Principios de Econometría

Arrancamos con la cita de Ragnar Frisch —«la econometría es la medida de lo económico»— y con el mantra que preside todo el programa: preferimos entender bien pocas cosas a entender mal muchas. Se presenta la tipología de datos (sección cruzada, series temporales, panel) y una batería de ejemplos que reaparecerán durante el curso: salarios y educación, demanda de tabaco, precios de la vivienda de Boston. Y se siembra, sin desarrollarla aún, la idea que da título a este programa: los datos de una muestra son vectores de \(\mathbb{R}^n\), y muchas herramientas estadísticas —media, varianza, regresión, \(R^2\)— son, en realidad, construcciones geométricas.

Un vector deja de ser la flecha de bachillerato para convertirse en lo que realmente usaremos: una lista ordenada de números. Se presenta la combinación lineal —pieza central de toda la asignatura, porque la regresión será una combinación lineal de sus regresores—, el producto escalar y la norma euclídea, deducida vía Pitágoras. Al final se anticipa, sin resolverlo aún, un segundo producto escalar —el «estadístico», con un factor \(1/n\)— que se justificará con detalle más adelante.

Se demuestran, con todo rigor y para \(\mathbb{R}^n\) en general, el teorema de Pitágoras, la fórmula del coseno de un ángulo, la desigualdad de Cauchy–Schwarz y la desigualdad triangular. Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero. Queda sembrada, para varias sesiones más adelante, la idea de que minimizar una distancia —el criterio que define el ajuste por mínimos cuadrados— es, geométricamente, proyectar.

Se resuelve, por primera vez, un problema de mínima distancia en \(\mathbb{R}^n\): proyectar un vector sobre una recta. Aplicado a la recta generada por el vector de unos, el resultado es la media aritmética —y el vector en desviaciones, ortogonal a la recta, tiene siempre suma cero—. Es la primera vez que se dice explícitamente: calcular una media ES, sin saberlo, resolver un ajuste por mínimos cuadrados.

Se generaliza la idea anterior a dos vectores. El teorema de Pitágoras de la lección previa entrega, sin ningún truco algebraico adicional, la conocida «fórmula de cálculo» de la varianza. La covarianza se define como el producto escalar de los vectores en desviaciones, y la correlación, como el coseno del ángulo entre ellos —por lo que está, necesariamente, entre \(-1\) y \(1\).

Generalización directa de la lección de la media: en vez de proyectar sobre una recta, se proyecta sobre el plano generado por el vector de unos y el regresor no constante. La ortogonalidad del residuo frente a todo el plano se traduce en dos condiciones —una por cada regresor— que quedan planteadas, sin resolver todavía, como tarea pendiente para la sesión siguiente.

Se despeja el sistema planteado en la lección anterior: la pendiente resulta ser la covarianza dividida por la varianza del regresor —equivalentemente, la correlación reescalada por el cociente de desviaciones típicas—. Una vía alternativa, cambiando a regresores ortogonales, cobra una promesa hecha varias sesiones atrás con la desigualdad de Cauchy–Schwarz.

Las dos condiciones de ortogonalidad de la lección anterior, vistas con el teorema de Pitágoras, descomponen la varianza de los datos en la del vector de ajuste más la del residuo. El cociente entre ambas es, literalmente, el coseno al cuadrado de un ángulo: así nace \(R^2\). Se cierra con una advertencia importante: esta descomposición ortogonal es puramente algebraica y nunca implica, por sí sola, una relación causal.

Tras varias sesiones trabajando exclusivamente con datos, esta lección construye un diccionario entre la geometría de \(\mathbb{R}^n\) y el espacio de las variables aleatorias: la esperanza condicional \(E[Y\mid X]\) ocupa el lugar del vector ajustado. Se presentan los tres supuestos del modelo clásico de regresión lineal y se insiste, de nuevo, en que la descomposición ortogonal ni requiere ni implica causalidad alguna (es un mero resultado algebraico). El salto final: sustituir momentos poblacionales por muestrales devuelve las fórmulas de la lección 7, ahora leídas como estimadores.

Se introduce una notación matricial ligera —y un operador selector para leer filas y columnas— que comprime en una sola expresión las condiciones de ortogonalidad ya conocidas, ahora una por cada regresor. Se plantean las ecuaciones normales y se explica, con un argumento geométrico, por qué \(R^2\) deja de coincidir con el cuadrado de ninguna correlación simple cuando hay más de un regresor.

La fórmula de la pendiente obtenida en la lección 7 es, una vez hecha la geometría, una expresión puramente aritmética; basta con evaluarla sobre las variables aleatorias de una muestra, en lugar de sobre datos fijos, para convertir un número (la estimación) en una variable aleatoria (el estimador). De ahí salen las dos propiedades: \(\hat\beta_2\) es insesgado —sólo hacen falta la linealidad y el muestreo aleatorio— y su varianza vale \(\sigma^2/\sum_i(X_i-\overline{X})^2\), donde se lee que más dispersión en el regresor, o más observaciones, dan más precisión. Se enuncian además, sin demostrarlos, el teorema de Gauss–Markov (MCO es BLUE) y la estimación de \(\sigma^2\) mediante la cuasivarianza de los residuos, con su divisor \(n-k\) de grados de libertad.

Un solo supuesto nuevo —la normalidad de la perturbación— basta para dar forma a la distribución de \(\hat\beta_2\); su media y su varianza ya venían de la lección 11. Con la cuasivarianza de los residuos se construye el error estándar, que se lee como un cociente de longitudes: el ruido estimado por unidad de longitud del regresor en desviaciones. De ahí salen el intervalo de confianza y el contraste \(t\). La lectura geométrica es el corazón de la sesión: \(t^2=(n-k)\,\mathrm{SEC}/\mathrm{SRC}\), es decir, el estadístico \(t\) es la razón entre los dos catetos del triángulo rectángulo de la lección 8, corregida por la dimensión del subespacio donde vive el residuo; equivalentemente \(t^2=(n-k)R^2/(1-R^2)\), de modo que el contraste no mide nada que el \(R^2\) no midiera ya. El factor \(\sqrt{n-k}\) se explica con un resultado demostrado en la lección 5: en \(\mathbb{R}^2\) la correlación es siempre \(\pm1\), así que un ángulo pequeño con muy pocas observaciones no prueba nada; la región crítica resulta ser un cono alrededor de la dirección del regresor, cuya abertura crece con \(n\). La segunda mitad de la sesión se ocupa por entero de la interpretación: cómo se lee una tabla de resultados columna a columna, y por qué significación estadística no es relevancia económica —la misma identidad lo explica, al separar la fuerza de la relación de la cantidad de evidencia—.