Sesión 25 (B) — Cobb–Douglas en Gretl: elasticidades y rendimientos a escala con greene9_1

La lección 15 (``Cobb–Douglas: elasticidades y rendimientos a escala'') presentó la función de producción \(Q=A\,L^{\alpha}K^{\gamma}e^{U}\) con los datos de Zellner y Revankar, que Gretl incluye como greene9_1 en la pestaña Greene de los ficheros de muestra: el valor añadido (valadd), el capital (capital) y el trabajo (labor) de la industria del equipo de transporte en \(25\) estados de Estados Unidos en 1957. Esta práctica reproduce en Gretl las cifras de la lección: el modelo log-log, la lectura de las elasticidades parciales, el contraste de rendimientos constantes a escala con restrict y el modelo restringido construido por sustitución, como en la lección 13.

Objetivos

1. Estimar la función de producción en logaritmos y leer \(\hat\alpha\) y \(\hat\gamma\) como elasticidades parciales.
2. Contrastar \(H_0\!:\alpha+\gamma=1\) con restrict y con el intervalo de confianza de la suma.
3. Construir el modelo restringido por sustitución, la regresión del producto por trabajador sobre el capital por trabajador, y reproducir el \(F\) con las dos sumas de cuadrados.
4. Leer el resultado con la cautela de un contraste con \(25\) observaciones.

Comandos nuevos de esta práctica. Uno solo:

logs

crea el logaritmo de cada serie de la lista y lo guarda con el prefijo l_ (logs valadd crea l_valadd); en la ventana principal, con las series marcadas, Añadir -> Logaritmos de las variables seleccionadas.

Los demás ya se han usado: open (sesión 4), summary --simple y printf (sesión 7), series (sesión 7), la función corr, como el comando corr de la sesión 7, la matriz $vcv de varianzas y covarianzas de los coeficientes (actividad 6 (html) de la práctica A de la sesión 20), que allí se leía por posición ($vcv[3,4]) y aquí por los nombres de los regresores ($vcv(a,b) es la covarianza estimada entre los coeficientes de a y b, y $vcv(a,a) la varianza estimada del coeficiente de a, el cuadrado de su error estándar), ols y sus accesores (sesiones 11 a 18), restrict y $test (actividad 2 (html) de la práctica A de la sesión 20) y la función critical (sesión 18).

Abra greene9_1 (Archivo -> Abrir datos -> Archivo de muestra, pestaña Greene), cree los logaritmos de las tres variables y estime el modelo log-log del valor añadido sobre el trabajo y el capital.

open carga el fichero y summary --simple da los estadísticos principales de las tres series. logs crea l_valadd, l_capital y l_labor. El modelo se estima con ols; el printf imprime \(e^{\hat\beta_1}\), la estimación del factor de escala \(A\), y la correlación entre los logaritmos de los dos factores.

o bien teclee en línea de comandos:

open greene9_1 --quiet

summary valadd capital labor --simple
logs valadd capital labor
ols l_valadd const l_labor l_capital
printf "Factor de escala A = e^const = %.2f ; correlacion entre l_labor y l_capital: %.3f\n", exp($coeff(const)), corr(l_labor, l_capital)

                Media    Mediana      D. T.        Mín        Máx
valadd          711,6      494,5      966,1      22,70       4080
capital         53,06      22,00      93,02      1,543      435,1
labor           105,6      83,03      126,0      4,063      490,4


Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1-25
Variable dependiente: l_valadd

              coeficiente   Desv. típica   Estadístico t   valor p 
  -----------------------------------------------------------------
  const        1,84442        0,233593         7,896       7,33e-08 ***
  l_labor      0,805183       0,126334         6,373       2,06e-06 ***
  l_capital    0,245428       0,106857         2,297       0,0315   **

Media de la vble. dep.  5,812092   D.T. de la vble. dep.   1,375304
Suma de cuad. residuos  1,222260   D.T. de la regresión    0,235706
R-cuadrado              0,973075   R-cuadrado corregido    0,970627
F(2, 22)                397,5427   Valor p (de F)          5,39e-18
Log-verosimilitud       2,253715   Criterio de Akaike      1,492570
Criterio de Schwarz     5,149198   Crit. de Hannan-Quinn   2,506763

Factor de escala A = e^const = 6,32 ; correlacion entre l_labor y l_capital: 0,952

Contraste \(H_0\!:\alpha+\gamma=1\): si los dos factores aumentan en la misma fracción \(p\), el valor añadido aumenta en la fracción \((\alpha+\gamma)\,p\), y la suma vale \(1\) cuando los rendimientos son constantes.

