=0\) \[\sigma^2=\gamma_0=\int_{-\pi}^\pi f(\omega)d\omega.\]

Por tanto podemos interpretar la densidad espectral como una descomposición de la varianza en sumas de oscilaciones con distintas frecuencias (o periodos).

(\(Periodo=\frac{1}{Frecuencia}\), donde la Frecuencia = Nº de ciclos por unidad de tiempo).

La ACF, la PACF y la densidad espectral son funciones que dependen únicamente de los dos primeros momentos de la distribución.

Su estimación y posterior análisis son la herramienta fundamental para elegir un modelo ARMA para una serie temporal ``estacionaria''.

Para entenderlo debemos ver cómo son estas funciones en algunos modelos lineales concretos.

ACF, PACF y densidad espectral de algunos modelos lineales

Procesos lineales causales

Sea \(\;\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\psi}*\boldsymbol{U},\;\) donde \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;\) y \(\;\boldsymbol{\psi}\in\ell^2\;\) es una serie formal: \[X_t=\sum_{j\geq0}\psi_j U_{t-j}.\] Por la lección anterior sabemos que \(\;E(X_t)=0\;\) y que

\(\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 \boldsymbol{\psi}(z)*\boldsymbol{\psi}(z^{-1})\)

Es decir, \[\gamma_k = \sigma^2\sum_{j=0}^\infty \psi_{j+|k|}\cdot\psi_j.\] Por otra parte, \(\;\gamma_k\to0\;\) cuando \(\;k\to\infty\)

A partir de \(\boldsymbol{\gamma}\) obtenemos las otras tres funciones:

ACF: \(\;\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma}\)

Dens. espectral: \(\;f(\omega)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\geq0}\gamma_k\cos(k\omega)\)

PACF: \(\;\boldsymbol{\pi}\in\ell^2,\quad\) i.e., \(\;\pi_k\to0\;\) cuando \(\;k\to\infty\)

Proceso de Ruido Blanco

Sea \(\boldsymbol{X}=1*\boldsymbol{U}\), donde \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;;\) es decir \(X_t=U_t\) para \(t\in\mathbb{Z}\). Entonces

\(\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 (1z^0*1z^{0}) \;=\; \sigma^2z^0 \;=\; (\ldots,0,0,{\color{blue}{\sigma^2}},0,0,\ldots)\)

\(\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma} \;=\; \frac{1}{\sigma^2}\boldsymbol{\gamma} \;=\; 1 z^0 \;=\; (\ldots,0,0,{\color{blue}{1}},0,0,\ldots)\)

\(f(\omega) \;=\; \frac{1}{2\pi}\sum_{k\geq0}\gamma_k \cos(k\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi} \cos(0\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi};\quad \omega\in[-\pi,\pi]\)
\(\boldsymbol{\pi} \;=\; 1 z^0 \;=\; (\ldots,0,0,{\color{blue}{1}},0,0,\ldots)\)

ar_params = [1,]
ma_params = [1,]
fig = plot_arma_parametric_diagnostics(ar_params, ma_params, 1, lags=20)
fig.savefig('./img/lecc04/ACFwhitenoise.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

fig = plot_arma_analysis(ar_params, ma_params, seed=2026)
fig.savefig('./img/lecc04/SimulWhitenoise.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

En la luz blanca todos los colores (frecuencias) aparecen por igual (por eso se ve blanco). El ruido blanco es el pilar sobre el que construimos los demás procesos (débilmente) estacionarios.

Proceso de media móvil MA(\(q\))

Sea \(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U}\), con \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;\) y donde \(\boldsymbol{\theta}\) es un polinomio de orden \(q>0\), con \(\theta_0=1\) y con todas sus raíces fuera del círculo unidad \((\boldsymbol{\theta}^{-\triangleright}\in\ell^1)\), es decir \[X_t=\sum_{j=1}^q\theta_j U_{t-j}+U_t.\]

Entonces \(\;E(X_t)=0\;\) y

\(\boldsymbol{\gamma}=\; \sigma^2 \boldsymbol{\theta}(z)*\boldsymbol{\theta}(z^{-1}) \;=\; \sigma^2 \sum\limits_{j=0}^q \theta_{j+k}\theta_{j} z^{k}\) (grado \(q\); cogrado \(-q\)) (Lecc. 02)

