Lección 4. ACF, PACF y densidad espectral de modelos MA¶
Author: Marcos Bujosa
Veremos tres funciones que describen las características correspondientes a los momentos de segundo orden de los procesos lineales: la función de autocorrelación (ACF), la función de autocorrelación parcial (PACF) y la densidad espectral (estas tres funciones son transformaciones de la función de autocovarianzas del proceso). Veremos la estructura de estas funciones en procesos lineales genéricos y hoy lo particularizaremos a procesos de ruido blanco y procesos MA($q$).
Funciones de autocovarianzas y de autocorrelación (ACF)¶
Si un proceso estocástico es estacionario, la covarianza entre $X_t$ y $X_{t+k}$ no depende de $t$; tan solo depende de la distancia temporal $k$ entre ambas variables aleatorias: $\;Cov(X_t,X_{t-k})=\gamma_k.\;$
La secuencia $\boldsymbol{\gamma}=(\gamma_k\mid k\in\mathbb{Z})$ se denomina función de autocovarianzas
Dividiendo $\boldsymbol{\gamma}$ por $\gamma_0$ obtenemos la secuencia $\boldsymbol{\rho}=(\rho_k\mid k\in\mathbb{Z})$ donde $$\rho_k=\frac{Cov(X_t,X_{t-k})}{\sqrt{Var(X_t)Var(X_{t-k})}}=\frac{\gamma_k}{\gamma_0},$$
que se denomina función de autocorrelación (ACF).
Veamos otras transformaciones de $\boldsymbol{\gamma}$ que subrayan diferentes características de la interdependencia temporal en un proceso estocástico.
Función de autocorrelación parcial (PACF)¶
La correlación parcial entre dos variables $X_t$ y $X_{t-k}$ de un proceso estacionario $\boldsymbol{X}$ mide su correlación una vez descontado el efecto de las variables $X_{t-1},\ldots X_{t-(k-1)}$ que median entre ambas. $$X_t,\ \overbrace{X_{t-1},\ldots X_{t-(k-1)},}\ X_{t-k}$$
Si denotamos con $\widehat{X_t}$ y $\widetilde{X_{t-k}}$ los ajustes de las respectivas regresiones de $X_t$ y $X_{t-k}$ sobre $X_{t-1},\ldots X_{t-(k-1)};\;$ la correlación parcial $\pi_k$ entre $X_t$ y $X_{t+k}$ es la correlación entre los residuos de sendas regresiones: $$\pi_k=Corr\Big((X_t-\widehat{X_t}),\ (X_{t-k}-\widetilde{X_{t-k}})\Big)$$
En un proceso débilmente estacionario las correlaciones parciales solo dependen de la distancia $k$, lo que permite definir la siguiente secuencia.
La función de autocorrelación parcial (PACF) de un proceso estocástico estacionario $\boldsymbol{X}$ es la siguiente secuencia $\boldsymbol{\pi}$ simétrica ($\pi_{-k}=\pi_k$):
$$\boldsymbol{\pi}=(\pi_k\mid k\in\mathbb{Z})= \begin{cases} \pi_0 & = \rho_0 ={\color{blue}{1}}\\\\ \pi_1 &=Corr(X_t,\ X_{t-1})=\rho_1=\frac{\gamma_1}{\gamma_0}\\\\ \pi_k &=Corr\Big((X_t-\widehat{X_t}),\ (X_{t-k}-\widetilde{X_{t-k}})\Big) \end{cases},$$ donde $\widehat{X_t}$ y $\widetilde{X_{t-k}}$ son los ajustes de las respectivas regresiones de $X_t$ y $X_{t-k}$ sobre $X_{t-1},\ldots X_{t-(k-1)};\;$ i.e., las proyecciones ortogonales sobre $\bar{sp}(1,X_{t-1},\ldots X_{t-(k-1)})$.