La suma estimada es \(\hat\alpha+\hat\gamma\) y su varianza estimada es la suma de las dos varianzas más dos veces la covarianza, que $vcv proporciona (la lección 16, en ``Varias categorías: una indicadora menos que grupos'', hizo la cuenta análoga para la diferencia de dos coeficientes, con los cuatro grupos de wage1); con su raíz, el error estándar de la suma, el primer printf imprime el intervalo al 95 % para \(\alpha+\gamma\), con el valor crítico de la \(t\) con \(n-k=22\) grados de libertad que da critical. Después, restrict impone la restricción \(\alpha+\gamma=1\) (en la ventana del modelo, Contrastes -> Restricciones lineales) y $test y $pvalue recogen el \(F\) y su valor \(p\); el último printf añade el valor crítico de la \(F(1,22)\) al 5 %.

scalar suma = $coeff(l_labor) + $coeff(l_capital)
scalar eeSuma = sqrt($vcv(l_labor, l_labor) + $vcv(l_capital, l_capital) + 2*$vcv(l_labor, l_capital))
scalar tc = critical(t, $df, 0.025)
printf "alpha + gamma = %.3f ; error estandar %.3f ; t frente a 1: %.2f ; intervalo al 95%%: [%.3f, %.3f]\n", suma, eeSuma, (suma - 1)/eeSuma, suma - tc*eeSuma, suma + tc*eeSuma
restrict --quiet
    b[l_labor] + b[l_capital] = 1
end restrict
printf "F(1,%d) = %.2f   valor p = %.3f   valor critico al 5%%: %.2f\n", $df, $test, $pvalue, critical(F, 1, $df, 0.05)

alpha + gamma = 1,051 ; error estandar 0,041 ; t frente a 1: 1,24 ; intervalo al 95%: [0,966, 1,135]
Restricción:
 b[l_labor] + b[l_capital] = 1

Estadístico de contraste: F(1, 22) = 1,54069, con valor p = 0,227587

F(1,22) = 1,54   valor p = 0,228   valor critico al 5%: 4,30

Imponga la restricción como en la lección 13: con \(\gamma=1-\alpha\), el modelo se escribe \(\log Q-\log L=\beta_1+\gamma\,(\log K-\log L)+U\), la regresión del logaritmo del producto por trabajador sobre el logaritmo del capital por trabajador. Estímela y reconstruya el \(F\) con las dos sumas de cuadrados.

Las dos series crean el producto por trabajador y el capital por trabajador, en logaritmos. El ols estima el modelo restringido; su coeficiente es \(\hat\gamma\) restringido y \(1\) menos ese coeficiente es \(\hat\alpha\) restringido. Antes se guarda en SRC la suma de cuadrados de los residuos del modelo sin restringir y en s2 su cuasivarianza, \(\mathfrak s^2\); el printf imprime las dos sumas de cuadrados y el cociente \((\mathrm{SRC}_r-\mathrm{SRC})/\mathfrak s^2\), que con una restricción es el \(F\) de la lección 13.

ols l_valadd const l_labor l_capital --quiet
scalar SRC = $ess
scalar s2 = $sigma^2
series lqpl = l_valadd - l_labor
series lkpl = l_capital - l_labor
ols lqpl const lkpl
printf "Restringido: gamma = %.3f (ee %.3f), alpha = 1 - gamma = %.3f\n", $coeff(lkpl), $stderr(lkpl), 1 - $coeff(lkpl)
printf "SRC sin restringir %.3f ; SRC restringido %.3f ; (SRC_r - SRC)/s2 = %.2f\n", SRC, $ess, ($ess - SRC)/s2

Modelo 2: MCO, usando las observaciones 1-25
Variable dependiente: lqpl

             coeficiente   Desv. típica   Estadístico t   valor p 
  ----------------------------------------------------------------
  const       2,09497        0,118932        17,61        7,55e-15 ***
  lkpl        0,289251       0,102035         2,835       0,0094   ***

Media de la vble. dep.  1,786111   D.T. de la vble. dep.   0,271172
Suma de cuad. residuos  1,307857   D.T. de la regresión    0,238460
R-cuadrado              0,258930   R-cuadrado corregido    0,226709
F(1, 23)                8,036194   Valor p (de F)          0,009387
Log-verosimilitud       1,407614   Criterio de Akaike      1,184771
Criterio de Schwarz     3,622523   Crit. de Hannan-Quinn   1,860900

Restringido: gamma = 0,289 (ee 0,102), alpha = 1 - gamma = 0,711
SRC sin restringir 1,222 ; SRC restringido 1,308 ; (SRC_r - SRC)/s2 = 1,54

Sin código. Dos cautelas de la lección 15 antes de informar el resultado.

