Principios de Econometría

Interfaz de Gretl, carga de un dataset de muestra, estadísticos descriptivos, histograma y diagrama de caja.

Importación del dataset original de Boston Housing (Harrison y Rubinfeld, 1978) desde un fichero externo, con una variable dicotómica que reaparecerá más adelante.

Visualización interactiva en 3D de la proyección ortogonal sobre la recta de los unos.

Verificación numérica, con datos reales, de que la correlación es el coseno de un ángulo —y de que no importa por qué número se divida.

Con datos generados por el propio guion, se comprueban «a mano» las identidades de ortogonalidad y Pitágoras de las dos lecciones anteriores.

Cuatro conjuntos de datos con la misma media y desviación típica, pero formas radicalmente distintas: por qué un resumen numérico nunca sustituye a un gráfico.

Ajuste, residuo y el efecto de distintos tipos de perturbación sobre la recta recuperada.

El triángulo de Pitágoras, el ángulo \(\theta\) y las áreas STC/SEC/SRC, en un mismo diagrama de dispersión.

El ejemplo resuelto a mano en la lección 7, reproducido con el comando ols de Gretl; con una muestra mayor, qué es identidad y qué es estimación; y qué se pierde al ajustar sin constante.

Dos regresiones simples sobre precios de vivienda, con verificación manual de \(R^2=\rho^2\); y, al intercambiar los papeles de las dos variables, el mismo \(R^2\) con otra recta.

Personalizar y exportar gráficos y resultados de una regresión, para un informe reproducible.

Cuatro conjuntos de once puntos con la misma recta, la misma correlación y el mismo \(R^2\), y cuatro nubes que no se parecen en nada: la versión bivariante de «los momentos no bastan».

Con solo 14 viviendas, un coeficiente cambia de signo al controlar por otra variable: el efecto parcial, ceteris paribus.

Por qué \(R^2\) nunca empeora al añadir regresores, y cómo el \(R^2\) ajustado corrige ese sesgo mecánico.

Ajustes polinómicos de grado creciente mejoran el ajuste… hasta producir una extrapolación absurda.

La notación matricial de la lección anterior, puesta a prueba con datos simulados: ecuaciones normales, familia ortogonal, qué hace Gretl ante dos regresores exactamente colineales y, al final, \(\mathrm{SEC}\), \(\mathrm{SRC}\) y el \(F\) como sumas de cuadrados de coordenadas en una base ortonormal.

Muchas muestras, muchas rectas: la nube de estimaciones se centra en \(\beta_2\) y su dispersión sigue la fórmula de la varianza; con un regresor más disperso, la nube se estrecha.

Se simulan miles de muestras de un mundo con parámetros conocidos: la media de las estimaciones cae sobre \(\beta_2\) y su dispersión coincide con la fórmula de la lección 11. Con el comando loop explicado por fin en detalle.

El mismo experimento, con el regresor fijo y con el regresor sorteado de nuevo en cada réplica. Las dos varianzas no coinciden: ahí se ve para qué sirve la barra vertical de \(Var[\hat\beta_2\mid\boldsymbol X]\).

La insesgadez y la varianza se cumplen con perturbaciones uniformes o muy asimétricas; la forma de la distribución, no. Un experimento cruzado separa a los dos culpables: la asimetría procede de la perturbación, y el regresor solo decide si se nota. Y si se fuerza a la muestra a cumplir los supuestos de forma exacta, \(\hat\beta_2\) acierta siempre.

Las cuatro columnas de la tabla y las tres «desviaciones típicas» de la salida en español; el error estándar, el \(t\), el valor \(p\) y el intervalo reconstruidos a mano; \(t^2=F\); un contraste contra un valor distinto de cero; y la misma regresión con doce viviendas: significativa e informativa de casi nada.

Los 24 puntos de la figura de la lección 12, en Gretl: el mismo ruido y el mismo \(\mathfrak s\), un regresor diez veces más largo y un intervalo diez veces más estrecho. Para estimar bien el efecto de una variable hace falta que esa variable varíe.