La magnitud de la correlación parcial $\;\pi_k\;$ refleja la mejora en la predicción de $\widehat{X_t}$ si en lugar de usar una combinación lineal con solo los $k-1$ primeros retardos, $\widehat{X_t}=\widehat{\alpha_0}+\sum_{j=1}^{k-1}\widehat{\alpha_j} X_{t-j}$, empleamos $k$ retardos (i.e., un retardo más).
Así, la PACF nos ayudará a identificar el orden de procesos autoregresivos.
Hay una correspondencia uno-a-uno entre la función de autocovarianzas $\boldsymbol{\gamma}$ y la PACF $\boldsymbol{\pi}$.
Es decir, es posible reconstruir una de las secuencias a partir de la otra (por ejemplo resolviendo las ecuaciones de Yule-Walker recursivamente con el algoritmo Levinson-Durbin; véase Pourahmadi, M. (2001, Capítulo 7) o Brockwell & Davis (1991, Capitulo 5))
Así, la PACF $\boldsymbol{\pi}$ puede verse como una reparametrización de la función de autocovarianzas $\boldsymbol{\gamma}$.
Veamos otra transformación de $\boldsymbol{\gamma}$ que también arrojará luz sobre las propiedades de un proceso estocástico.
Densidad espectral¶
Si $\boldsymbol{X}$ es un proceso estocástico con función de autocovarianzas $\boldsymbol{\gamma}\in\ell^1$, es decir, con función de autocovarianzas absolutamente sumable, $$\sum_{k\in\mathbb{Z}}|\gamma_k|<\infty,$$ entonces definimos la densidad espectral de $\boldsymbol{X}$ como $$f(\omega) \quad=\quad\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\gamma_k e^{-i k\omega} \quad=\quad{\color{blue}{\frac{1}{2\pi}\sum_{k\geq0}\gamma_k \cos(k\omega)}},\qquad \omega\in[-\pi,\pi],$$ (donde $w$ son las frecuencias de oscilación de la serie).
La densidad espectral $f(\omega)$ satisface las siguientes propiedades:
- $f(\omega)=f(-\omega)$
- $f(\omega)\geq0$
- $\int_{-\pi}^\pi f(\omega)d\omega<\infty$
Es más, partiendo de la densidad espectral se pueden calcular las covarianzas $$\gamma_k=\int_{-\pi}^\pi f(\omega)e^{-i k\omega}d\omega;\quad k\in\mathbb{Z}$$
Consecuentemente, para $k=0$ $$\sigma^2=\gamma_0=\int_{-\pi}^\pi f(\omega)d\omega.$$
Por tanto podemos interpretar la densidad espectral como una descomposición de la varianza en sumas de oscilaciones con distintas frecuencias (o periodos).
($Periodo=\frac{1}{Frecuencia}$, donde la Frecuencia = Nº de ciclos por unidad de tiempo).
La ACF, la PACF y la densidad espectral son funciones que dependen únicamente de los dos primeros momentos de la distribución.
Su estimación y posterior análisis son la herramienta fundamental para elegir un modelo ARMA para una serie temporal ``estacionaria''.
Para entenderlo debemos ver cómo son estas funciones en algunos modelos lineales concretos.