La primera es la potencia: con \(25\) observaciones, un contraste rechaza una hipótesis falsa por poco en una fracción pequeña de las muestras. La actividad 3 (html) de la práctica C de la sesión 18 lo midió repitiendo el experimento: con doce observaciones, una hipótesis falsa por poco se rechazaba menos de una de cada tres veces. El intervalo de la Actividad 2, de \(0{,}966\) a \(1{,}135\), dice lo mismo con los datos de aquí: el contraste deja sin descartar rendimientos a escala entre un \(3\) % decrecientes y un \(13\) % crecientes.

La segunda es la lectura de \(\gamma\). Los datos son de sección cruzada, \(25\) estados en un mismo año: \(\hat\gamma\) describe cómo varía el valor añadido entre estados con distinto capital y el mismo trabajo. Leerlo como el efecto de aumentar el capital en una industria dada exige el supuesto de exogeneidad de la lección 9, \(E[U\mid\boldsymbol X]=\mathit 0\): que lo que la función no recoge, la tecnología, la cualificación del trabajo o la composición de la industria en cada estado, sea ortogonal a las funciones del trabajo y del capital.

1. \(\hat\alpha=0{,}805\) y \(\hat\gamma=0{,}245\). ¿Qué mide cada uno, con qué fijo, y qué mide su suma?
2. El \(t\) del capital es \(2{,}30\) y su valor \(p\) \(0{,}03\). ¿Qué se concluye al 5 % y qué al 1 %? ¿Por qué es tan baja la precisión con un \(R^2\) de \(0{,}973\)?
3. El \(F\) del contraste de rendimientos constantes es \(1{,}54\) y el \(t\) de la suma frente a \(1\) es \(1{,}24\). ¿Qué relación hay entre los dos números y por qué?
4. Al imponer \(\alpha+\gamma=1\), \(\hat\gamma\) pasa de \(0{,}245\) a \(0{,}289\) y \(\hat\alpha\) de \(0{,}805\) a \(0{,}711\). ¿Por qué cambian los dos y por qué el ajuste empeora poco?
5. El intervalo para \(\alpha+\gamma\) va de \(0{,}966\) a \(1{,}135\). ¿Es correcto informar que ``la industria tiene rendimientos constantes a escala''? ¿Qué se puede informar?

• Zellner, A. y Revankar, N. S. (1969), ``Generalized production functions'', Review of Economic Studies 36, 241–250: el origen de los datos.
• Greene, W. H. (2018), Econometric Analysis, 8.ª ed., Pearson: el fichero greene9_1 de Gretl reproduce su ejemplo de Cobb–Douglas con el contraste de rendimientos constantes.
• Wooldridge, J. M. (2020), Introductory Econometrics, cap. 4, sección 4.4 (contraste de una combinación lineal de parámetros) y cap. 6, sección 6.2 (modelos con logaritmos).

1. \(\hat\alpha\) es la elasticidad del valor añadido respecto del trabajo con el capital fijo: si el trabajo varía en la fracción \(p\), el valor añadido varía en la fracción \(0{,}805\,p\). \(\hat\gamma\) es la elasticidad respecto del capital con el trabajo fijo. La suma mide los rendimientos a escala: si los dos factores varían en la misma fracción \(p\), el valor añadido varía en la fracción \(1{,}051\,p\).
2. Al 5 % se rechaza que la elasticidad del capital sea cero, porque el valor \(p\) es menor que \(0{,}05\); al 1 % no se rechaza. La precisión es baja aunque el ajuste sea alto porque la precisión de cada coeficiente depende de la parte propia de su regresor, no del ajuste conjunto: l_labor y l_capital tienen correlación \(0{,}952\), y la parte de cada uno que el otro no comparte es corta, como en la lección 14.
3. \(1{,}24^2=1{,}54\). Con una sola restricción, el contraste \(F\) y el contraste \(t\) de la combinación \(\alpha+\gamma\) frente a \(1\) son el mismo contraste, como se vio en la lección 13: el \(F\) con \(q=1\) es el cuadrado del \(t\).
4. La restricción obliga a que la suma valga \(1\), y la estimación libre daba \(1{,}051\): hay que repartir una reducción de \(0{,}051\). Como los dos regresores están muy correlados, el ajuste distingue mal cuánto corresponde a cada uno, y la restricción mueve los dos coeficientes a la vez, el del capital hacia arriba y el del trabajo hacia abajo, con un coste pequeño en la suma de cuadrados (\(1{,}222\) a \(1{,}308\)): la restricción se impone en una dirección en la que los datos apenas distinguen.
5. No. El contraste no rechaza rendimientos constantes, pero tampoco rechaza ningún valor de la suma entre \(0{,}966\) y \(1{,}135\). Se puede informar que, a la luz del contraste, datos como estos no serían raros con rendimientos constantes, y que con \(25\) observaciones el intervalo deja sin descartar rendimientos entre un \(3\) % decrecientes y un \(13\) % crecientes.