\(\boldsymbol{\rho}=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma}\)

\(f(\omega)=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\boldsymbol{\theta}(e^{-i\omega})\cdot\boldsymbol{\theta}(e^{i\omega}) \;=\; \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{h=0}^q \gamma_h \cos(h\omega);\quad \omega\in[-\pi,\pi]\) (\(q\) cosenos \(+1\))

\(\boldsymbol{\pi}\;\) con grado \(\infty\) y cogrado \(-\infty\). Su magnitud decae paulatinamente cuando \(\;k\to\infty\)

Un proceso MA es siempre estacionario.

Tipos de representación del proceso

Como suma ponderada finita: (número finito de parámetros) \[\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U} \quad\Rightarrow\quad X_t=\boldsymbol{\theta}(\mathsf{B})U_t\]
Como suma ponderada infinita: (solo existe si es invertible): \[\frac{1}{\boldsymbol{\theta}}*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\boldsymbol{\theta}}(\mathsf{B})X_t=U_t\]

Para ser invertible raíces \(\boldsymbol{\theta}\) fuera del círculo unidad \((\boldsymbol{\theta}^{-\triangleright}=\boldsymbol{\theta}^{-1}\in\ell^1)\)

Los procesos MA se caracterizan por su ``memoria muy corta''. Estos procesos dependen de un número finito, generalmente pequeño, de innovaciones pasadas. A diferencia de los modelos autorregresivos, los procesos MA solo presentan correlación con un número limitado de valores anteriores, lo que permite que su función de autocorrelación simple tenga solo unas pocas autocorrelaciones diferentes de cero..

Proceso de media móvil MA(\(1\))

Sea \(\boldsymbol{X}=(1-\theta z)*\boldsymbol{U}\) con \(|\theta|<1\) y con \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;\), es decir \[X_t=U_t-\theta U_{t-1}.\]

\(\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 (1-\theta z)*(1-\theta z^{-1}) \;=\; \sigma^2 (\ldots,\ 0\ ,\ -\theta,\ {\color{blue}{(1+\theta^2)}},\ -\theta,\ 0,\ \ldots)\)
\(\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma} \;=\; \frac{1}{\sigma^2(1+\theta^2)}\boldsymbol{\gamma}\;=\; (\ldots,\ 0\ ,\ \frac{-\theta}{1+\theta^2},\ {\color{blue}{1}},\ \frac{-\theta}{1+\theta^2},\ 0,\ \ldots)\)
\(f(\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\boldsymbol{\theta}(e^{-i\omega})\cdot\boldsymbol{\theta}(e^{i\omega}) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\Big((1+\theta^2)\;-\;2\theta\cos(\omega)\Big);\quad \omega\in[-\pi,\pi]\)
\(\boldsymbol{\pi} \;=\; \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}{ \frac{-\theta^k(1-\theta^2)}{1-\theta^{2(k+1)}} z^k}\)

MA(1) con raíz positiva

\[\boldsymbol{\theta}(z)=1-0.9z\quad\Rightarrow\quad X_t= (1-0.9 \mathsf{B})U_t\qquad {\color{blue}{(\theta>0)}}\]

ar_params = [1,]
ma_params = [1, -0.9]
fig = plot_arma_parametric_diagnostics(ar_params, ma_params, sigma2=1, lags=20)
fig.savefig('./img/lecc04/ACF-MA1p.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

fig = plot_arma_analysis(ar_params, ma_params, seed=2026)
fig.savefig('./img/lecc04/Sim-MA1p.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

MA(1) con raíz negativa

\[\boldsymbol{\theta}(z)=1+0.9z\quad\Rightarrow\quad X_t= (1+0.9 \mathsf{B})U_t\qquad {\color{blue}{(\theta<0)}}\]

ar_params = [1,]
ma_params = [1, 0.9]
fig = plot_arma_parametric_diagnostics(ar_params, ma_params, sigma2=1, lags=20)
fig.savefig('./img/lecc04/ACF-MA1n.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

fig = plot_arma_analysis(ar_params, ma_params, seed=2026)
fig.savefig('./img/lecc04/Sim-MA1n.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