Procesos lineales causales¶
Sea $\;\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\psi}*\boldsymbol{U},\;$ donde $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;$ y $\;\boldsymbol{\psi}\in\ell^2\;$ es una serie formal: $$X_t=\sum_{j\geq0}\psi_j U_{t-j}.$$ Por la lección anterior sabemos que $\;E(X_t)=0\;$ y que
- $\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 \boldsymbol{\psi}(z)*\boldsymbol{\psi}(z^{-1})$
A partir de $\boldsymbol{\gamma}$ obtenemos las otras tres funciones:
ACF: $\;\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma}$
Dens. espectral: $\;f(\omega)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\geq0}\gamma_k\cos(k\omega)$
PACF: $\;\boldsymbol{\pi}\in\ell^2,\quad$ i.e., $\;\pi_k\to0\;$ cuando $\;k\to\infty$
Proceso de Ruido Blanco¶
Sea $\boldsymbol{X}=1*\boldsymbol{U}$, donde $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;;$ es decir $X_t=U_t$ para $t\in\mathbb{Z}$. Entonces
$\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 (1z^0*1z^{0}) \;=\; \sigma^2z^0 \;=\; (\ldots,0,0,{\color{blue}{\sigma^2}},0,0,\ldots)$
$\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma} \;=\; \frac{1}{\sigma^2}\boldsymbol{\gamma} \;=\; 1 z^0 \;=\; (\ldots,0,0,{\color{blue}{1}},0,0,\ldots)$
$f(\omega) \;=\; \frac{1}{2\pi}\sum_{k\geq0}\gamma_k \cos(k\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi} \cos(0\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi};\quad \omega\in[-\pi,\pi]$
$\boldsymbol{\pi} \;=\; 1 z^0 \;=\; (\ldots,0,0,{\color{blue}{1}},0,0,\ldots)$
Proceso de media móvil MA($q$)¶
Sea $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U}$, con $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;$ y donde $\boldsymbol{\theta}$ es un polinomio de orden $q>0$, con $\theta_0=1$ y con todas sus raíces fuera del círculo unidad $(\boldsymbol{\theta}^{-\triangleright}\in\ell^1)$, es decir $$X_t=\sum_{j=1}^q\theta_j U_{t-j}+U_t.$$
Entonces $\;E(X_t)=0\;$ y
$\boldsymbol{\gamma}=\; \sigma^2 \boldsymbol{\theta}(z)*\boldsymbol{\theta}(z^{-1}) \;=\; \sigma^2 \sum\limits_{j=0}^q \theta_{j+k}\theta_{j} z^{k}$ (grado $q$; cogrado $-q$) (Lecc. 02)
$\boldsymbol{\rho}=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma}$
$f(\omega)=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\boldsymbol{\theta}(e^{-i\omega})\cdot\boldsymbol{\theta}(e^{i\omega}) \;=\; \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{h=0}^q \gamma_h \cos(h\omega);\quad \omega\in[-\pi,\pi]$ ($q$ cosenos $+1$)
$\boldsymbol{\pi}\;$ con grado $\infty$ y cogrado $-\infty$. Su magnitud decae paulatinamente cuando $\;k\to\infty$
Un proceso MA es siempre estacionario.
Tipos de representación del proceso
- Como suma ponderada finita: (número finito de parámetros) $$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U} \quad\Rightarrow\quad X_t=\boldsymbol{\theta}(\mathsf{B})U_t$$
- Como suma ponderada infinita: (solo existe si es invertible): $$\frac{1}{\boldsymbol{\theta}}*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\boldsymbol{\theta}}(\mathsf{B})X_t=U_t$$
Para ser invertible raíces $\boldsymbol{\theta}$ fuera del círculo unidad $(\boldsymbol{\theta}^{-\triangleright}=\boldsymbol{\theta}^{-1}\in\ell^1)$