Cuatro mil réplicas: el intervalo al 95 % contiene al verdadero \(\beta_2\) el 95,2 % de las veces, y el «baile» de cien intervalos muestra que lo aleatorio es el intervalo, no el parámetro. El precio de estimar \(\sigma\) (con 1,96 la cobertura cae al 91,9 %), una hipótesis falsa por poco con \(n=12\) y con \(n=120\), y un apéndice con perturbaciones no normales.

Las tres restricciones de la lección 13 sobre price ~ rooms + nox + stratio: excluir dos regresores (\(F=73\)), excluir uno (\(F=t^2\) con todos los decimales) e imponer la igualdad de dos coeficientes construyendo la suma como regresor (\(F=3{,}56\), no se rechaza al 5 %). Cada \(F\) se construye con las dos SRC y después lo confirma restrict. Cierra con el caso nox/lnox y su elipse de confianza: una aguja inclinada (correlación entre los estimadores \(-0{,}99\)) que deja fuera el origen aunque los dos intervalos contengan el cero.

Catorce viviendas, price ~ sqft + bedrms + baths: dormitorios y baños no son significativos uno a uno ni juntos (\(F=0{,}47\)). Y una comprobación en las cuatro esquinas del rectángulo de los dos intervalos: dos se rechazan y dos no, porque la región que el \(F\) acepta es una elipse inclinada, no un rectángulo; la figura superpone las dos regiones.

Dos mil réplicas con los regresores reales de hprice2 y una \(y\) simulada en la que no intervienen: numerador y denominador del \(F\) tienen media \(\sigma^2\), el \(F\) oscila en torno a 1 con cola derecha y rechaza el 5,5 % de las veces. Con \(n=20\) la cola es más pesada y el valor crítico de \(n=506\) rechazaría el 8,8 %. Una hipótesis falsa por poco se detecta el 8 % de las veces con veinte viviendas y el 94 % con quinientas seis.

Correlaciones de 0; 0,9; 0,99 y 0,999 entre dos regresores, dos mil réplicas cada una: la varianza de \(\hat\beta_2\) crece como el VIF (de 0,011 a 5,7) y coincide con \(\sigma^2/\Vert\tilde{\boldsymbol x}_2\Vert^2\); la SRC es idéntica en los cuatro casos porque el subespacio es el mismo; los dos coeficientes oscilan juntos y al revés (correlación \(-0{,}99\)) y su suma se estima tan bien como sin colinealidad. Un efecto verdadero de 1 se detecta el 7 % de las veces con \(\rho=0{,}999\).

La regresión auxiliar de nox sobre rooms y lnox, la parte propia medida de dos maneras (2,861), y \(\mathfrak s/\Vert\tilde{\boldsymbol x}\Vert=2198{,}85\): el error estándar de la tabla con cuatro decimales. El VIF a mano y con vif, la misma cuenta sin lnox (factor 8,7), y los intervalos de nox con y sin lnox.

Coste de reparaciones de 57 coches sobre edad y millas, correlados al 0,9965: el coeficiente de las millas pasa de \(+53\) a \(-155\) al añadir la edad, con un VIF de 142 y los dos \(t\) grandes. El VIF es la escala del error estándar, no un veredicto; el signo se lee «a igual edad»; y en dos mitades de la muestra las coordenadas se van cada una por su lado. Al final, la edad se sustituye por su parte propia: el ajuste no cambia y el coeficiente de las millas vuelve a ser el de la regresión simple.

Precio de 88 viviendas sobre la tasación de la inmobiliaria y cuatro características: con la tasación en el modelo, las características apenas mejoran el ajuste (\(F=1{,}37\)) y el coeficiente de la superficie es casi cero, con un VIF de solo 4,5. El residuo de la tasación sobre las características es la valoración de la inmobiliaria descontado el efecto de esas características, lo que la inmobiliaria valora y no está entre esas características; con él en lugar de la tasación, el ajuste es el mismo, las características recuperan su efecto sin mantener fija la tasación, y cada mil dólares de ese residuo van con unos novecientos más de precio. Cierra con el contraste de racionalidad de Wooldridge (\(F=1{,}15\), no rechaza) y la diferencia media precio − tasación, \(-22\) mil dólares con \(t=-4{,}8\).