Proceso de media móvil MA(\(2\))

Sea \(\boldsymbol{X}=(1-\theta_1 z-\theta_2 z^2)*\boldsymbol{U}\), con \(\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;\) y con \[\theta_1+\theta_2<1;\qquad \theta_2-\theta_1<1;\qquad |\theta_2|<1;\quad \text{(i.e., invertible)}\] es decir \(X_t=U_t-\theta_1 U_{t-1}-\theta_2 U_{t-2}\).

\(\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 (1-\theta_1 z-\theta_2 z^2)*(1-\theta_1 z^{-1}-\theta_2 z^{-2})\)

\(\gamma_0={\color{blue}{\sigma^2(1+\theta_1^2+\theta_2^2)}};\qquad\) \(\gamma_1=\sigma^2\big(-\theta_1(1-\theta_2)\big);\qquad\) \(\gamma_2=\sigma^2(-\theta_2)\)

\(\gamma_3=\gamma_4=\cdots=0\qquad\) (y es simétrica)
\(\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma} \;=\; \frac{1}{\sigma^2(1+\theta_1^2+\theta_2^2)}\boldsymbol{\gamma}\)
\(f(\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\Big((1+\theta_1^2+\theta_2^2)\;-\;2\theta_1(1+\theta_2)\cos(\omega)\;-\;2\theta_2\cos(2\omega)\Big)\)

\(\boldsymbol{\pi}\) tiene una expresión complicada, pero su magnitud decae paulatinamente.

Figura 1: El interior del triángulo es la región paramétrica donde un MA(2) es invertible. Por debajo de la parábola las raíces son complejas. El signo del parámetro \(\theta_1\) determina el signo del primer retardo de la ACF y \(\theta_2\) el signo del segundo. Las regiones 1, 2, 3, y 4 determinan cómo decae la PACF.

MA(2) con dos parámetros positivos (\(+\), \(+\))

\[ \boldsymbol{\theta}(z) = 1-0.6z -0.3z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1-0.6\mathsf{B}-0.3\mathsf{B}^2)U_t ;\;\; {\color{blue}{(\theta_1>0 \;\text{y}\; \theta_2>0)}} \]

ar_params = [1,]
ma_params = [1, -0.6, -0.3]
fig = plot_arma_parametric_diagnostics(ar_params, ma_params, sigma2=1, lags=20)
fig.savefig('./img/lecc04/ACF-MA2thpp.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

fig = plot_arma_analysis(ar_params, ma_params, seed=2026)
fig.savefig('./img/lecc04/Sim-MA2thpp.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

MA(2) con parámetros de distinto signo (\(-\), \(+\))

\[ \boldsymbol{\theta}(z)=1+0.6z -0.3z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1+0.6\mathsf{B}-0.3\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\theta_1<0 \;\text{y}\; \theta_2>0)}} \]

ar_params = [1,]
ma_params = [1, +0.6, -0.3]
fig = plot_arma_parametric_diagnostics(ar_params, ma_params, sigma2=1, lags=20)
fig.savefig('./img/lecc04/ACF-MA2thnp.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

fig = plot_arma_analysis(ar_params, ma_params, seed=2026)
fig.savefig('./img/lecc04/Sim-MA2thnp.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

MA(2) con dos parámetros negativos (\(-\), \(-\))

\[ \boldsymbol{\theta}(z) = 1+0.9z +0.9z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1+0.9\mathsf{B}+0.9\mathsf{B}^2)U_t ;\;\; {\color{blue}{(\theta_1<0 \;\text{y}\; \theta_2<0)}} \]

ar_params = [1,]
ma_params = [1, +0.9, 0.9]
fig = plot_arma_parametric_diagnostics(ar_params, ma_params, sigma2=1, lags=20)
fig.savefig('./img/lecc04/ACF-MA2thnn.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

fig = plot_arma_analysis(ar_params, ma_params, seed=2026)
fig.savefig('./img/lecc04/Sim-MA2thnn.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