Proceso de media móvil MA($1$)¶
Sea $\boldsymbol{X}=(1-\theta z)*\boldsymbol{U}$ con $|\theta|<1$ y con $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;$, es decir $$X_t=U_t-\theta U_{t-1}.$$
$\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 (1-\theta z)*(1-\theta z^{-1}) \;=\; \sigma^2 (\ldots,\ 0\ ,\ -\theta,\ {\color{blue}{(1+\theta^2)}},\ -\theta,\ 0,\ \ldots)$
$\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma} \;=\; \frac{1}{\sigma^2(1+\theta^2)}\boldsymbol{\gamma}\;=\; (\ldots,\ 0\ ,\ \frac{-\theta}{1+\theta^2},\ {\color{blue}{1}},\ \frac{-\theta}{1+\theta^2},\ 0,\ \ldots)$
$f(\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\boldsymbol{\theta}(e^{-i\omega})\cdot\boldsymbol{\theta}(e^{i\omega}) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\Big((1+\theta^2)\;-\;2\theta\cos(\omega)\Big);\quad \omega\in[-\pi,\pi]$
$\boldsymbol{\pi} \;=\; \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}{ \frac{-\theta^k(1-\theta^2)}{1-\theta^{2(k+1)}} z^k}$
$$\boldsymbol{\theta}(z)=1-0.9z\quad\Rightarrow\quad X_t= (1-0.9 \mathsf{B})U_t\qquad {\color{blue}{(\theta>0)}}$$
| P. real | P. imag. | Módulo | Frecuencia | Periodo | Multip. |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.111111 | 0.0 | 1.111111 | 0.0 | Inf | 1 |
$$\boldsymbol{\theta}(z)=1+0.9z\quad\Rightarrow\quad X_t= (1+0.9 \mathsf{B})U_t\qquad {\color{blue}{(\theta<0)}}$$
| P. real | P. imag. | Módulo | Frecuencia | Periodo | Multip. |
|---|---|---|---|---|---|
| -1.111111 | 0.0 | 1.111111 | 0.5 | 2.0 | 1.0 |
Proceso de media móvil MA($2$)¶
Sea $\boldsymbol{X}=(1-\theta_1 z-\theta_2 z^2)*\boldsymbol{U}$, con $\;\boldsymbol{U}\sim WN(0,\sigma^2)\;$ y con $$\theta_1+\theta_2<1;\qquad \theta_2-\theta_1<1;\qquad |\theta_2|<1;\quad \text{(i.e., invertible)}$$ es decir $X_t=U_t-\theta_1 U_{t-1}-\theta_2 U_{t-2}$.
$\boldsymbol{\gamma} \;=\; \sigma^2 (1-\theta_1 z-\theta_2 z^2)*(1-\theta_1 z^{-1}-\theta_2 z^{-2})$
$\gamma_0={\color{blue}{\sigma^2(1+\theta_1^2+\theta_2^2)}};\qquad$ $\gamma_1=\sigma^2\big(-\theta_1(1-\theta_2)\big);\qquad$ $\gamma_2=\sigma^2(-\theta_2)$
$\gamma_3=\gamma_4=\cdots=0\qquad$ (y es simétrica)
$\boldsymbol{\rho} \;=\; \frac{1}{\gamma_0}\boldsymbol{\gamma} \;=\; \frac{1}{\sigma^2(1+\theta_1^2+\theta_2^2)}\boldsymbol{\gamma}$
$f(\omega) \;=\; \frac{\sigma^2}{2\pi}\Big((1+\theta_1^2+\theta_2^2)\;-\;2\theta_1(1+\theta_2)\cos(\omega)\;-\;2\theta_2\cos(2\omega)\Big)$
$\boldsymbol{\pi}$ tiene una expresión complicada, pero su magnitud decae paulatinamente.
$$ \boldsymbol{\theta}(z) = 1-0.6z -0.3z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1-0.6\mathsf{B}-0.3\mathsf{B}^2)U_t ;\;\; {\color{blue}{(\theta_1>0 \;\text{y}\; \theta_2>0)}} $$
| P. real | P. imag. | Módulo | Frecuencia | Periodo | Multip. |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.081666 | 0.0 | 1.081666 | 0.0 | Inf | 1 |
| -3.081666 | 0.0 | 3.081666 | 0.5 | 2.0 | 1 |
$$ \boldsymbol{\theta}(z)=1+0.6z -0.3z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1+0.6\mathsf{B}-0.3\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\theta_1<0 \;\text{y}\; \theta_2>0)}} $$
#: 79133a7c-9a4e-439f-aac2-9d8737653e65
| P. real | P. imag. | Módulo | Frecuencia | Periodo | Multip. |
|---|---|---|---|---|---|
| 3.081666 | 0.0 | 3.081666 | 0.0 | Inf | 1 |
| -1.081666 | 0.0 | 1.081666 | 0.5 | 2.0 | 1 |
$$ \boldsymbol{\theta}(z) = 1+0.9z +0.9z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1+0.9\mathsf{B}+0.9\mathsf{B}^2)U_t ;\;\; {\color{blue}{(\theta_1<0 \;\text{y}\; \theta_2<0)}} $$
| P. real | P. imag. | Módulo | Frecuencia | Periodo | Multip. |
|---|---|---|---|---|---|
| -0.5 | -0.927961 | 1.054093 | 0.328657 | 3.042687 | 1.0 |
| -0.5 | 0.927961 | 1.054093 | 0.328657 | 3.042687 | 1.0 |
$$ \boldsymbol{\theta}(z)=1-1.1z +0.9z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1-1.1\mathsf{B}+0.9\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\theta_1>0 \;\text{y}\; \theta_2<0)}} $$
| P. real | P. imag. | Módulo | Frecuencia | Periodo | Multip. |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.611111 | -0.858868 | 1.054093 | 0.151575 | 6.597397 | 1.0 |
| 0.611111 | 0.858868 | 1.054093 | 0.151575 | 6.597397 | 1.0 |
$$ \boldsymbol{\theta}(z)=1-0.64z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1-0.64\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\text{raices reales: +, -})}} $$
| P. real | P. imag. | Módulo | Frecuencia | Periodo | Multip. |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.25 | 0.0 | 1.25 | 0.0 | Inf | 1 |
| -1.25 | 0.0 | 1.25 | 0.5 | 2.0 | 1 |
$$ \boldsymbol{\theta}(z)=1+0.64z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1+0.64\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\text{par de raices complejas})}} $$
| P. real | P. imag. | Módulo | Frecuencia | Periodo | Multip. |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.0 | -1.25 | 1.25 | 0.25 | 4.0 | 1.0 |
| 0.0 | 1.25 | 1.25 | 0.25 | 4.0 | 1.0 |
$$ \boldsymbol{\theta}(z)=1+1.6z+0.64z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1+1.6\mathsf{B}+0.64\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\text{r. reales: -, -})}} $$
| P. real | P. imag. | Módulo | Frecuencia | Periodo | Multip. |
|---|---|---|---|---|---|
| -1.25 | 0.0 | 1.25 | 0.5 | 2.0 | 2.0 |
$$ \boldsymbol{\theta}(z)=1-1.6z+0.64z^2 \quad\Rightarrow\quad X_t=(1-1.6\mathsf{B}+0.64\mathsf{B}^2)U_t \;\; {\color{blue}{(\text{r. reales: +, +})}} $$
| P. real | P. imag. | Módulo | Frecuencia | Periodo | Multip. |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.25 | 0.0 | 1.25 | 0.0 | Inf | 2 |
(Resumen) características de procesos MA($q$)¶
Siempre estacionario.
Para ser invertible raíces $\boldsymbol{\theta}$ fuera del círculo unidad $(\boldsymbol{\theta}^{-\triangleright}=\boldsymbol{\theta}^{-1}\in\ell^1)$
Tipos de representación del proceso
- Como suma ponderada finita: (número finito de parámetros) $$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\theta}*\boldsymbol{U} \quad\Rightarrow\quad X_t=\boldsymbol{\theta}(\mathsf{B})U_t$$
- Como suma ponderada infinita: (solo existe si es invertible): $$\frac{1}{\boldsymbol{\theta}}*\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\boldsymbol{\theta}}(\mathsf{B})X_t=U_t$$
ACF ($\boldsymbol{\rho}$): Grado ($q$) y cogrado ($-q$)
PACF ($\boldsymbol{\pi}$): Grado ($\infty$) y cogrado ($-\infty$): exponenciales y/o sinusoidales amortiguadas.
Densidad espectral Suma de dos cosenos más una constante.