MA(2) con parámetros de distinto signo (\(+\), \(-\))

\[ \boldsymbol{\theta}(z)=1-1.1z +0.9z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1-1.1\mathsf{B}+0.9\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\theta_1>0 \;\text{y}\; \theta_2<0)}} \]

ar_params = [1,]
ma_params = [1, -1.1, 0.9]
fig = plot_arma_parametric_diagnostics(ar_params, ma_params, sigma2=1, lags=20)
fig.savefig('./img/lecc04/ACF-MA2thpn.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

fig = plot_arma_analysis(ar_params, ma_params, seed=2026)
fig.savefig('./img/lecc04/Sim-MA2thpn.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

MA(2) con dos raíces reales, una positiva y la otra negativa

\[ \boldsymbol{\theta}(z)=1-0.64z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1-0.64\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\text{raices reales: +, -})}} \]

ar_params = [1,]
ma_params = [1, 0, -0.64]
fig = plot_arma_parametric_diagnostics(ar_params, ma_params, sigma2=1, lags=20)
fig.savefig('./img/lecc04/ACF-MA2pn.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

fig = plot_arma_analysis(ar_params, ma_params, seed=2026)
fig.savefig('./img/lecc04/Sim-MA2pn.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

MA(2) con un par de raíces complejas

\[ \boldsymbol{\theta}(z)=1+0.64z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1+0.64\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\text{par de raices complejas})}} \]

ar_params = [1,]
ma_params = [1, 0, 0.64]
fig = plot_arma_parametric_diagnostics(ar_params, ma_params, sigma2=1, lags=20)
fig.savefig('./img/lecc04/ACF-MA2np.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

fig = plot_arma_analysis(ar_params, ma_params, seed=2026)
fig.savefig('./img/lecc04/Sim-MA2np.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

MA(2) con dos raíces reales y negativas

\[ \boldsymbol{\theta}(z)=1+1.6z+0.64z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1+1.6\mathsf{B}+0.64\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\text{r. reales: -, -})}} \]

ar_params = [1,]
ma_params = [1, 1.6, 0.64]
fig = plot_arma_parametric_diagnostics(ar_params, ma_params, sigma2=1, lags=20)
fig.savefig('./img/lecc04/ACF-MA2rojo.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

fig = plot_arma_analysis(ar_params, ma_params, seed=2026)
fig.savefig('./img/lecc04/Sim-MA2rojo.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

MA(2) con dos raíces reales y positivas

\[ \boldsymbol{\theta}(z)=1-1.6z+0.64z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1-1.6\mathsf{B}+0.64\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\text{r. reales: +, +})}} \]

ar_params = [1,]
ma_params = [1, -1.6, 0.64]
fig = plot_arma_parametric_diagnostics(ar_params, ma_params, sigma2=1, lags=20)
fig.savefig('./img/lecc04/ACF-MA2violeta.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

fig = plot_arma_analysis(ar_params, ma_params, seed=2026)
fig.savefig('./img/lecc04/Sim-MA2violeta.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

(Resumen) características de procesos MA(\(q\))

Siempre estacionario.

Para ser invertible raíces \(\boldsymbol{\theta}\) fuera del círculo unidad \((\boldsymbol{\theta}^{-\triangleright}=\boldsymbol{\theta}^{-1}\in\ell^1)\)

Tipos de representación del proceso

Como suma ponderada finita: (número finito de parámetros) \[\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U} \quad\Rightarrow\quad X_t=\boldsymbol{\theta}(\mathsf{B})U_t\]
Como suma ponderada infinita: (solo existe si es invertible): \[\frac{1}{\boldsymbol{\theta}}*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\boldsymbol{\theta}}(\mathsf{B})X_t=U_t\]

ACF (\(\boldsymbol{\rho}\)): Grado (\(q\)) y cogrado (\(-q\))

PACF (\(\boldsymbol{\pi}\)): Grado (\(\infty\)) y cogrado (\(-\infty\)): exponenciales y/o sinusoidales amortiguadas.

Densidad espectral Suma de dos cosenos más una constante.