Gráfico raíces MA(2)¶
def MA2_param_plot():
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.set_aspect('equal')
# Set axis
xmin, ymin = -3, -2
xmax, ymax = -xmin, -ymin
plt.axis([xmin, xmax, ymin, ymax])
# Set axis labels
ax.set(xticks=[], yticks=[])
ax.set_xlabel(r'$\theta_2$', fontsize=16)
ax.xaxis.set_label_position('top')
ax.set_ylabel(r'$\theta_1$', rotation=0, fontsize=16)
ax.yaxis.set_label_position('right')
# Draw (t1, t2) points
p1 = np.linspace(-2, 2, 100)
ax.plot(p1, -abs(p1) + 1, c='black')
ax.plot(p1, np.full_like(p1, -1), c='black')
ax.plot(p1, -(p1**2 / 4), c='black')
# Fill the region below the parabola and above the base of the triangle
ax.fill_between(p1, -(p1**2 / 4), -1, where=-(p1**2 / 4) >= -1, color='lightgray', alpha=0.5)
# Turn normal axes off
for spine in ['left', 'bottom', 'top', 'right']:
ax.spines[spine].set_visible(False)
# Add arrows to represent axes
axes_arrows = {'arrowstyle': '<|-|>', 'lw': 0.5, 'color': 'gray'} # Hacerlas grises y más finas
ax.annotate('', xy=(xmin, 0), xytext=(xmax, 0), arrowprops=axes_arrows)
ax.annotate('', xy=(0, ymin), xytext=(0, ymax), arrowprops=axes_arrows)
# Annotate the plot with equations
plot_arrowsl = {'arrowstyle': '-|>', 'connectionstyle': "arc3, rad=-0.2"}
plot_arrowsr = {'arrowstyle': '-|>', 'connectionstyle': "arc3, rad=0.2"}
ax.annotate(r'$\theta_1 + \theta_2 < 1$', xy=(0.4, 0.25), xytext=(1.1, 0.4),
arrowprops=plot_arrowsr, fontsize='12')
ax.annotate(r'$\theta_1 + \theta_2 = 1$', xy=(0.38, 0.6), xytext=(0.6, 0.8),
arrowprops=plot_arrowsr, fontsize='12')
ax.annotate(r'$\theta_2 < 1 + \theta_1$', xy=(-0.4, 0.25), xytext=(-1.7, 0.4),
arrowprops=plot_arrowsl, fontsize='12')
ax.annotate(r'$\theta_2 = 1 + \theta_1$', xy=(-0.38, 0.6), xytext=(-1.2, 0.8),
arrowprops=plot_arrowsl, fontsize='12')
ax.annotate(r'$\theta_2 = -1$', xy=(1.5, -1), xytext=(1.8, -1.3),
arrowprops=plot_arrowsl, fontsize='12')
ax.annotate(r'${\theta_1}^2 + 4\theta_2 = 0$', xy=(1.0, -0.28),
xytext=(1.8, -0.5), arrowprops=plot_arrowsr, fontsize='12')
ax.annotate(r'${\theta_1}^2 + 4\theta_2 < 0$', xy=(-.9, -0.6),
xytext=(-2.8, -0.5), arrowprops=plot_arrowsl, fontsize='12')
# Label complex region
ax.text(0.09, -0.8, 'Raíces complejas', ha='center', fontsize=14, color='gray')
# Label cases
ax.text(.3, 0.25, '1', ha='center', fontsize=16, color='blue')
ax.text(-.3, 0.25, '2', ha='center', fontsize=16, color='blue')
ax.text(-.3, -0.35, '3', ha='center', fontsize=16, color='blue')
ax.text(.3, -0.35, '4', ha='center', fontsize=16, color='blue')
# Add small marker to y-axis
ax.axhline(y=1.005, xmin=0.495, xmax=0.505, c='black')
ax.text(-0.12, -1.12, '-1', fontsize=10)
ax.text(-0.12, 0.98, '1', fontsize=10)
# Add small markers to x-axis
ax.axvline(x=-2, ymin=0.495, ymax=0.505, c='black')
ax.axvline(x=2, ymin=0.495, ymax=0.505, c='black')
ax.text(-2.12, -0.12, '-2', fontsize=10)
ax.text(1.88, -0.12, '2', fontsize=10)
return fig
MA2_param_plot().savefig('./img/lecc04/MA2roots.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
